Từ các số 0 7 8 9 Hãy viết các số có 3 chữ số khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3 Chi tiết

Thủ Thuật Hướng dẫn Từ những số 0 7 8 9 Hãy viết những số có 3 chữ số rất khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3 Mới Nhất

Bạn đang tìm kiếm từ khóa Từ những số 0 7 8 9 Hãy viết những số có 3 chữ số rất khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3 được Cập Nhật vào lúc : 2022-04-24 18:43:17 . Với phương châm chia sẻ Thủ Thuật về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tìm hiểu thêm Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha.

Bài 85. Dấu hiệu chia hết cho 5 – SBT Toán lớp 4: Giải bài 1, 2, 3 , 4 trang 4 Vở bài tập Toán 4 tập 2. Trong những số 85 ; 56 ; 1110 ; 617 ; 6714 ; 9000 ; 2015 ; 3430 ; 1053; Với ba chữ số 5; 0 ;7 hãy viết những số có ba chữ số và chia hết cho 5, mỗi số có cả ba chữ số đó là: 570 ; 750 ; 705…

Nội dung chính

• Tính chia hết cho 3 hoặc 9
• Tính chia hết cho 4
• Tính chia hết cho 5
• Tính chia hết cho 6
• Tính chia hết cho 7
• Tính chia hết cho 13
• Ước số hợp
• Ước số nguyên tố
• Các ví dụ đáng để ý quan tâm
• Chứng minh sử dụng số học mô đun

1: Trong những số 85 ; 56 ; 1110 ; 617 ; 6714 ; 9000 ; 2015 ; 3430 ; 1053

a) Các só chia hết cho 5 là: ………………………

b) Các số không chia hết cho 5 là: ……………………

2: Viết tiếp vào chỗ chấm

Trong những số 35 ; 8 ; 57 ; 660 ; 3000 ; 945 ; 5553; 800

a) Các số chia hết cho 5 và chia hết cho 2 là:……………

b) Các số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 là:…………………………

c) Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 là: ………………………

3: Với ba chữ số 5; 0 ;7 hãy viết những số có ba chữ số và chia hết cho 5, mỗi số có cả ba chữ số đó: …….

4: Viết vào chỗ chấm số chia hết cho 5 thích hợp

a) 230 < ….. < 240

b) 4525 < ….. <4535

c) 175 ; 180 ; 185 ; ….. ; …… ; 200

1:

a) Các số chia hết cho 5 là: 85 ; 1110 ; 9000 ; 2015 ; 3430.

b) Các số không chia hết cho 5 là: 56 ; 98 ; 617 ; 6714 ; 1053.

2:

a) Các số chia hết cho 5 và chia hết cho 2 là: 660 ; 3000, 800

b) Các số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 là: 35 ; 945

c) Số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5 là: 8

3: Với ba chữ số 5; 0 ;7 hãy viết những số có ba chữ số và chia hết cho 5, mỗi số có cả ba chữ số đó là: 570 ; 750 ; 705.

4:

a) 230 < 235 < 240

b) 4525 < 4530 <4535

c) 175 ; 180 ; 185 ; 190 ; 195 ; 200

Quy tắc chia hết hay tín hiệu chia hết là những phương pháp nhanh để xác lập xem một số trong những nguyên đã cho có chia hết cho một số trong những chia (ước) rõ ràng hay là không mà không cần thực thi phép chia, thường bằng phương pháp kiểm tra những chữ số của nó. Mặc dù có những phép kiểm tra tính chia hết cho những số trong bất kỳ hệ cơ số nào và chúng thường rất khác nhau, nội dung bài viết này chỉ trình diễn những quy tắc và ví dụ cho những số thuộc hệ thập phân, hay số trong hệ cơ số 10. Martin Gardner đã lý giải và phổ cập những quy tắc này trong phân mục "Trò chơi Toán học" vào tháng 9 năm 1962 trên tạp chí Scientific American.[1]

Các quy tắc được tổng hợp trong bảng dưới đây biến hóa một số trong những nguyên nhất định thành một số trong những thường nhỏ hơn, trong lúc vẫn bảo toàn tính chất chia hết cho số chia cần kiểm tra. Do đó, trừ khi có ghi chú khác, số thu được sau khi biến hóa phải được nhìn nhận là chia hết cho cùng một ước số. Trong một số trong những trường hợp, quy trình biến hóa hoàn toàn có thể được lặp lại cho tới lúc rõ ràng tính chất chia hết; riêng với những trường hợp khác (ví như kiểm tra n chữ số ở đầu cuối) kết quả phải được kiểm tra bằng những phương pháp khác.

Đối với những ước số có nhiều quy tắc để xét tính chia hết thì những quy tắc trong bảng sắp xếp ưu tiên thích hợp cho kiểm tra những số cần kiểm tra nguyên có nhiều chữ số, tiếp theo đó là những quy tắc hữu ích cho những số có ít chữ số hơn.

Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ ước số nào hoàn toàn có thể màn biểu diễn dưới dạng 2n hoặc 5n, trong số đó n là số nguyên dương, chỉ việc kiểm tra n chữ số ở đầu cuối.

Lưu ý: Để kiểm tra tính chia hết cho bất kỳ số nào biểu thị được dưới dạng tích của những thừa số nguyên tố p. 1 n p. 2 m p. 3 q displaystyle p_1^np_2^mp_3^q  , toàn bộ chúng ta hoàn toàn có thể kiểm tra riêng kĩ năng chia hết cho từng số nguyên tố với lũy thừa thích hợp của nó. Ví dụ: kiểm tra tính chia hết cho 24 (24 = 8*3 = 23*3) tương tự với kiểm tra tính chất chia hết cho 8 (23) và 3 đồng thời, do đó toàn bộ chúng ta chỉ việc xét tính chia hết cho 8 và 3 để chứng tỏ tính chia hết cho 24, 48.

Lưu ý: dấu hai chấm (:) trong bảng là dấu để chỉ ví dụ, không phải là dấu chia.

Ước số Điều kiện chia hết Ví dụ 1 Không cần Đk đặc biệt quan trọng nào. Mọi số nguyên bất kì đều chia hết cho một. 2: chia hết cho một. 2 Chữ số tận cùng (hàng cty) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8).[2][3] Số 1294: chữ số 4 chẵn nên chia hết cho 2. 3 Cộng những chữ số của số cần kiểm tra. Tổng phải chia hết cho 3.[2][4][5] 405 → 4 + 0 + 5 = 9 và 636 → 6 + 3 + 6 = 15, cả hai số đều chia hết cho 3.

16,499,205,854,376 → 1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6 tổng là 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, 6 rõ ràng chia hết cho 3. Lấy số lượng những chữ số 2, 5, và 8 có trong số cần kiểm tra trừ đi số những chữ số 1, 4, và 7 trong số lượng đó. Kết quả phải chia hết cho 3. Sử dụng ví dụ trên: 16,499,205,854,376 có bốn chữ số nhóm 1, 4 và 7 và có bốn chữ số nhóm 2, 5 và 8; ∴ Bởi vì 4 − 4 = 0 là một bội của 3, số 16,499,205,854,376 chia hết cho 3. 4 Hai chữ số ở đầu cuối tạo thành một số trong những chia hết cho 4.[2][3] 40,832: có 32 chia hết cho 4. Nếu chữ số hàng trăm là chẵn, thì chữ số hàng cty phải là 0, 4, hoặc 8.

Nếu chữ số hàng trăm là lẻ, chữ số hàng cty phải là 2 hoặc 6. 40,832: chữ số 3 lẻ, còn chữ số hàng cty là 2. Nhân đôi chữ số hàng trăm, rồi cộng với chữ số hàng cty được số chia hết cho 4. 40832: 2 × 3 + 2 = 8, chia hết cho 4. 5 Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.[2][3] 495: chữ số tận cùng là 5. 6 Số chia hết cho toàn bộ hai và 3 thì chia hết cho 6 1458: có một + 4 + 5 + 8 = 18, nên nó chia hết cho 3 và chữ số tận cùng là chẵn, vì thế nó chia hết cho 6. 7 Lập một tổng xen kẽ đan dấu (tức tổng đại số có dấu cộng trừ xen kẽ nhau Một trong những số hạng) của từng nhóm ba chữ số từ phải qua trái được kết quả là một bội số của 7.[5][6] 1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69 Lấy 5 nhân với chữ số tận cùng rồi cộng vào phần còn sót lại của số thu được một số trong những chia hết cho 7. (Có hiệu lực hiện hành bởi 49 chia hết cho 7, xem chứng tỏ ở dưới.) 483: có 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9. Lấy 2 nhân với chữ số tận cùng rồi trừ vào lấy phần còn sót lại được một bội của 7. (Cách làm này còn có hiệu lực hiện hành vì 21 chia hết 7.) 483: có 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6. Lấy 9 nhân với chữ số tận cùng rồi trừ vào phần còn sót lại được kết quả chia hết cho 7. 483: có 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3. Cộng 3 lần chữ số nguồn vào chữ số tiếp theo của số đó rồi viết thêm vào kết quả chữ số còn sót lại thì phải được một bội số của 7. (Cách làm này còn có hiệu lực hiện hành vì 10a + b − 7a = 3a + b; số thu được đồng dư modulo 7 với 10a + b.) 483: có 4×3 + 8 = 20,

203: có 2×3 + 0 = 6,

63: có 6×3 + 3 = 21.

Cộng hai chữ số sau cùng vào hai lần phần còn sót lại thì được bội của 7. (Có hiệu lực hiện hành vì 98 chia hết cho 7) 483,595: có 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63. Nhân từng chữ số (từ phải qua trái) với từng số tương ứng (từ trái qua phải) trong dãy sau: 1, 3, 2, −1, −3, −2 (thực thi lặp lại với những chữ số ở vị trí vượt quá hàng trăm nghìn). Tổng những tích trên là bội của 7. 483,595: có (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7. Cộng chữ số tận cùng với 3 lần phần còn sót lại của số được một bội của 7.[7] 224: có 4 + (3 x 22) = 70 Cộng thêm 3 lần chữ số tận cùng vào 2 lần phần còn sót lại được một bội của 7.[7] 245: có (3 x 5) + (2 x 24) = 7 x 9 = 63 8 Nếu chữ số hàng trăm là chẵn, thì số tạo thành bởi hai chữ số sau cùng phải chia hết cho 8. 624: 24 chia hết cho 8. Nếu chữ số hàng trăm là lẻ, thì số tạo thành bởi hai chữ số sau cùng thêm vào đó 4 phải được số chia hết cho 8. 352: 52 + 4 = 56 chia hết cho 8. Cộng chữ số sau cùng vào hai lần phần còn sót lại. Giá trị thu được phải là bội của 8. 56: có (5 × 2) + 6 = 16. Ba chữ số sau cùng tạo thành số chia hết cho 8.[2][3] 34,152: chỉ việc xét tính chia hết cho 152: =19 × 8 Cộng 4 lần chữ số hàng trăm vào 2 lần chữ số hàng trăm và 1 lần chữ số hàng cty

được kết quả phải là bội của 8.

34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16 9 Tính tổng những chữ số, được kết quả chia hết cho 9.[2][4][5] 2880: có 2 + 8 + 8 + 0 = 18: có một + 8 = 9. 10 Chữ số hàng cty là 0.[3] 130: chữ số hàng cty là 0. 11 Lập tổng xen kẽ đan dấu Một trong những chữ số, được kết quả phải chia hết cho 11.[2][5] 918,082: có 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11. Cộng những nhóm gồm hai chữ số từ phải qua trái, kết quả phải chia hết cho 11.[2] 627: có 06 + 27 = 33 = 3 × 11. Trừ đi chữ số tận cùng vào phần còn sót lại của số, kết quả phải chia hết cho 11. 627: có 62 − 7 = 55 = 5 × 11. Cộng thêm chữ số tận cùng tới hàng trăm (hay thêm 10 lần chữ số hàng cty vào phần còn sót lại). Kết quả phải chia hết cho 11. 627: có 62 + 70 = 132: có 13 + 20 = 33 = 3 × 11. Nếu số lượng những chữ số là chẵn thì cộng chữ số đầu và trừ chữ số cuối vào phần còn sót lại. Kết quả phải chia hết cho 11. 918,082: số chữ số là chẵn (6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: có 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11 Nếu số lượng chữ số là lẻ thì trừ cả chữ số đầu và chữ số cuối vào phần còn sót lại. Kết quả phải chia hết cho 11. 14,179: số chữ số là lẻ (5) → 417 − 1 − 9 = 407 = 37 × 11 12 Số đó chia hết cho toàn bộ 3 và 4. 324: chia hết cho toàn bộ 3 và 4 Trừ chữ số sau cùng vào hai lần phần còn sót lại. Kết quả phải chia hết cho 12. 324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12. 13 Lập tổng xen kẽ từng nhóm ba chữ số từ phải qua trái. Kết quả phải chia hết cho 13.[6] 2,911,272: 272 − 911 + 2 = −637 Cộng thêm 4 lần chữ số hàng cty vào phần còn sót lại, kết quả phải chia hết cho 13. 637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13. Trừ đi số gồm hai chữ số cuối vào bốn lần phần còn sót lại, được kết quả chia hết cho 13. 923: 9 × 4 − 23 = 13. Trừ đi 9 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại, được kết quả chia hết cho 13. 637: 63 − 7 × 9 = 0. 14 Số đó chia hết cho toàn bộ hai và 7. 224: sử dụng tính chất chia hết cho 2 và 7 ta thấy nó đều chia hết. Cộng hai chữ số cuối vào hai lần phần còn sót lại, được kết quả chia hết cho 14. 364: 3 × 2 + 64 = 70.

1764: 17 × 2 + 64 = 98. 15 Số đó chia hết cho toàn bộ ba và 5.[8] 390: nó chia hết cho toàn bộ ba và 5. 16 Nếu chữ số hàng nghìn là chẵn thì số tạo thành bởi ba chữ số cuối phải chia hết cho 16. 254,176: 176 = 16 × 11. Nếu chữ số hàng nghìn là lẻ, thì số tạo thành bởi ba chữ số cuối phải chia hết cho 16. 3408: 408 + 8 = 416 = 26 × 16. Cộng hai chữ số cuối vào 4 lần phần còn sót lại, kết quả phải chia hết cho 16. 176: 1 × 4 + 76 = 80.

1168: 11 × 4 + 68 = 112.

Bốn chữ số tận cùng phải chia hết cho 16.[2][3] 157,648: 7,648 = 478 × 16. 17 Trừ 5 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại, được số chia hết cho 17. 221: 22 − 1 × 5 = 17. Trừ hai chữ số tận cùng vào hai lần phần còn sót lại. 4,675: 46 × 2 − 75 = 17. Cộng 9 lần chữ số tận cùng vào 5 lần phần còn sót lại, bỏ đi chữ số 0 tận cùng của kết quả nếu có rồi lặp lại. 4,675: 467 × 5 + 5 × 9 = 2380; 238: 23 × 5 + 8 × 9 = 187. 18 Số đó chia hết cho toàn bộ hai và 9. 342: chia hết cho toàn bộ hai và 9. 19 Cộng thêm hai lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 437: 43 + 7 × 2 = 57. Cộng 4 lần hai chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 6935: 69 + 35 × 4 = 209. 20 Số đó chia hết cho 10, và chữ số hàng trăm là chẵn. 360: chia hết cho 10, và 6 là chẵn. Số tạo bởi hai chữ số tận cùng phải chia hết cho 20.[3] 480: 80 chia hết cho 20. 21 Trừ hai lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại của số được một bội của 21. 168: 16 − 8 × 2 = 0. Số đó chia hết cho toàn bộ 3 và 7.[8] 231: chia hết cho toàn bộ ba và 7. 22 Số đó chia hết cho toàn bộ hai và 11.[8] 352: chia hết cho toàn bộ hai và 11. 23 Cộng 7 lần chữ số cuối vào phần còn sót lại. 3128: 312 + 8 × 7 = 368: 36 + 8 × 7 = 92. Cộng 3 lần hai chữ số cuối vào phần còn sót lại. 1725: 17 + 25 × 3 = 92. 24 Số đó chia hết cho toàn bộ ba và 8.[8] 552: chia hết cho toàn bộ ba và 8. 25 Xét số tạo bởi hai chữ số cuối.[3] 134,250: 50 chia hết cho 25. 26 Số đó chia hết cho toàn bộ hai cho 13.[8] 156: chia hết cho toàn bộ hai và 13. Trừ 5 lần chữ số cuối vào 2 lần phần còn sót lại được một bội của 26. 1248: (124 ×2) − (8×5) =208=26×8 27 Tính tổng từng nhóm ba chữ số từ phải qua trái. 2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918 = 34 × 27. Phần còn sót lại trừ đi 8 lần chữ số cuối. 621: 62 − 1 × 8 = 54. Trừ hai chữ số cuối vào 8 lần phần còn sót lại. 6507: 65 × 8 − 7 = 520 − 7 = 513 = 27 × 19. 28 Số đó chia hết cho toàn bộ bốn và 7.[8] 140: chia hết cho toàn bộ bốn và 7. 29 Cộng thêm ba lần chữ số ở đầu cuối vào phần còn sót lại. 348: 34 + 8 × 3 = 58. Cộng 9 lần hai chữ số cuối với phần còn sót lại. 5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29. 30 Số đó chia hết cho toàn bộ 3 và 10.[8] 270: chia hết cho toàn bộ 3 và 10.

Trước hết, lấy số ta muốn kiểm tra (ví dụ số 376) và ghi lại chữ số tận cùng trong số, vô hiệu những chữ số khác. Sau đó lấy chữ số đó (6) bỏ qua những chữ số còn sót lại và xác lập xem nó có chia hết cho 2. Nếu nó chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 2.

Thí dụ

376 (Số ban đầu)

37 6 (Lấy chữ số tận cùng)

6 ÷ 2 = 3 (Kiểm tra xem chữ số tận cùng có chia hết cho 2 không)

376 ÷ 2 = 188 (Nếu chữ số tận cùng chia hết cho 2 thì số nguyên chia hết cho 2)

Tính chia hết cho 3 hoặc 9

Đầu tiên, lấy một số trong những bất kỳ (ví dụ số 492) và cộng từng chữ số trong số đó với nhau (4 + 9 + 2 = 15). Sau đó lấy tổng đó (15) và xác lập xem liệu nó có chia hết cho 3 hoặc 9. Số ban đầu chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng những chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).

Thí dụ 1

492 (Số ban đầu)

4 + 9 + 2 = 15 (Cộng từng chữ số riêng lẻ với nhau)

15 chia hết cho 3 nên đến đây ta hoàn toàn có thể kết luận. Ngoài ra, toàn bộ chúng ta hoàn toàn có thể tiếp tục sử dụng lặp lại phương pháp nếu tổng này vẫn còn đấy quá rộng:

1 + 5 = 6 (Cộng từng chữ số riêng lẻ với nhau)

6 ÷ 3 = 2 (Kiểm tra xem số nhận được có chia hết cho 3 không)

492 ÷ 3 = 164 (vận dụng quy tắc chia hết cho 3 thì số nguyên chia hết cho 3)

Nếu một số trong những là tích của 3 số liên tục thì số đó luôn chia hết cho 3. Điều này rất hữu ích khi số có dạng (n × (n − 1) × (n + 1))

Thí dụ 2

336 (Số ban đầu)

6 × 7 × 8 = 336 (phân tích thành tích)

336 ÷ 3 = 112

Tính chia hết cho 4

Quy tắc cơ bản để xét chia hết cho 4 là nếu số tạo thành bởi hai chữ số tận cùng của một số trong những chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4;[2][3] điều này là vì 100 chia hết cho 4 và do đó việc thêm vào hàng trăm, hàng nghìn, v.v. chỉ đơn thuần và giản dị là thêm một số trong những khác chia hết cho 4. Nếu bất kỳ số nào kết thúc bằng một số trong những có hai chữ số mà ta biết là chia hết cho 4 (ví dụ: 24, 04, 08, v.v.), thì số nguyên sẽ chia hết cho 4 bất kể số nào đứng trước hai chữ số ở đầu cuối.

Ngoài ra, người ta hoàn toàn có thể chỉ việc chia đôi số đã cho, tiếp theo đó kiểm tra kết quả để tìm xem nó có chia hết cho 2. Nếu đúng, số ban đầu chia hết cho 4. Ngoài ra, kết quả của phép chia này cũng như lấy số ban đầu chia cho 4.

Thí dụ.

Quy tắc chung

2092 (Số ban đầu)

20 92 (Chỉ lấy hai chữ số cuối của số, vô hiệu đi những chữ số khác)

92 ÷ 4 = 23 (Kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không)

2092 ÷ 4 = 523 (Nếu số thu được chia hết cho 4 thì số ban đầu chia hết cho 4)

Cách khác

1720 (Số ban đầu)

1720 ÷ 2 = 860 (Chia số ban đầu cho 2)

860 ÷ 2 = 430 (Kiểm tra xem kết quả vẫn còn đấy tồn tại chia hết cho 2 không)

1720 ÷ 4 = 430 (Nếu kết quả chia hết cho 2 thì số ban đầu chia hết cho 4)

Tính chia hết cho 5

Phép chia hết cho 5 hoàn toàn có thể thuận tiện và đơn thuần và giản dị xác lập bằng phương pháp kiểm tra chữ số ở đầu cuối trong số (ví dụ điển hình số 475) và xem nó liệu có phải là 0 hoặc 5. Nếu chữ số ở đầu cuối là 0 hoặc 5, thì toàn bộ số đó chia hết cho 5.[2][3]

Ngoài ra, nếu chữ số ở đầu cuối của số là 0, thì thương của phép chia cho 5 sẽ là những chữ số còn sót lại nhân với 2. Ví dụ, số 40 kết thúc bằng số 0 (0), vì vậy hãy lấy những chữ số còn sót lại (4) và nhân nó với hai (4 × 2 = 8), thì sẽ tiến hành kết quả tương tự như kết quả của 40 chia cho 5 (40/5 = 8).

Nếu chữ số ở đầu cuối của số là 5, thì thương sẽ là những chữ số còn sót lại nhân với hai (2), cộng với một (1). Ví dụ, số 125 kết thúc bằng chữ số 5, vì vậy lấy những chữ số còn sót lại (12), nhân chúng với hai (12 × 2 = 24), tiếp theo đó cộng một (24 + 1 = 25). Kết quả đúng bằng kết quả của 125 chia cho 5 (125/5 = 25).

Thí dụ.

Nếu chữ số ở đầu cuối là 0

110 (Số ban đầu)

11 0 (Lấy chữ số ở đầu cuối của số và kiểm tra xem nó là 0 hay 5)

11 0 (Nếu là 0, lấy những chữ số còn sót lại để tìm thương số khi chia cho 5)

11 × 2 = 22 (Nhân kết quả với 2)

110 ÷ 5 = 22 (Kết quả tương tự số ban đầu chia cho 5)

Nếu chữ số ở đầu cuối là 5

85 (Số ban đầu)

8 5 (Lấy chữ số ở đầu cuối của số và kiểm tra xem nó là 0 hay 5)

8 5 (Nếu là 5, lấy những chữ số còn sót lại để tìm thương số)

8 × 2 = 16 (Nhân kết quả với 2)

16 + 1 = 17 (Thêm 1 vào kết quả)

85 ÷ 5 = 17 (Kết quả tương tự số ban đầu chia cho 5)

Tính chia hết cho 6

Tính chia hết cho 6 được xét bằng phương pháp xét xem số đó có chia hết cho toàn bộ hai và 3 hay là không.[8] Nói cách khác, số đó là một số trong những chẵn và chia hết cho 3.[8] Đây là cách tốt nhất. Nếu số đó chia hết cho sáu thì lấy số ban đầu (246) chia cho hai (246 ÷ 2 = 123). Sau đó, lấy kết quả đó chia cho ba (123 ÷ 3 = 41). Kết quả này đúng bằng số ban đầu chia cho sáu (246 ÷ 6 = 41).

Thí dụ.

324 (Số ban đầu)

324 ÷ 3 = 108 (Kiểm tra xem số ban đầu có chia hết cho 3 hay là không)

324 ÷ 2 = 162 HOẶC 108 ÷ 2 = 54 (Kiểm tra xem số ban đầu hoặc kết quả của phép tính trước có chia hết cho 2 hay là không)

324 ÷ 6 = 54 (Nếu một trong hai phép thử ở bước ở đầu cuối đúng thì số ban đầu chia hết cho 6. Đồng thời, kết quả của phép thử thứ hai trả về cùng kết quả với số ban đầu chia hết cho 6)

Tìm số dư của một số trong những khi chia cho 6 Nhân chữ số ở tận cùng bên phải với chữ số thứ nhất bên trái trong dãy sau rồi lấy chữ số thứ hai tính từ bên phải của số đó nhân với chữ số thứ hai từ bên trái của dãy, rồi cứ như vậy tiếp tục cho tới hết. Sau đó tính tổng toàn bộ những giá trị phép nhân ở trên, lấy số dư của tổng khi chia cho 6, cũng đó đó là số dư của số ban đầu. dãy: (1, −2, −2, −2, −2, những chữ số tiếp theo đều là −2 đến hết) hoặc: (1, 4, 4, 4, 4, những chữ số tiếp theo đều là 4)

Thí dụ: Số dư khi 1036125837 chia cho 6 là bao nhiêu?

Phép nhân chữ số tận cùng bên phải với chữ số thứ nhất trong dãy = 1 × 7 = 7 Phép nhân với chữ số thứ hai tính từ phải với chữ số thứ hai trong dãy = 3 × −2 = −6 Chữ số thứ ba tính tính từ bên phải = −16 Chữ số thứ tư tính tính từ bên phải = −10 Chữ số thứ năm tính từ bên phải = −4 Chữ số thứ sáu tính từ bên phải = −2 Chữ số thứ bảy tính từ bên phải = −12 Chữ số thứ tám tính từ bên phải = −6 Chữ số thứ chín tính từ bên phải = 0 Chữ số thứ mười tính từ bên phải = −2 Tổng = −51 −51 ≡ 3 (mod 6) Vậy số dư = 3

Tính chia hết cho 7

Phép chia hết cho 7 hoàn toàn có thể được kiểm tra bằng những phương pháp đệ quy. Một số có dạng 10x + y chia hết cho 7 khi và chỉ khi x − 2y chia hết cho 7. Nói cách khác, trừ đi hai lần chữ số tận cùng của số vào số được tạo thành bởi những chữ số còn sót lại. Tiếp tục làm điều này cho tới lúc thu được một số trong những ta biết là chia hết cho 7. Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được sau khi sử dụng quy trình kiểm tra này chia hết cho 7. Ví dụ, số 371: 37 − (2 × 1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; vậy, vì −7 chia hết cho 7 nên 371 chia hết cho 7.

Tương tự, một số trong những có dạng 10x + y chia hết cho 7 khi và chỉ khi x + 5y chia hết cho 7. Vì vậy, cộng năm lần chữ số ở đầu cuối với số được tạo bởi những chữ số còn sót lại, và tiếp tục làm như vậy cho tới lúc ta thu được số ta đã biết là chia hết cho 7.[9]

Một phương pháp khác sử dụng phép nhân với 3. Một số dạng 10x + y có cùng số dư khi chia cho 7 như số 3x + y. Ta nhân chữ số tận cùng bên trái của số ban đầu với 3, thêm vào đó chữ số tiếp theo, lấy phần dư khi chia cho 7, và tiếp tục lặp từ trên đầu: nhân với 3, cộng với chữ số tiếp theo, v.v. Ví dụ, số 371: 3 × 3 + 7 = 16 chia 7 dư 2 và 2 × 3 + 1 = 7. Phương pháp này còn tồn tại thể được sử dụng để tìm phần dư của phép chia cho 7.

Một thuật toán phức tạp hơn để kiểm tra tính chia hết cho 7 sử dụng những tính chất đồng dư: 100 ≡ 1, 101 ≡ 3, 102 ≡ 2, 103 ≡ 6, 104 ≡ 4, 105 ≡ 5, 106 ≡ 1,... (mod 7). Viết từng chữ số của số cần kiểm tra (371) theo thứ tự hòn đảo ngược (173), nhân chúng liên tục với những chữ số trong dãy 1, 3, 2, 6, 4, 5, (lặp lại dãy nhân này nếu chưa hết) và cộng những tích với nhau (1×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28). Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được bằng phương pháp sử dụng thuật toán này chia hết cho 7 (vì vậy 371 chia hết cho 7 vì 28 cũng chia hết cho 7).[10]

Phương pháp này hoàn toàn có thể được đơn thuần và giản dị hóa mà không cần phép tính nhân. Tất cả những gì cần làm với việc đơn thuần và giản dị hóa này là ghi nhớ dãy số ở trên (132645...), chỉ việc cộng và trừ, nhưng luôn thao tác với những số có một chữ số.

Thuật toán đơn thuần và giản dị hóa trình làng như sau:

• Lấy ví dụ số 371
• Đổi toàn bộ những chữ số 7, 8 hoặc 9 thành 0, 1 hoặc 2, tương ứng. Trong ví dụ này, toàn bộ chúng ta nhận được số: 301. Bước thứ hai này hoàn toàn có thể bỏ qua, nhưng ngoại trừ chữ số tận cùng bên trái nhất thiết phải đổi, nhưng nếu tuân theo bước này hoàn toàn có thể tương hỗ cho những phép tính sau này thuận tiện và đơn thuần và giản dị hơn.
• Bây giờ chuyển chữ số thứ nhất (3) thành chữ số tiếp theo nó trong dãy 13264513... Trong ví dụ của toàn bộ chúng ta, 3 trở thành 2.
• Cộng kết quả đã có được ở bước trước (2) với chữ số thứ hai của số (301), và thay kết quả đó cho toàn bộ hai chữ số, để toàn bộ những chữ số còn sót lại không thay đổi: 2 + 0 = 2. Vậy 301 trở thành 21.
• Lặp lại quy trình này cho tới lúc bạn được bội số hoàn toàn có thể nhận ra của 7 hoặc đến khi được một số trong những từ 0 đến 6. Vì vậy, bắt nguồn từ 21 (đã là một bội số hoàn toàn có thể nhận ra của 7), nếu ta lại làm tiếp thì lấy chữ số thứ nhất (2) và chuyển nó thành số tiếp theo tương ứng trong dãy số trên: 2 trở thành 6. Sau đó cộng nó với chữ số thứ hai: 6 + 1 =  7. Vậy ta hoàn toàn có thể kết luận 371 là bội của 7.
• Nếu ở bước nào đó ta gặp chữ số thứ nhất là 8 hoặc 9 thì chúng sẽ đổi thành tương ứng 1 hoặc 2, nhưng nếu chữ số đầu là 7 thì trở thành số 0 nên hoàn toàn có thể bỏ đi. Ở bước trên ta còn sót lại một số trong những lượng 7, ở đầu cuối thành số 0.

Nếu như kết quả thu được sau khi thực thi quy trình trên là 0 hoặc một bội của 7 thì số ban đầu cũng là một bội của 7. Còn nếu toàn bộ chúng ta nhận được một số trong những lượng nào khác từ là 1 đến 6, nó nghĩa là phải trừ thêm bao nhiêu cty vào số ban đầu để được một bội của 7 (hay số dư khi chia số đó cho 7). Ví dụ, xét số 186.

• Đầu tiên, đổi 8 thành 1: 116.
• Bây giờ, đổi 1 thành chữ số sau trong dãy số (chữ số 3), cộng nó vào chữ số thứ hai và viết kết quả thay cho toàn bộ hai: 3 + 1 =  4. Vì vậy, 116 giờ đây trở thành 46.
• Lặp lại quy trình, vì số lượng này to nhiều hơn 7. Bây giờ, nhờ vào dãy số 4 trở thành 5, rồi thêm vào đó vào chữ số 6 tận cùng. Tức là 11.
• Lặp lại quy trình một lần nữa: 1 trở thành 3, được cộng vào chữ số thứ hai (1): 3 + 1 =  4.

Bây giờ toàn bộ chúng ta đã có được một số trong những nhỏ hơn 7, và số này (4) là số dư của phép chia 186/7. Vì vậy, 186 trừ 4, hay là 182, phải là một bội số của 7.

Lưu ý: Lý do tại sao điều này còn có hiệu lực hiện hành là vì nếu toàn bộ chúng ta có: a+b=c và b là một bội của một số trong những n bất kỳ, thì a và c nhất thiết sẽ có được cùng một số trong những dư khi chia cho n. Ví dụ, trong 2 + 7 = 9 thì 7 chia hết cho 7. Vì vậy 2 và 9 phải có cùng một số trong những dư khi chia cho 7. Số dư đó là 2.

Do đó, nếu một số trong những n là một bội của 7 (nghĩa là: số dư của phép chia n/7 là 0) thì khi cộng (hoặc trừ) thêm vào n một bội khác của 7 ta vẫn được một bội của 7.

Điều mà thuật toán này thực thi, như đã lý giải ở trên riêng với hầu hết những quy tắc chia hết, chỉ đơn thuần và giản dị là trừ từng bội số nhỏ của 7 từ số ban đầu cho tới lúc đạt được một số trong những đủ nhỏ để toàn bộ chúng ta nhớ liệu nó liệu có phải là bội số của 7. Nếu chữ số 1 trở thành 3 ở vị trí thập phân tiếp theo nó, điều này tương tự như chuyển 10×10n thành 3×10n. Và điều này thực sự cũng như việc trừ 7×10n (rõ ràng là bội số của 7) vào 10×10n.

Tương tự, khi ta biến chữ số 3 thành chữ số 2 ở vị trí thập phân sau, thực ra ta đang biến 30×10n thành 2×10n, điều này cũng như phép trừ 30×10n − 28×10n, và đây lại là một phép trừ bội số của 7. Lý do tương tự cũng vận dụng cho toàn bộ những biến hóa còn sót lại:

• 20×10n − 6×10n = 14×10n
• 60×10n − 4×10n = 56×10n
• 40×10n − 5×10n = 35×10n
• 50×10n − 1×10n = 49×10n

Ví dụ phương pháp thứ nhất

1050 → 105 − 2×0 = 105 − 0 = 105 → 10 − 2×5 = 10 − 10 = 0.

ĐÁP ÁN: 1050 chia hết cho 7.

Ví dụ phương pháp thứ hai

1050 → 0501 (hòn đảo ngược) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (nhân và cộng với những chữ số trong dãy).

ĐÁP ÁN: 1050 chia hết cho 7.

Phương pháp Vệ-đà (Vedic) xét tính chia hết cho 7

Có thể xét tính chia hết cho 7 nhờ phương pháp số mật tiếp trong Toán học Vệ-đà: bằng một phép nhân ước số với một số trong những (nhân tử) gọi là số mật tiếp hay Ekhādika. Cách làm này còn tồn tại thể vận dụng cho xét tính chia hết cho ước số bất kỳ. Đầu tiên đổi ước số cần kiểm tra (tức số 7) sang "họ số 9" bằng phương pháp lấy 7 nhân với 7 để sở hữu số 49: 7×7 = 49. Cộng 1 được 50, bỏ đi chữ số cty ta được 5, rồi lấy 5 làm Ekhādika hay nhân tử. Bắt đầu xét tính chia hết từ phía bên phải của số cần xét. Nhân chữ số tận cùng bên phải với 5 rồi cộng tích này với chữ số bên trái ngay tiếp theo đó. Viết kết quả vào một trong những dòng ở ngay dưới chữ số đó. Lặp lại phương pháp đó, nhân chữ số tận cùng của số kết quả ở dòng dưới với 5 rồi cộng với chữ số hàng trăm. Sau đó thêm vào đó chữ số tiếp theo bên trái của số ban đầu. Viết kết quả đó ngay dưới chữ số đó, cứ tiếp tục lặp thuật toán cho tới hết bên trái. Nếu kết quả ở đầu cuối được là 0 hoặc là một bội số của 7 thì đúng là số ban đầu cũng chia hết cho 7. Nếu không thì không chia hết. Điều này tuân Theo phong cách ghi một dòng lý tưởng trong kinh Vệ-đà.[11][nguồn không đáng tin?]

Ví dụ phương pháp Vệ-đà:

Xét xem số 438,722,025 có chia hết cho 7 hay là không? Nhân tử = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 5 | | | | | | | | | 42 37 46 37 6 40 37 27 05 ĐÚNG

Phương pháp Pohlman–Mass

Phương pháp Pohlman-Mass phục vụ một lời giải nhanh gọn hoàn toàn có thể xác lập xem hầu hết những số nguyên có chia hết cho 7 hay là không trong ba bước hoặc thấp hơn. Phương pháp này hoàn toàn có thể hữu ích trong một cuộc thi toán học như MATHCOUNTS, trong số đó thời hạn là một yếu tố quyết định hành động trong nhìn nhận kỹ năng giải không cần máy tính và tính điểm trong Vòng Nước rút.

Bước A: Nếu số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng 1.000, trừ hai lần chữ số tận cùng của số vào số được tạo thành bởi những chữ số còn sót lại. Nếu kết quả là bội số của bảy, thì số ban đầu cũng vậy (và ngược lại). Ví dụ:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 CÓ 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 CÓ 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 KHÔNG

Vì 1,001 chia hết cho 7, ta hoàn toàn có thể tìm thấy một phát hiện thú vị: cho những bộ số gồm 1, 2 hoặc 3 chữ số lặp lại và những chữ số 0 xen giữa tạo thành những số có 6 chữ số (được cho phép những số 0 ở đầu) thì trong số đó toàn bộ những số như vậy đều chia hết cho 7. Ví dụ:

001 001 = 1,001 / 7 = 143 010 010 = 10,010 / 7 = 1,430 011 011 = 11,011 / 7 = 1,573 100 100 = 100,100 / 7 = 14,300 101 101 = 101,101 / 7 = 14,443 110 110 = 110,110 / 7 = 15,730 01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,443 10 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430 111,111 / 7 = 15,873 222,222 / 7 = 31,746 999,999 / 7 = 142,857 576,576 / 7 = 82,368

Đối với toàn bộ những ví dụ trên, trừ ba chữ số thứ nhất cho ba chữ số ở đầu cuối sẽ cho kết quả là bội số của bảy. Lưu ý rằng những số 0 được phép ở đầu để tạo thành xâu gồm 6 chữ số. Phát hiện này là cơ sở cho những bước tiếp theo, B và C.

Bước B: Nếu số nguyên nằm trong mức chừng từ là 1,001 đến một triệu, hãy tìm xâu gồm những 1, 2 hoặc 3 chữ số lặp lại tạo thành một số trong những có 6 chữ số gần với số nguyên cần xét (được cho phép đặt những số 0 ở đầu và điều này hoàn toàn có thể giúp bạn tưởng tượng ra số xâu). Nếu hiệu dương giữa xâu đó và số cần xét nhỏ hơn 1.000, hãy vận dụng Bước A. Điều này hoàn toàn có thể được thực thi bằng phương pháp trừ ba chữ số thứ nhất cho ba chữ số ở đầu cuối. Ví dụ:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 CÓ 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 CÓ

Thực tế rằng 999,999 là một bội số của 7 hoàn toàn có thể được sử dụng để xác lập tính chia hết cho 7 của những số nguyên to nhiều hơn một triệu bằng phương pháp giảm số nguyên ấy thành số có 6 chữ số hoàn toàn có thể được xác lập bằng bước B. Có thể được thực thi thuận tiện và đơn thuần và giản dị điều này bằng phương pháp thêm vào đó những chữ số bên trái sáu chữ số thứ nhất đến với số tạo bởi sáu chữ số và tiếp tục với Bước A.

Bước C: Nếu số nguyên cần xét to nhiều hơn một triệu, trừ nó cho bội số sớm nhất của 999.999 và tiếp theo đó vận dụng Bước B. Đối với những số to nhiều hơn, sử dụng những bộ to nhiều hơn như số gồm 12 chữ số (999.999.999.999), v.v. Sau đó, biến hóa số nguyên thành một số trong những nhỏ hơn hoàn toàn có thể giải được bằng Bước B. Ví dụ:

22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Bước A) = 42 CÓ

Điều này được cho phép ta cộng và trừ những bộ ba chữ số xen kẽ nhau để xác lập kĩ năng chia hết cho 7. Hiểu được bộ sưu tập này được cho phép bạn nhanh gọn tính toán xét chia hết cho 7 như được thấy trong những ví dụ mẫu sau:

Ví dụ phương pháp Pohlman−Mass xét tính chia hết cho 7:

Xét xem 98 liệu có chia hết cho 7? 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 CÓ (Bước A) Xét xem 634 có chia hết cho 7 hay là không? 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 KHÔNG (Bước A) Xét xem 355,341 có chia hết cho 7 hay là không? 355,341 − 341,341 = 14,000 (Bước B) -> 014 − 000 (Bước B) -> 14 = 1 − (4×2) (Bước A) = 1 − 8 = −7 CÓ Xét xem 42,341,530 có chia hết cho 7 hay là không? 42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Bước C) 341,572 − 341,341 = 231 (Bước B) 231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 CÓ (Bước A) Sử dụng một chuỗi cộng trừ đại số xen kẽ: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 CÓ

Phương pháp nhân với 3 để xét tính chia hết cho 7, ví dụ:

Xét xem 98 liệu có chia hết cho 7? 98 -> lấy 9 chia 7 dư 2 -> 2×3 + 8 = 14 CÓ Xét xem 634 liệu có chia hết cho 7? 634 -> 6×3 + 3 = 21 -> dư 0 -> 0×3 + 4 = 4 KHÔNG Xét xem 355,341 liệu có chia hết cho 7? 3 * 3 + 5 = 14 -> dư 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> dư 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> dư 2 -> 2×3 + 1 = 7 CÓ Tìm số dư của 1036125837 chia cho 7 1×3 + 0 = 3 3×3 + 3 = 12 dư 5 5×3 + 6 = 21 dư 0 0×3 + 1 = 1 1×3 + 2 = 5 5×3 + 5 = 20 dư 6 6×3 + 8 = 26 dư 5 5×3 + 3 = 18 dư 4 4×3 + 7 = 19 dư 5 Đáp số là 5

Tìm số dư của một số trong những khi chia cho 7 (một cách khác)

Sử dụng những dãy số sau:

Bắt đầu từ 7 — (1, 3, 2, —1, —3, —2, chu kỳ luân hồi 6 của dãy được lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo, quay trở lại từ là 1, 3,...) Chu kỳ: 6 chữ số. Các số lặp lại: 1, 3, 2, −1, −3, −2. Đây là dãy số độ lớn cực tiểu

hoặc dãy số dương:

(1, 3, 2, 6, 4, 5, chu kỳ luân hồi lặp lại cho sáu chữ số tiếp theo) Chu kỳ: 6 chữ số. Số lặp lại: 1, 3, 2, 6, 4, 5

Nhân chữ số tận cùng bên phải (hàng cty) của số cần xét với chữ số bên trái thứ nhất của một trong hai dãy trên, tiếp theo này lại nhân chữ số thứ hai tính từ bên phải tiếp đó của số cần xét với số thứ hai bên trái của dãy, cứ như vậy làm phép nhân cho tới hết. Sau đó, tính tổng toàn bộ những giá trị và lấy môđun của 7.

Ví dụ: Số dư khi 1036125837 chia cho 7 là bao nhiêu? Phép nhân chữ số tận cùng bên phải = 1×7 = 7 Phép nhân chữ số thứ hai tính từ bên phải = 3 × 3 = 9 Chữ số thứ ba tính từ bên phải = 8 × 2 = 16 Chữ số thứ tư tính từ bên phải = 5 × −1 = −5 Chữ số thứ năm tính từ bên phải = 2 × −3 = −6 Chữ số thứ sáu tính từ bên phải = 1 × −2 = −2 Chữ số thứ bảy tính từ bên phải = 6 × 1 = 6 Chữ số thứ tám tính từ bên phải = 3 × 3 = 9 Chữ số thứ chín tính từ bên phải = 0 Chữ số thứ mười tính từ bên phải = 1 × −1 = −1 Tổng = 33 33 mod 7 = 5 Phần dư = 5

Phương pháp cặp chữ số chia hết cho 7

Phương pháp này sử dụng dãy mẫu 1, −3, 2 trên những cặp chữ số. Nghĩa là, hoàn toàn có thể kiểm tra kĩ năng chia hết của bất kỳ số nào cho 7 bằng phương pháp thứ nhất tách số đó thành những cặp chữ số, tiếp theo đó nhân từng cặp chữ số đó với từng số của dãy, làm vậy tới ba cặp chữ số (tức là tới sáu chữ số). Nếu số cần xét nhỏ hơn sáu chữ số, thì điền thêm những chữ số 0 vào bên phải cho tới lúc có sáu chữ số. Nếu số cần xét to nhiều hơn sáu chữ số, thì lặp lại chu kỳ luân hồi trên cho nhóm sáu chữ số tiếp theo và tiếp theo đó cộng những kết quả với nhau. Lặp lại thuật toán này cho tới lúc kết quả được một số trong những đủ nhỏ. Số ban đầu chia hết cho 7 khi và chỉ khi số thu được bằng phương pháp sử dụng thuật toán này chia hết cho 7. Phương pháp này đặc biệt quan trọng phù phù thích hợp với những số nguyên lớn.

Ví dụ 1:

Số cần kiểm tra là 157514. Đầu tiên ta tách số đó thành những cặp chữ số: 15, 75 và 14.

Sau đó ta vận dụng thuật toán: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182

Vì kết quả là 182 nhỏ hơn sáu chữ số, ta thêm số 0 vào bên phải cho tới lúc nó có sáu chữ số.

Sau đó, toàn bộ chúng ta lại vận dụng thuật toán: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42

Kết quả −42 ta đã biết chia hết cho 7, do đó số ban đầu 157514 cũng chia hết cho 7.

Ví dụ 2:

Số cần kiểm tra là 15751537186.

(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77

Kết quả −77 chia hết cho 7, do đó số ban đầu 15751537186 ​​chia hết cho 7.

Tính chia hết cho 13

Kiểm tra số dư khi chia cho 13: sử dụng dãy mẫu (1, −3, −4, −1, 3, 4, chu kỳ luân hồi tiếp tục.) Nếu bạn lạ lẫm tính toán những số âm, thì sử dụng dãy số: (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Nhân chữ số tận cùng bên phải của số nguyên cần xét với chữ số bên trái thứ nhất của dãy số ở trên (1), tiếp theo đó nhân chữ số thứ hai tính từ phải của số cần xét với chữ số thứ hai trong dãy số. Cứ như vậy, chu kỳ luân hồi tiếp tục.

Ví dụ: Số dư khi 321 chia cho 13 là bao nhiêu?
Sử dụng dãy số thứ nhất,
Trả lời: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
Số dư = −17 mod 13 = 9

Ví dụ: Số dư khi 1234567 chia cho 13 là bao nhiêu?
Sử dụng dãy số thứ hai,
Trả lời: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9
Số dư = 9.

Tính chia hết hoàn toàn có thể được xác lập bằng hai cách, tùy thuộc vào loại ước số.

Ước số hợp

Một số cần xét chia hết cho một ước số hợp nếu nó chia hết cho bậc lũy thừa cao nhất của từng thừa số nguyên tố của ước số. Ví dụ, để xác lập tính chia hết của một số trong những cho 36, ta xét tính chia hết của nó cho 4 và 9.[8] Lưu ý rằng, nên phải xét tới bậc lũy thừa cao nhất, vì thế nếu xét cho 3 và 12, hay 2 và 18, sẽ là không đủ. Một bảng những thừa số nguyên tố hoàn toàn có thể hữu ích cho việc này.

Một ước số hợp cũng hoàn toàn có thể có quy tắc riêng được xây dựng bằng phương pháp sử dụng quy trình tương tự như riêng với một ước số nguyên tố, như được đưa ra dưới đây nhất là riêng với những ước hợp số đúng bằng lũy thừa của một số trong những nguyên tố, lưu ý rằng những biến hóa liên quan hoàn toàn có thể không dùng tới bất kỳ thừa số nguyên tố nào có trong ước số. Ví dụ, ta không thể đưa ra quy tắc xét cho 14 mà liên quan đến việc nhân phương trình với 7. Đây không phải là yếu tố riêng với những ước nguyên tố vì chúng không phân tích được thành thừa số nào nhỏ hơn.

Ước số nguyên tố

Mục đích là phải đi tìm một số trong những nghịch hòn đảo của 10 theo modulo ước số nguyên tố đang xét (không vận dụng cho 2 và 5) và sử dụng nó làm nhân tử để làm cho tính chia hết cho ước nguyên tố đó của số ban đầu tùy từng tính chia hết của số mới nhận được sau quy trình biến hóa (thường là số nhỏ hơn ban đầu) cho cùng ước nguyên tố đang xét. Lấy ví dụ với số 31, chính bới 10×(−3) = −30 = 1 mod 31, ta được quy tắc sử dụng y − 3x trong bảng dưới. Cũng vì vậy, bởi 10×28 = 280 = 1 mod 31, ta đã có được một quy tắc khác xét chia hết cho 31, chọn quy tắc nào để dùng thì tùy lấy số nhỏ hơn để thuận tiện tính toán. Thực tế là quy tắc này dành riêng cho những ước nguyên tố ngoài 2 và 5 thực sự là quy tắc chia hết cho bất kỳ số nguyên tố cùng nhau nào với 10 (gồm có 33 và 39; xem bảng phía dưới). Đây là nguyên do tại sao Đk chia hết trong bảng trên và dưới đây cho bất kỳ số nguyên tố cùng nhau nào với 10 đều phải có dạng giống nhau (tức cộng hoặc trừ bội của chữ số ở đầu cuối với phần còn sót lại của số).

Các ví dụ đáng để ý quan tâm

Bảng sau phục vụ những quy tắc cho một số trong những ước số trên 30:

Ước số Điều kiện chia hết Ví dụ 31 Trừ 3 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại của số cần xét. 837: 83 − 3×7 = 62 32 Số tạo bởi 5 chữ số ở đầu cuối chia hết cho 32.[2][3] 25,135,520: 35,520 = 1110×32 Nếu chữ số hàng trăm nghìn là chẵn, xét số tạo bởi 4 chữ số ở đầu cuối 41,312: 1312. Nếu chữ số tạo bởi hàng trăm nghìn là lẻ, xét số tạo bởi 4 chữ số ở đầu cuối cộng 16. 254,176: 4176+16 = 4192. Cộng hai chữ số ở đầu cuối vào 4 lần phần còn sót lại. 1312: (13×4) + 12 = 64. 33 Cộng 10 lần chữ số ở đầu cuối vào phần còn sót lại. 627: 62 + 10×7 = 132,

13 + 10×2 = 33.

Từ phải qua trái, cộng nhóm hai những chữ số lại với nhau rồi xét tổng đó. 2145: 21 + 45 = 66. Số đó chia hết cho toàn bộ ba và 11. 627: 62 - 7 = 55 và 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5 35 Số đó phải chia hết cho 7 và tận cùng bởi 0 hoặc 5. 315: 31 - 5×2 = 21 = 3×7, chia hết cho toàn bộ bảy và 5 37 Cộng từng nhóm 3 chữ số từ phải qua trái và xét tổng đó. 2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37×25. Trừ 11 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 925: 92 − (5×11) = 37. 39 Số đó chia hết cho toàn bộ ba và 13. 351: 35 - 1 = 34 và 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4 Cộng 4 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 351: 35 + (1 × 4) = 39 41 Tính tổng những nhóm năm chữ số từ phải sang trái rồi xét tổng đó. 72,841,536,727: 7 + 28,415 + 36,727 = 65,149 = 41×1,589. Trừ 4 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 738: 73 − 8 × 4 = 41. 43 Cộng 13 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 36,249: 3624 + 9 × 13 = 3741,
374 + 1 × 13 = 387,
38 + 7 × 13 = 129,
12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3. Trừ 3 lần hai chữ số ở đầu cuối vào phần còn sót lại. 36,249: 362 - 49 × 3 = 215 = 43 × 5. 45 Số đó phải chia hết cho 9 và tận cùng bởi 0 hoặc 5.[8] 2025: Tận cùng bởi 5 và 2+0+2+5 = 9. 47 Trừ 14 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 1,642,979: 164297 − 9 × 14 = 164171,
16417 − 14 = 16403,
1640 − 3 × 14 = 1598,
159 − 8 × 14 = 47. Cộng hai chữ số ở đầu cuối vào 6 lần phần còn sót lại. 705: 7 × 6 + 5 = 47. 49 Cộng 5 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 1,127: 112+(7×5)=147.
147: 14 + (7×5) = 49 Cộng hai chữ số ở đầu cuối vào 2 lần phần còn sót lại. 588: 5 × 2 + 88 = 98. 50 Hai chữ số ở đầu cuối là 00 hoặc 50. 134,250: 50. 51 Số đó phải chia hết cho toàn bộ ba và 17. 459: 4 × 2 - 59 = -51, và 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6 Trừ 5 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 204: 20-(4×5) = 0 Trừ hai chữ số ở đầu cuối vào 2 lần phần còn sót lại. 459: 4 × 2 - 59 = -51. 53 Cộng 16 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 3657: 365+(7×16)=477 = 9 × 53 Trừ hai chữ số ở đầu cuối vào 6 lần phần còn sót lại. 5777: 57 × 6 - 77 = 265. 55 Số đó phải chia hết cho 11 và tận cùng bởi 0 hoặc 5.[8]57 Số đó phải chia hết cho toàn bộ ba và 19. 3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19, và 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5 Trừ 17 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 3591: 359 − 17 = 342,
34 − 2 × 17 = 0. 59 Cộng 6 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 295: 29 + 5×6= 59 61 Trừ 6 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 732: 73-(2×6)=61 64 Số tạo bởi 6 chữ số ở đầu cuối phải chia hết cho 64.[2][3] 2,640,000 chia hết cho 64. 65 Số đó phải chia hết cho 13 và tận cùng bởi 0 hoặc 5.[8]67 Trừ hai lần hai chữ số ở đầu cuối vào phần còn sót lại. 9112: 91 - 12×2 = 67 Trừ 20 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 4489: 448-9×20 = 448-180 = 268. 69 Số đó phải chia hết cho 3 và 23. 345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4, và 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23 Cộng 7 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 345: 34 + 5×7 = 69 71 Trừ 7 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 852: 85-(2×7) = 71 73 Lập tổng xen kẽ những nhóm 4 chữ số từ phải sang trái. 220,241: 241 - 22 = 219. Cộng 22 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 5329: 532 + 22 × 9 = 730,
7 + 22 × 3 = 73. 75 Số đó phải chia hết cho 3 và tận cùng bởi 00, 25, 50 hoặc 75.[8]77 Số đó chia hết cho 7 và 11. 693: 69 - 3 = 66 = 11 × 6, và 69 - (6 × 2) = 63 = 7 × 9 Lập tổng xen kẽ những nhóm 3 chữ số từ phải sang trái. 76,923: 923 - 76 = 847. 79 Cộng 8 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 711: 71 + 1×8= 79 81 Trừ 8 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 162: 16-(2×8)=0 83 Cộng 25 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 581: 58+(1×25)=83 Cộng ba chữ số ở đầu cuối vào 4 lần phần còn sót lại. 38,014: (4×38) + 14 = 166 85 Số đó phải chia hết cho 17 tận cùng bởi 0 hoặc 5. 30,855: 3085 - 25 = 3060 = 17×18, và số đó tận cùng bởi 5. 87 Trừ 26 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 15138: 1513 − 8 × 26 = 1305,
130 − 5 × 26 = 0. 89 Cộng 9 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 801: 80 + 1×9 = 89 Cộng hai chữ số ở đầu cuối vào 11 lần phần còn sót lại. 712: 12 + (7×11) = 89 91 Trừ 9 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 182: 18 - (2×9) = 0 Lập tổng xen kẽ những nhóm 3 chữ số từ phải sang trái. 5,274,997: 5 - 274 + 997 = 728 Số đó chia hết cho 7 và 13. 8281: 828+4 = 832. 83+8=91

828-2=826. 82-12=70.

95 Số đó phải chia hết cho 19 tận cùng bởi 0 hoặc 5. 51,585: 5158 + 10 = 5168,
516 + 16 = 532,
53 + 4 = 57 = 19×3, và số đó tận cùng bởi 5. 97 Trừ 29 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 291: 29 - (1×29) = 0 Cộng hai chữ số ở đầu cuối vào 3 lần phần còn sót lại. 485: (3×4)+ 85 = 97 99 Số đó chia hết cho 9 và 11. 891: 89 - 1 = 88.

8 + 9 + 1 = 18.

Cộng những nhóm hai chữ số từ phải sang trái. 144,837: 14 + 48 + 37 = 99. 100 Tận cùng bởi tối thiểu hai chữ số 0. 14100: Nó có hai chữ số 0 ở cuối. 101 Lập tổng xen kẽ những nhóm 2 chữ số từ phải sang trái. 40,299: 4 - 2 + 99 = 101. 103 Cộng 31 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 585658: 58565 + (8×31) = 58813. 58813: 103 = 571 Trừ hai chữ số ở đầu cuối vào 3 lần phần còn sót lại. 5356: (53×3) - 56 = 103 107 Trừ 32 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 428: 42 - (8×32) = -214 Trừ hai chữ số ở đầu cuối vào 7 lần phần còn sót lại. 1712: 17 × 7 - 12 = 107 109 Cộng 11 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 654: 65 + (11×4) = 109 111 Cộng những nhóm ba chữ số từ phải sang trái. 1,370,184: 1 + 370 + 184 = 555 113 Cộng 34 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 3842: 384 + 34 × 2 = 452,
45 + 34 × 2 = 113. 121 Trừ 12 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 847: 84 - 12 × 7 = 0 125 Số tạo bởi ba chữ số ở đầu cuối phải chia hết cho 125.[3] 2125 chia hết cho 125. 127 Trừ 38 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 4953: 495 - 38 × 3 = 381,
38 - 38 × 1 = 0. 128 Số tạo bởi 7 chữ số ở đầu cuối phải chia hết cho 128.[2][3] 11,280,000 chia hết cho 128. 131 Trừ 13 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 1834: 183 - 13 × 4 = 131,
13 - 13 = 0. 137 Lập tổng xen kẽ những nhóm 4 chữ số từ phải sang trái. 340,171: 171 - 34 = 137. 139 Cộng 14 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 1946: 194 + 14 × 6 = 278,
27 + 14 × 8 = 139. 143 Lập tổng xen kẽ những nhóm 3 chữ số từ phải sang trái. 1,774,487: 1 - 774 + 487 = -286 Cộng 43 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 6149: 614 + 43 × 9 = 1001,
100 + 43 = 143. 149 Cộng 15 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 2235: 223 + 15 × 5 = 298,
29 + 15 × 8 = 149. 151 Trừ 15 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 66,893: 6689 - 15 × 3 = 6644 = 151×44. 157 Trừ 47 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 7536: 753 - 47 × 6 = 471,
47 - 47 = 0. 163 Cộng 49 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 26,569: 2656 + 441 = 3097 = 163×19. 167 Trừ 5 lần hai chữ số ở đầu cuối vào phần còn sót lại. 53,774: 537 - 5 × 74 = 167. 173 Cộng 52 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 8996: 899 + 52 × 6 = 1211,
121 + 52 = 173. 179 Cộng 18 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 3222: 322 + 18 × 2 = 358,
35 + 18 × 8 = 179. 181 Trừ 18 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 3258: 325 - 18 × 8 = 181,
18 - 18 = 0. 191 Trừ 19 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 3629: 362 - 19 × 9 = 191,
19 - 19 = 0. 193 Cộng 58 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 11194: 1119 + 58 × 4 = 1351,
135 + 58 = 193. 197 Trừ 59 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 11820: 118 - 59 × 2 = 0. 199 Cộng 20 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 3980: 39 + 20 × 8 = 199. 200 Hai chữ số cuối của số là "00", và chữ số thứ ba từ phải (hàng trăm) là chẵn. 34,400: Chữ số hàng trăm là 4, và hai chữ số ở đầu cuối là 0. 211 Trừ 21 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 44521: 4452 - 21 × 1 = 4431,
443 - 21 × 1 = 422,
42 - 21 × 2 = 0. 223 Cộng 67 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 49729: 4972 + 67 × 9 = 5575,
557 + 67 × 5 = 892,
89 + 67 × 2 = 223. 225 Hai chữ số cuối của số đó là "00", "25", "50", hoặc "75" và tổng những chữ số là một bội của 9. 15,075: 75 ở cuối và 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2×9. 227 Trừ 68 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 51756: 5175 - 68 × 6 = 4767,
476 - 68 × 7 = 0. 229 Cộng 23 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 52441: 5244 + 23 × 1 = 5267,
526 + 23 × 7 = 687,
68 + 23 × 7 = 229. 233 Cộng 70 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 54289: 5428 + 70 × 9 = 6058,
605 + 70 × 8 = 1165,
116 + 70 × 5 = 466,
46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2. 239 Cộng từng nhóm 7 chữ số từ phải sang trái với nhau rồi xét tổng. 1,560,000,083: 156 + 83 = 239. Cộng 24 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 57121: 5712 + 24 × 1 = 5736,
573 + 24 × 6 = 717,
71 + 24 × 7 = 239. 241 Trừ 24 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 58081: 5808 - 24 × 1 = 5784,
578 - 24 × 4 = 482,
48 - 24 × 2 = 0. 250 Số tạo bởi ba chữ số ở đầu cuối phải chia hết cho 250.[2][3] 1,327,750 chia hết cho 250. 251 Trừ 25 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 63001: 6300 - 25 × 1 = 6275,
627 - 25 × 5 = 502,
50 - 25 × 2 = 0. 256 Số tạo bởi 8 chữ số ở đầu cuối phải chia hết cho 256.[2][3] 225,600,000 chia hết cho 256. 257 Trừ 77 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 66049: 6604 - 77 × 9 = 5911,
591 - 77 × 1 = 514 = 257 × 2. 263 Cộng 79 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 69169: 6916 + 79 × 9 = 7627,
762 + 79 × 7 = 1315,
131 + 79 × 5 = 526,
52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2. 269 Cộng 27 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 72361: 7236 + 27 × 1 = 7263,
726 + 27 × 3 = 807,
80 + 27 × 7 = 269. 271 Xét tổng những nhóm 5 chữ số từ phải sang trái. 77,925,613,961: 7 + 79,256 + 13,961 = 93,224 = 271×344. Trừ 27 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 73441: 7344 - 27 × 1 = 7317,
731 - 27 × 7 = 542,
54 - 27 × 2 = 0. 277 Trừ 83 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 76729: 7672 - 83 × 9 = 6925,
692 - 83 × 5 = 277. 281 Trừ 28 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 78961: 7896 - 28 × 1 = 7868,
786 - 28 × 8 = 562,
56 - 28 × 2 = 0. 283 Cộng 85 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 80089: 8008 + 85 × 9 = 8773,
877 + 85 × 3 = 1132,
113 + 85 × 2 = 283. 293 Cộng 88 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 85849: 8584 + 88 × 9 = 9376,
937 + 88 × 6 = 1465,
146 + 88 × 5 = 586,
58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2. 300 Hai chữ số cuối của số đó là "00", và tổng những chữ số phải chia hết cho 3. 3,300: Tổng những chữ số của số là 6, và tận cùng bởi 00. 329 Cộng 33 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 9541:954+1×33=954+33=987. 987=3×329. 331 Trừ 33 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 22177: 2217-231=1986. 1986=6×331. 333 Cộng những nhóm ba chữ số từ phải sang trái. 410,922: 410 + 922 = 1,332 369 Cộng từng nhóm 5 chữ số từ phải sang trái với nhau rồi xét tổng. 50243409: 43409+502 = 43911. 43911 = 369×119. Cộng 37 lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại. 8487: 848+7×37 = 848+259 = 1107 = 369×3. 375 Số tạo bởi 3 chữ số cuối phải chia hết cho 125 và tổng những chữ số là một bội của 3. 140,625: 625 = 125×5 và 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6×3. 499 Cộng ba chữ số ở đầu cuối vào hai lần phần còn sót lại. 74,351: 74 × 2 + 351 = 499. 500 Tận cùng bởi 000 hoặc 500. 47,500 chia hết cho 500. 512 Số tạo bởi chín chữ số ở đầu cuối phải chia hết cho 512.[2][3] 1,512,000,000 chia hết cho 512. 625 Tận cùng bởi 0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 hoặc 9375.

Hoặc số tạo bởi bốn chữ số ở đầu cuối chia hết cho 625.

567,886,875: 6875. 983 Cộng ba chữ số ở đầu cuối vào 17 lần phần còn sót lại. 64878: 64×17+878=1966. 1966=2×983 987 Cộng ba chữ số ở đầu cuối vào 13 lần phần còn sót lại. 30597: 30×13+597=987 Số đó phải chia hết cho 329 với tổng những chữ số chia hết cho 3. 547785: 5+4+7+7+8+5=36. 36=3×12

54778+5×33=54943. 5494+3×33=5593. 559+3×33=658. 658=2×329.

989 Cộng ba chữ số ở đầu cuối vào 11 lần phần còn sót lại. 21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989 Số đó phải chia hết cho toàn bộ 23 và 43. 1978: 197+56=253. 253=11×23

197+104=301. 301=7×43.

993 Cộng ba chữ số ở đầu cuối vào 7 lần phần còn sót lại. 986049: 49+6902=6951. 6951=7×993. Số đó phải chia hết cho 331 với tổng những chữ số chia hết cho 3. 8937: 8+7=15. 15=3×5. (Ghi chú: 9 và 3 đều chia hết cho 3 nên không cần tính vào tổng.)
893-231=662. 662=2×331. 997 Cộng ba chữ số ở đầu cuối vào 3 lần phần còn sót lại. 157,526: 157 × 3 + 526= 997 999 Cộng những nhóm ba chữ số từ phải sang trái. 235,764: 235 + 764 = 999 1000 Tận cùng bởi tối thiểu 3 chữ số 0. 2000 tận cùng bởi 3 chữ số 0

Để kiểm tra tính chia hết cho ước số D, trong số đó D kết thúc bằng 1, 3, 7 hoặc 9, hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp sau.[12] Tìm một bội số của D tận cùng bởi 9. (Tức là nếu D tận cùng bởi 1, 3, 7, hoặc 9 thì nhân tương ứng với 9, 3, 7, hoặc 1.) Sau đó thêm vào đó 1 và chia cho 10, kết quả nhận được kí hiệu là m. Vậy thì, một số trong những bất kỳ dạng N = 10t + q chia hết cho D khi và chỉ khi mq + t cũng chia hết cho D. Nếu số đó quá dài, ta cũng hoàn toàn có thể tách số đó thành từng xâu, mỗi xâu gồm e chữ số, thỏa mãn nhu cầu 10e = 1 hoặc 10e = -1 (mod D). Tổng (hoặc tổng xen kẽ) của những xâu này còn có cùng tính chia hết cho D tương tự số ban đầu.

Ví dụ, để xác lập xem số 913 = 10×91 + 3 có chia hết cho 11 hay là không, tìm m sao cho m = (11×9+1)÷10 = 10. Khi đó mq+t = 10×3+91 = 121 = 11×11; Lấy một ví dụ khác, để xác lập xem 689 = 10×68 + 9 có chia hết cho 53 hay là không, tìm rằng m = (53×3+1)÷10 = 16. Khi đó mq+t = 16×9+68 = 212 chia hết cho 53 (có thương là 4); vì vậy 689 cũng chia hết cho 53.

Cách khác, bất kỳ số nguyên nào Q. = 10c + d chia hết cho n = 10a + b, sao cho gcd(n, 2, 5) = 1, nếu c+D(n)*d = A*n với một số trong những nguyên A, trong số đó: D ( n ) ≡ { 9 a + 1 , nếu  n  = 10a+1 3 a + 1 , nếu  n  = 10a+3 7 a + 5 , nếu  n  = 10a+7 a + 1 , nếu  n  = 10a+9   displaystyle D(n)equiv begincases9a+1,&mboxnếu nmbox = 10a+1\3a+1,&mboxnếu nmbox = 10a+3\7a+5,&mboxnếu nmbox = 10a+7\a+1,&mboxnếu nmbox = 10a+9endcases  

Một vài số hạng thứ nhất của dãy tạo bởi D(n) là một trong, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2,... (dãy A333448 trong OEIS).

Dạng theo từng khoảng chừng của hàm D(n) và dãy được tạo ra chính bới nó được nhà toán học người Bulgaria Ivan Stoykov công bố lần thứ nhất vào tháng 3 năm 2022.[13]

Nhiều quy tắc đơn thuần và giản dị hoàn toàn có thể được lập ra chỉ bằng phương pháp sử dụng những thao tác đại số, tạo ra những nhị thức và sắp xếp lại chúng. Bằng cách viết một số trong những dưới dạng tổng của từng chữ số nhân với một lũy thừa của 10, hoàn toàn có thể thao tác trên mỗi bậc chữ số riêng lẻ.

Trường hợp quy tắc cộng toàn bộ chữ số

Phương pháp này vận dụng cho xét những ước là thừa số (nhân tử) của 10 − 1 = 9.

Lấy 3 làm ví dụ, 3 chia hết 9 = 10 − 1. Vậy tức là 10 ≡ 1 ( mod 3 ) displaystyle 10equiv 1pmod 3   (click more số học mô đun). Tương tự với những bậc lũy thừa cao hơn của 10: 10 n ≡ 1 n ≡ 1 ( mod 3 ) displaystyle 10^nequiv 1^nequiv 1pmod 3  . Tất cả chúng đều đồng dư với cùng 1 modulo 3. Vì hai số đồng dư modulo 3 thì cả hai đều chia hết cho 3 hoặc đều không chia hết, ta hoàn toàn có thể tùy ý hoán đổi Một trong những giá trị đồng dư với 3. Vì thế, với một số trong những ví như sau, ta hoàn toàn có thể thay toàn bộ những lũy thừa 10 trong số đó bằng số 1:

100 ⋅ a + 10 ⋅ b + 1 ⋅ c ≡ ( 1 ) a + ( 1 ) b + ( 1 ) c ( mod 3 ) displaystyle 100cdot a+10cdot b+1cdot cequiv (1)a+(1)b+(1)cpmod 3  

và đó chính bằng tổng những chữ số có trong số đó.

Trường hợp quy tắc sử dụng tổng xen kẽ những chữ số

Phương pháp này thích hợp cho những ước là nhân tử của 10 + 1 = 11.

Lấy tín hiệu của 11 làm ví dụ, 11 chia hết 11 = 10 + 1. Tức là 10 ≡ − 1 ( mod 11 ) displaystyle 10equiv -1pmod 11  . Với những bậc lũy thừa cao hơn của 10, chúng đồng dư 1 riêng với những bậc chẵn và đồng dư với −1 riêng với những bậc lẻ:

10 n ≡ ( − 1 ) n ≡ { 1 , khi  n  chẵn − 1 , khi  n  lẻ ( mod 11 ) . displaystyle 10^nequiv (-1)^nequiv begincases1,&mboxkhi nmbox chẵn\-1,&mboxkhi nmbox lẻendcasespmod 11.  

Như ở trường hợp trên, ta hoàn toàn có thể thay những bậc lũy thừa của 10 với những giá trị đồng dư tương ứng của chúng:

1000 ⋅ a + 100 ⋅ b + 10 ⋅ c + 1 ⋅ d ≡ ( − 1 ) a + ( 1 ) b + ( − 1 ) c + ( 1 ) d ( mod 11 ) displaystyle 1000cdot a+100cdot b+10cdot c+1cdot dequiv (-1)a+(1)b+(-1)c+(1)dpmod 11  

này cũng đó đó là hiệu giữa tổng những chữ số ở vị trí hàng lẻ và tổng những chữ số ở vị trí hàng chẵn.

Trường hợp chỉ việc xét (những) chữ số ở đầu cuối

Quy tắc này vận dụng cho những ước là thừa số của một lũy thừa của 10 (ví dụ điển hình 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250...). Đó là vì bậc lũy thừa đủ cao của cơ số (10) chia hết cho ước cần xét, và hoàn toàn có thể bỏ qua.

Ví dụ, trong hệ cơ số 10, những thừa số của 101 gồm có 2, 5, và 10. Vì thế, tính chia hết cho 2, 5, và 10 chỉ tùy từng 1 chữ số ở đầu cuối có chia hết cho những ước đó hay là không. Các thừa số của 102 gồm có 4 và 25, và tính chia hết cho những ước đó chỉ tùy từng 2 chữ số ở đầu cuối.

Trường hợp chỉ bỏ đi (những) chữ số ở đầu cuối

Hầu hết những số nguyên đều không chia hết 9 hoặc 10, nhưng chia hết lũy thừa cao hơn của 10n hoặc 10n − 1. Trong trường hợp này số sẽ vẫn được viết thành những bậc lũy thừa của 10, nhưng không khai triển hoàn toàn.

Ví dụ, 7 không chia hết 9 hay 10, nhưng có chia hết 98, là một số trong những gần 100. Vì vậy, tiếp tục từ đây:

100 ⋅ a + b displaystyle 100cdot a+b  

ở đó trong trường hợp này a là một số trong những nguyên bất kỳ, và b hoàn toàn có thể nằm trong mức chừng từ 0 đến 99. Tiếp Từ đó,

( 98 + 2 ) ⋅ a + b displaystyle (98+2)cdot a+b  

và lại khai triển

98 ⋅ a + 2 ⋅ a + b , displaystyle 98cdot a+2cdot a+b,  

và sau khi bỏ đi số hạng là bội số đã biết của 7, kết quả sẽ là:

2 ⋅ a + b , displaystyle 2cdot a+b,  

đó đó đó là quy tắc "nhân đôi số tạo thành bởi phần còn sót lại ngoài hai chữ số cuối, rồi thêm vào đó vào hai chữ số cuối".

Trường hợp (những) chữ số ở đầu cuối được nhân với một thông số

Biểu diễn của số nguyên cũng hoàn toàn có thể cần phải nhân với một số trong những nguyên tố cùng nhau với ước số đang xét mà không làm thay đổi tính chia hết của nó. Từ quan sát rằng 7 chia hết 21, toàn bộ chúng ta hoàn toàn có thể thực thi như sau:

10 ⋅ a + b , displaystyle 10cdot a+b,  

sau khi nhân với 2, giá trị này trở thành

20 ⋅ a + 2 ⋅ b , displaystyle 20cdot a+2cdot b,  

và tiếp theo đó thành

( 21 − 1 ) ⋅ a + 2 ⋅ b . displaystyle (21-1)cdot a+2cdot b.  

bỏ đi bội số 21 ta được

− 1 ⋅ a + 2 ⋅ b , displaystyle -1cdot a+2cdot b,  

và nhân với −1 được

a − 2 ⋅ b . displaystyle a-2cdot b.  

Có thể sử dụng một trong hai quy tắc ở đầu cuối để xét chia hết, tùy thuộc vào quy tắc nào dễ thực thi tính toán hơn. Chúng tương ứng với quy tắc "trừ hai lần chữ số tận cùng vào phần còn sót lại".

Chứng minh sử dụng số học mô đun

Phần này sẽ minh họa phương pháp cơ bản; toàn bộ những quy tắc khác hoàn toàn có thể được suy ra theo cùng một quy trình. Điều sau này yêu cầu nền tảng kiến thức và kỹ năng cơ bản về số học mô đun; riêng với tính chia hết cho ước khác 2 và 5 những chứng tỏ nhờ vào kết quả cơ bản rằng 10 mod m khả nghịch nếu 10 và m nguyên tố cùng nhau.

Đối với 2n hoặc 5n:

Chỉ cần xét n chữ số ở đầu cuối.

10 n = 2 n ⋅ 5 n ≡ 0 ( mod 2 n  hoặc  5 n ) displaystyle 10^n=2^ncdot 5^nequiv 0pmod 2^nmbox hoặc 5^n  

Biểu diễn x dưới dạng 10 n ⋅ y + z , displaystyle 10^ncdot y+z,  

x = 10 n ⋅ y + z ≡ z ( mod 2 n  hoặc  5 n ) displaystyle x=10^ncdot y+zequiv zpmod 2^nmbox hoặc 5^n  

và tính chia hết của x cho 2 và 5 là tương tự riêng với z.

Đối với 7:

Bởi vì 10 × 5  ≡  10 × (−2)  ≡ 1 (mod 7) toàn bộ chúng ta hoàn toàn có thể làm như sau:

Biểu diễn x dưới dạng 10 ⋅ y + z , displaystyle 10cdot y+z,  

− 2 x ≡ y − 2 z ( mod 7 ) , displaystyle -2xequiv y-2zpmod 7,  

vì thế x chia hết cho 7 khi và chỉ khi y − 2z chia hết cho 7.

• Chia cho số không
• Tính chẵn lẻ (toán học)

^ Gardner, Martin (tháng 9 năm 1962). “Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12”. Scientific American. 207 (3): 232–246. doi:10.1038/scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.

^ a b c d e f g h i j k l m n o p. q Dựa theo tiêu chuẩn của Pascal.

^ a b c d e f g h i j k l m n o p. q Một số chia hết cho 2m, 5m hay 10m khi và chỉ khi số tạo thành bởi m chữ số cuối chia hết cho những số đó

^ a b Apostol (1976), p.. 108

^ a b c d Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), p.. 102–108

^ a b Kisačanin (1998), p.. 101

^ a b Janet Epebinu,http://janetbmath.com

^ a b c d e f g h i j k l m n Richmond & Richmond (2009), Section 3.4 (Divisibility Tests), Theorem 3.4.3, p.. 107

^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (ngày 17 tháng bốn năm 1980). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press. tr. 264. ISBN 0-19-853171-0.

^ Su, Francis E. “"Divisibility by Seven" Mudd Math Fun Facts”. Bản gốc tàng trữ ngày 13 tháng 6 năm 2022. Truy cập ngày 12 tháng 12 năm 2006.

^ Page 274, Vedic Mathematics: Sixteen Simple Mathematical Formulae, by Swami Sankaracarya, published by Motilal Banarsidass, Varanasi, India, 1965, Delhi, 1978. 367 pages.

^ Dunkels, Andrejs, "Comments on note 82.53—a generalized test for divisibility", Mathematical Gazette 84, March 2000, 79-81.

^ Stoykov, Ivan (tháng 3 năm 2022). “OEIS A333448”. OEIS A333448.

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
• Kisačanin, Branislav (1998). Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry. Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
• Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. Pure and Applied Undergraduate Texts. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

• Divisibility Criteria tại cut−the−knot
• Stupid Divisibility Tricks những quy tắc chia hết cho 2–100.

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Quy_tắc_chia_hết&oldid=68442345”

Share Link Download Từ những số 0 7 8 9 Hãy viết những số có 3 chữ số rất khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3 miễn phí

Bạn vừa Read Post Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Video Từ những số 0 7 8 9 Hãy viết những số có 3 chữ số rất khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3 tiên tiến và phát triển nhất và ShareLink Tải Từ những số 0 7 8 9 Hãy viết những số có 3 chữ số rất khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3 Free.

Hỏi đáp vướng mắc về Từ những số 0 7 8 9 Hãy viết những số có 3 chữ số rất khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3

Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Từ những số 0 7 8 9 Hãy viết những số có 3 chữ số rất khác nhau mỗi số đều chia hết cho 3 vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha #Từ #những #số #Hãy #viết #những #số #có #chữ #số #khác #nhau #mỗi #số #đều #chia #hết #cho