Hàm cửa sổ là gì Chi tiết

Thủ Thuật Hướng dẫn Hàm hiên chạy cửa số là gì Chi Tiết

You đang tìm kiếm từ khóa Hàm hiên chạy cửa số là gì được Cập Nhật vào lúc : 2022-04-02 23:57:11 . Với phương châm chia sẻ Thủ Thuật về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết Mới Nhất. Nếu sau khi Read nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comments ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

NGUYỄN LINH TRUNG, TRẦN ĐỨC TÂN, HUỲNH HỮU TUỆ

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ

Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Mục lục

Danh sách hình vẽ iv

Danh sách bảng xii

Lời nói đầu xv

1 GIỚI THIỆU VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 1

1.1 Tínhiệulàgì?.......................... 1

1.2 Hệthốnglàgì? ......................... 4

1.3 Xửlýtínhiệu .......................... 4

1.4 Ứng dụng của xử lý tín hiệu số . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Công nghệ xử lý tín hiệu số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 SỐ HÓA TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ 11

2.1 Mởđầu .............................. 11

2.2 Phương pháp lấy mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Lấymẫuthựctiễn ....................... 19

2.4 Lượngtửhóa........................... 20

2.5 Mã hóa và màn biểu diễn nhị phân . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Kếtluận.............................. 23

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Mục lục

Bàitậpchương2............................ 24

3 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 27

3.1 Mởđầu .............................. 27

3.2 Tínhiệurờirạc ......................... 29

3.2.1 Một số tín hiệu quan trọng . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2 Phân loại tín hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.3 Một số tính toán đơn thuần và giản dị trên tín hiệu . . . . . . 37

3.3 Hệthốngrờirạc......................... 40

3.3.1 Mô hình khối mạng lưới hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.2 Phân loại khối mạng lưới hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.3 Kết nối những khối mạng lưới hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.1 Ý nghĩa của phục vụ xung và tích chập . . . . . . 49

3.4.2 Đáp ứng xung của khối mạng lưới hệ thống tiếp nối đuôi nhau . . . . . . . . 51

3.4.3 Hệ thống tuyến tính ổn định . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi 53

3.5.1 Biến đổi Z........................ 54

3.5.2 Biến đổi Zngược.................... 59

3.5.3 Biến đổi Zvà khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi . . . 62

3.6 Biến đổi Fourier theo thời hạn rời rạc . . . . . . . . . . . 66

3.6.1 Định nghĩa biến hóa Fourier theo thời hạn rời rạc 66

3.6.2 Áp dụng biến hóa Fourier theo thời hạn rời rạc

vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi . . . . . . . . . . 67

3.6.3 Liên hệ giữa biến hóa Zvà biến hóa Fourier theo

thời hạn rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7 Kếtluận.............................. 68

Bàitậpchương3............................ 69

4 CẤU TRÚC CÁC BỘ LỌC SỐ 71

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Mục lục

4.1 HệthốngARMA......................... 71

4.2 Sơ đồ khối của khối mạng lưới hệ thống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Dạng trực tiếp của khối mạng lưới hệ thống ARMA . . . . . . . . . . . . 75

4.3.1 Dạng trực tiếp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.2 Dạng trực tiếp II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Dạng tiếp nối đuôi nhau và tuy nhiên tuy nhiên của khối mạng lưới hệ thống ARMA . . . . . 77

4.4.1 Dạng tiếp nối đuôi nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.2 Dạng tuy nhiên tuy nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5 Dạng chéo của khối mạng lưới hệ thống MA có thông số đối xứng . . . . . . 81

4.6 Ảnh hưởng của lượng tử hóa thông số . . . . . . . . . . . 84

Bàitậpchương4............................ 86

5 THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR 89

5.1 Lọctươngtự ........................... 90

5.1.1 Các phương pháp xấp xỉ Butterworth và Cheby-

chev............................ 98

5.1.2 Phép biến hóa một bộ lọc thông thấp thành bộ

lọcthôngdải.......................106

5.1.3 Phép biến hóa một bộ lọc thông thấp thành bộ

lọctriệtdải .......................110

5.1.4 Phép biến hóa một bộ lọc thông thấp thành bộ

lọcthôngcao ......................113

5.1.5 Đáp ứng tần số của cục lọc theo bậc . . . . . . . . . 116

5.2 Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2.1 Thiết kế theo phục vụ xung không bao giờ thay đổi . . . . . . . 123

5.2.2 Thiết kế theo phục vụ bậc thang không bao giờ thay đổi . . . . 127

5.3 Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . 132

5.3.1 Biến đổi tuy nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.2 Thiết kế theo biến hóa tuy nhiên tuyến tính . . . . . . 135

5.4 Thiết kế bộ lọc số thông dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

iii

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Mục lục

5.5 Thiết kế bộ lọc số triệt dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.6 Thiết kế bộ lọc số thông cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Bàitậpchương5............................158

6 THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR 161

6.1 Phương pháp hiên chạy cửa số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.1.1 Bộ lọc lý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.1.2 Phương pháp thiết kế hiên chạy cửa số . . . . . . . . . . . . . 165

6.1.3 Thiết kế bộ lọc thông cao . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.1.4 Thiết kế bộ lọc thông dải . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.2 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số . . . . . . . . . . 192

6.3 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan . . . . . . . . . . 195

6.3.1 Tiêu chí sai số minmax . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.3.2 Phương pháp thiết kế . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Bàitậpchương6............................212

7 THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ ĐA VẬN TỐC 215

7.1 Hạtốc ...............................215

7.1.1 Những kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1.2 Phổ của tín hiệu hạ tốc . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.2 Tăngtốc..............................225

7.3 Thay đổi vận tốc theo một thông số hữu tỷ . . . . . . . . . . 229

7.4 Biểudiễnđapha ........................235

7.5 Kếtluận..............................239

Bàitậpchương7............................241

Tài liệu tìm hiểu thêm 243

Chỉ mục 245

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

1.1 Biểu diễn tín hiệu liên tục bằng hàm toán học. . . . . . 2

1.2 Biểu diễn tín hiệu rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Các loại tín hiệu tuần hoàn, nguồn tích điện và ngẫu nhiên. 3

1.4 Hệthống.............................. 4

1.5 Lọc tương tự và lọc số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Tiền xử lý tín hiệu điện não EEG dùng lọc. . . . . . . . . 8

1.7 Một số bộ DSµP thông dụng của những hãng Texax In-

struments, Analog Devices và Microchip. . . . . . . . . . 10

2.1 Quá trình số hóa tín hiệu liên tục thành chuỗi bit. . . . 12

2.2 Xung Dirac và chuỗi xung Dirac. . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Phổ tuần hoàn theo Ωvới chu kỳ luân hồi Ω0(a) và phần phổ

mongmuốn(b). ......................... 17

2.4 Lọc sử dụng bộ lọc lý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Lẫymẫuthựctế. ........................ 20

2.6 Các kiểu lượng tử hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc bằng đồ thị. . . . . . . . . . . . 30

3.2 Xung Kronecker δ(n)....................... 31

3.3 Tín hiệu thang cty u(n)................... 32

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

3.4 Tín hiệu dốc cty ur(n). ................... 32

3.5 Tín hiệu mũ rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6 Tín hiệu đối xứng và phản đối xứng. . . . . . . . . . . . . 36

3.7 Minh họa tín hiệu trễ và tín hiệu lùi. . . . . . . . . . . . . 38

3.8 Đổi chiều thời hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.9 Sơ đồ khối khối mạng lưới hệ thống rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.10 Sơ đồ mô tả khối mạng lưới hệ thống thực thi bởi những bộ cộng, bộ

khuếch đại và và bộ dịch trễ cty. . . . . . . . . . . . . 42

3.11Kếtnốinốitiếp.......................... 46

3.12 Kết nối tuy nhiên tuy nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.13Tíchchập.............................. 52

3.14 Vùng quy tụ của tín hiệu nhân quả nằm ngoài vòng

tròn có bán kính |a|của mặt phẳng z. ........... 56

3.15 Vùng quy tụ của tín hiệu phản nhân quả nằm trong

vòng tròn có bán kính |b|của mặt phẳng z......... 57

3.16 Vùng quy tụ của tín hiệu không nhân quả nằm trong

vành |a|<|z|<|b|trên mặt phẳng z. ............ 58

3.17 Sơ đồ khối khối mạng lưới hệ thống màn biểu diễn bằng hàm truyền hệ

thống H(z)............................. 64

4.1 Hình minh họa những bộ dịch trễ cty, bô khuếch đại

và bộ cộng được sử dụng trong sơ đồ khối khối mạng lưới hệ thống. . . . 74

4.2 Hình minh họa những bộ dịch trễ cty, bộ khuếch đại

và bộ cộng trong sơ đồ dòng chảy tín hiệu. . . . . . . . . 75

4.3 Biểu diễn mắc chồng tầng của khối mạng lưới hệ thống ARMA. . . . . . 76

4.4 Thực thi cấu trúc khối mạng lưới hệ thống mắc chồng tầng. . . . . . . . 77

4.5 Cấu trúc trực tiếp I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6 Hoán vị hai cấu trúc H1(z)và H2(z). ............ 79

4.7 Cấu trúc trực tiếp II (cấu trúc trực tiếp chuyển vị). . . . 80

4.8 Cấu trúc tiếp nối đuôi nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.9 Thực thi cấu trúc trực tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

4.10 Ghép nối tuy nhiên tuy nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.11 Cấu trúc khối thang chéo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.12 Cấu trúc thang chéo trong trường hợp Mlẻ. . . . . . . . 83

4.13 Cấu trúc thang chéo [Ví dụ 4.1]. . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.14 Cấu trúc thang chéo [Ví dụ 4.2]. . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.15 Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống [Bài tập 4.1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.16 Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống [Bài tập 4.5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.17 Giản đồ nghiệm cực – nghiệm không [Bài tập 4.6]. . . . 88

5.1 Đầu vào và đầu ra của một khối mạng lưới hệ thống không làm méo. . 92

5.2 Đáp ứng tần số biên độ và phục vụ tần số pha của cục

lọclýtưởng. ........................... 94

5.3 Đáp ứng tần số biên độ và pha của cục lọc thực tiễn. . . . 95

5.4 Độ trễ pha và độ trễ nhóm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.5 Minh họa nghiệm không và nghiệm cực trong mặt phẳng

s. .................................. 97

5.6 Nghiệm không và nghiệm cực của H(s)H(−s)[Phương

trình(5.17)]. ........................... 98

5.7 Đáp ứng tần số của tớ bộ lọc Butterworth với những bậc

rất khác nhau, và có cùng tần số cắt chuẩn hóa Ωr=1rad/s. 99

5.8 Giản đồ điểm cực điểm không . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.9 Gợnsóngdảitriệt........................103

5.10 Gợn sóng dải thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.11 Biến đổi thông thấp thành thông dải. . . . . . . . . . . . 107

5.12 Đáp ứng tần số biên độ của lọc thông thấp và bộ lọc

thông dải tương ứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.13 Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc thông thấp và bộ lọc

triệt dải tương ứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.14 Biến đổi thông thấp thành triệt dải. . . . . . . . . . . . . 112

5.15 Biến đổi thông thấp thành thông cao. . . . . . . . . . . . 114

vii

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

5.16 Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc thông thấp và bộ lọc

thông cao tương ứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.17 Bộ lọc Butterworth với nnghiệm cực. . . . . . . . . . . . 116

5.18 Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc Chebyshev với độ

gợn sóng 0.1và 0.5dB......................117

5.19 Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc Chebyshev với độ

gợn sóng 1và 1.5dB.......................118

5.20 Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc Chebyshev với độ

gợn sóng 2.5và 3dB.......................119

5.21 Định nghĩa Bvà Bx. ......................121

5.22 Mô tả lấy mẫu fa(t). ......................122

5.23 Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ5.8]. ..............................126

5.24 Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ5.9]. ..............................128

5.25 Bộ lọc tương tự và số có phục vụ bậc thang giống nhau. 129

5.26 Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ5.10]...............................131

5.27 Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ5.11]...............................132

5.28 Phân tích tích phân Hình thang. . . . . . . . . . . . . . . 134

5.29 Mối liên hệ giữa pvà zqua phép biến hóa tuy nhiên tuyến

tính. ................................136

5.30 Mối liên hệ giữa Ωvà ω.....................137

5.31 Mối liên hệ giữa |G(jΩ)|và |H(ejω)|..............137

5.32 Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ5.12]...............................139

5.33 Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ5.13]...............................141

5.34 Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ5.14]...............................142

viii

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

5.35 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải bậc 4[Ví dụ 5.17].151

5.36 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc triệt dải [Ví dụ 5.19]. . . 155

5.37 Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc số thông cao [Ví

dụ5.20]...............................157

5.38 Hệ thống cần xác lập hàm truyền tương tự. . . . . 160

6.1 Bộlọclýtưởng. .........................163

6.2 Đáp ứng tần số của khối mạng lưới hệ thống xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . 164

6.3 Hàm chữ nhật rect(t)và hiên chạy cửa số chữ nhật wcn(n). . . . . . 167

6.4 Đáp ứng tần số Wcn(ejω)của hiên chạy cửa số chữ nhật wtg(n). . . 168

6.5 Hàm tam giác tri(t)và hiên chạy cửa số tam giác wtg(n). . . . . . . 169

6.6 Đáp ứng tần số Wtg(ejω)của hiên chạy cửa số tam giác wtg(n)với

những chiều dài rất khác nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.7 So sánh phục vụ tần số của hiên chạy cửa số chữ nhật và tam giác.172

6.8 So sánh phục vụ tần số của cục lọc thiết kế dùng hiên chạy cửa số

chữ nhật và hiên chạy cửa số tam giác, với tần số cắt νc=0,25. . . 173

6.9 Các tham số tần số góc thiết kế. . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.10 So sánh phục vụ tần số những hiên chạy cửa số. . . . . . . . . . . . . . 175

6.11 Minh họa phục vụ tần số của một bộ lọc thông thấp. . . 176

6.12 Minh họa chiều dài bộ lọc tùy từng tần số cắt và

bề rộng của dải chuyển tiếp. . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.13 Ảnh hưởng của những hiên chạy cửa số, với chiều dài L=21. . . . . . 180

6.14 Đáp ứng biên độ bộ lọc số FIR dùng hiên chạy cửa số Hanning, có

được thông qua hai bước thiết kế: (1) thiết kế lần thứ

nhất và (2) kiểm soát và điều chỉnh thiết kế. . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.15 Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng hiên chạy cửa số Blackman. 184

6.16 Thiết kế thông cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.17 Thiết kế bộ lọc thông cao sử dụng hiên chạy cửa số Hanning theo

hai cách, với L=33 và νc=0,15. ...............187

6.18 Thiết kế thông dải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

6.19 Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp tương ứng với hiên chạy cửa số

Hamming, dùng để thiết kế bộ lọc thông dải theo yêu

cầu..................................191

6.20 Thiết kế bộ lọc FIR thông dải, L=27,νc=0,956. . . . . . 192

6.21 Minh họa phương pháp thiết kế bằng lấy mẫu tần số. . 194

6.22 So sánh phục vụ tần số biên độ. . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.23 Đáp ứng tần số lý tưởng của cục lọc thông dải được lấy

mẫu.................................196

6.24 So sánh phục vụ tần số biên độ khi có điểm bất liên

tục (nét liền) và khi có sự giảm sút bất liên tục (nét đứt).196

6.25 Mặt nạ biên độ của A(ejω). ..................201

6.26 Đáp ứng tần số có gợn sóng đều, với νp=0,2,νs=0,3.

Có bốn tần số tối ưu trong dải thông và bốn trong dải

triệt.................................205

6.27 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông thấp [Ví dụ 6.8]. . 207

6.28 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông thấp trong dải

thông và dải triệt [Ví dụ 6.8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.29 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông thấp và dải thông

trong dải triệt sau khi nâng bậc bộ lọc [Ví dụ 6.8]. . . . 208

6.30 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải [Ví dụ 6.9]. . . 208

6.31 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải trong dải thông

và dải triệt [Ví dụ 6.9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.32 Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải trong dải thông

và dải triệt sau khi nâng bậc bộ lọc [Ví dụ 6.9]. . . . . . 209

6.33 Đáp ứng tần số biên độ và pha của cục lọc vi phân. . . . 210

6.34 Đáp ứng tần số biên độ và pha của cục lọc Hilbert. . . . . 211

6.35 Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc vi phân [Bài tập 6.8]. 214

7.1 Sơ đồ khối của phép hạ tốc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.2 Phổ tín hiệu trước và sau khi hạ tốc Mlần. . . . . . . . . 217

7.3 Áp dụng lọc thông thấp để tránh gập phổ. . . . . . . . . 218

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

7.4 Đáp ứng tần số của cục lọc thông thấp [Ví dụ 7.1]. . . . . 219

7.5 Mối liên hệ giữa x(n),xe(n)và x↓M(n), với M=2. . . . . . 222

7.6 Minh họa phổ tín hiệu hạ tốc M=2lần...........223

7.7 Minh họa phổ tín hiệu hạ tốc M=3lần...........224

7.8 Đẳng thức Noble trong trường hợp hạ tốc: (a) và (b) là

tươngđương............................225

7.9 Mở rộng đẳng thức Noble trong trường hợp hạ tốc: (a)

và (b) là tương tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.10 Mối liên hệ giữa x(n)và x↑N(n)với N=3...........226

7.11 Sơ đồ màn biểu diễn phép tăng tốc. . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7.12Bộlọctăngtốc. .........................227

7.13 Minh họa phổ tín hiệu tăng tốc. . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.14 Lọc thông thấp để loại ảnh phổ trong bộ tăng tốc. . . . . 228

7.15 Bộ lọc nội suy có tần số cắt 0,125...............229

7.16 Thay đổi vận tốc theo thông số hữu tỷ M/N...........230

7.17 Kết hợp hai bộ lọc. Tần số cắt của cục lọc phối hợp là giá

trị nhỏ nhất của những tần số cắt của những bộ lọc thành

phần: νc=minn0,5

N,0.5

Mo. ....................230

7.18 Đẳng thức Noble trong trường hợp tăng tốc: (a) và (b)

làtươngđương. .........................231

7.19 Mở rộng đẳng thức Noble trong trường hợp tăng tốc:

(a) và (b) là tương tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.20 Hệ thống quy đổi tín hiệu từ CD sang DAT [Ví

dụ7.3]. ..............................232

7.21 Đáp ứng bộ lọc đa vận tốc link CD với DAT [Ví dụ 7.3].233

7.22 Hệ thống quy đổi tín hiệu từ CD sang DAT trong

thực tiễn. Các vận tốc hữu tỷ là 3/4,7/4 và 7/10. . . . . . 234

7.23 Ghép nối bộ sớm pha và bộ hạ tốc. . . . . . . . . . . . . . 236

7.24 Phân tích thành Mthành phần pha. . . . . . . . . . . . . 236

7.25 Sơ đồ khối bộ lọc đa pha: (a) và (b) là tương tự. . . . 237

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách hình vẽ

7.26 Áp dụng màn biểu diễn đa pha vào một trong những khối mạng lưới hệ thống có chiều

dài lớn. Hệ thống (a) được phân tích đa pha thành hai

khối mạng lưới hệ thống tương tự (b) và (c). . . . . . . . . . . . . . . . 238

7.27 Áp dụng màn biểu diễn đa pha vào một trong những khối mạng lưới hệ thống có chiều

dài lớn: thực thi về mặt điện tử. . . . . . . . . . . . . . . 239

7.28 Phổ tín hiệu trước lúc hạ tốc [Bài tập 7.3]. . . . . . . . . 241

xii

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách bảng

3.1 Một số biến hóa Zthôngdụng. ................ 59

3.2 Tính chất của biến hóa Z. ................... 60

5.1 Đa thức Butterworth chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2 Đa thức Chebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1 Các hàm hiên chạy cửa số thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.2 Bảng tra giá trị của những hiên chạy cửa số thông dụng . . . . . . . . 178

6.3 Tập hợp những dải tần có đặc tả . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.1 Hệ số của cục lọc thông thấp [Ví dụ 7.1]. . . . . . . . . . . 220

xiii

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Danh sách bảng

xiv

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Lời nói đầu

Giáo trình “Xử lý tín hiệu số” mà bạn đang cầm trong tay được

xây dựng theo chuỗi những môn học về nghành xử lý tín hiệu, được

giảng dạy thông dụng ở những trường ĐH trên toàn thế giới cũng như

Việt Nam ở bậc ĐH và sau ĐH, gồm có: Tín hiệu và hệ

thống, Xử lý tín hiệu số, Xử lý tín hiệu nâng cao, Xử lý tín hiệu ngẫu

nhiên, v.v.

“Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống” thường đề cập đến những khái niệm về tín

hiệu theo thời hạn liên tục và theo thời hạn rời rạc, phổ tần số của

chúng, về khối mạng lưới hệ thống và những đặc trưng cơ bản của một khối mạng lưới hệ thống như

tuyến tính, không bao giờ thay đổi, nhân quả và ổn định.

Với kiến thức và kỹ năng cơ bản về tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống, giáo trình “Xử lý

tín hiệu số” này sẽ triệu tập phân tích vai trò “lọc” của một khối mạng lưới hệ thống

tuyến tính không bao giờ thay đổi theo thời hạn rời rạc và tìm hiểu những phương

pháp thiết kế những bộ lọc tuyến tính không bao giờ thay đổi để phục vụ yêu cầu mà

bộ lọc cần thỏa mãn nhu cầu trong miền tần số.

Phương pháp trình diễn của giáo trình tương đối khác những

giáo trình quen thuộc bằng tiếng Việt hay tiếng quốc tế. Phần

chủ yếu là ý nghĩa vật lý của những phương pháp được trình diễn. Trước

khi thảo luận về lọc, những khái niệm và ý nghĩa quan trọng về tín hiệu

và khối mạng lưới hệ thống được trình diễn khá ngặt nghèo. Từ đó, những phương pháp cơ

bản về thiết kế những bộ lọc số được trình làng và khai triển một cách

tự nhiên. Ngoài ra, giáo trình cũng sử dụng những ví dụ với nhiều khía

cạnh thực tiễn để giúp người học làm rõ hơn ý nghĩa và tính thực tiễn

của những phương pháp thiết kế.

Đây là một giáo trình với toàn bộ ràng buộc của nó, không phải là

một cuốn sách dành riêng cho tìm hiểu thêm. Vì vậy, những đề tài được lựa chọn

khá kỹ lưỡng, nhằm mục đích hoàn toàn có thể trình diễn những khái niệm cơ bản thành

một thể thống nhất, giúp người học làm rõ những nguyên do và ý nghĩa

của những khái niệm cũng như những phương pháp thiết kế. Mục tiêu

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Lời nói đầu

của giảng dạy là làm cho những người dân học làm rõ ràng phía sau của những

công thức, những chương trình tính toán. Được như vậy, thì sinh viên có

thể sử dụng thuận tiện và đơn thuần và giản dị những công cụ đã được tiếp cận trong quy trình

đào tạo và giảng dạy tại ĐH cho việc làm thực tiễn của tớ.

Hy vọng giáo trình này phục vụ được nhu yếu học tập của sinh

viên và quan điểm sư phạm của giáo trình có thời cơ giúp sinh viên

làm rõ hơn phương pháp tư duy mà một kỹ sư cần nắm vững. Rất

mong nhận được ý kiến góp phần của fan hâm mộ để nhóm tác giả hoàn

thiện giáo trình này cho những lần tái bản sau. Mọi phản hồi xin

liên hệ về .

Cuối cùng, nhóm tác giả xin trân trọng cám ơn tập thể thành

viên của Phòng thí nghiệm Xử lý tín hiệu của Trường Đại học Công

nghệ đã góp những ý kiến quí báu trong quy trình biên soạn và

sửa đổi giáo trình, và nhất là yếu tố miệt mài và cần mẫn của ThS.

Trương Minh Chính trong chế bản toàn bộ giáo trình bằng L

Xđể

đã có được phiên bản đẹp và rõ ràng như những bạn đang cầm trong tay.

Bên cạnh, những ý kiến góp phần quí báu của những hội đồng nghiệm thu sát hoạch,

và nhất là của những phản biện – PGS.TS. Bạch Gia Dương và TS.

Nguyễn Quốc Tuấn trong Khoa Điện tử Viễn thông của Trường Đại

học Công nghệ, PGS.TS. Trần Xuân Nam từ Học viện Kỹ thuật Quân

sự, PGS.TS. Đỗ Ngọc Minh từ Đại học Illinois–, góp thêm phần làm cho

nội dung giáo trình phong phú hơn. Chúng tôi cũng xin trân trọng

cám ơn Trường Đại học Công nghệ đã tương hỗ kinh phí góp vốn đầu tư để nhóm tác

giả có Đk thực thi biên soạn giáo trình này.

Nguyễn Linh Trung

Trần Đức Tân

Trường Đại học Công nghệ

Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Quốc tế

Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

xvi

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 1

GIỚI THIỆU VỀ XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Giáo trình này phân tích vai trò lọc của một khối mạng lưới hệ thống tuyến

tính không bao giờ thay đổi theo thời hạn rời rạc và nghiên cứu và phân tích những phương pháp

thiết kế những bộ lọc tuyến tính không bao giờ thay đổi để phục vụ yêu cầu mà bộ lọc

cần thỏa mãn nhu cầu trong miền tần số. Để làm rõ hơn nội dung chính của

giáo trình, trong chương trình làng này chúng tôi trình diễn những

khái niệm cơ bản nói trên một cách ngắn gọn và nhấn mạnh yếu tố đặc biệt quan trọng

vai trò của xử lý tín hiệu số trong thời đại mà những hệ vi xử lý phát

triển mạnh mẽ và tự tin.

1.1 Tín hiệu là gì?

Khi nghiên cứu và phân tích một hiện tượng kỳ lạ vật lý nào đó, người ta thường

quan sát những đại lượng vật lý đặc trưng của hiện tượng kỳ lạ này.

Phương pháp quan sát chính thường dùng là đo lường. Các đại lượng

vật lý được chuyển thành những dòng điện hay hiệu điện thế, được

gọi là tín hiệu mà những máy đo hoàn toàn có thể thu nhận được. Như vậy, thông

tin đặc trưng của những đại lượng vật lý đang rất được quan tâm sẽ hoàn

toàn được tiềm ẩn trong những tín hiệu này.

Hình 1.1 màn biểu diễn một tín hiệu bằng một hàm toán học x(t)

biến thiên theo biến độc lập t. Thông thường, tchỉ định thời hạn,

tuy nhiên tổng quan hơn tcó thể có bất kể dạng nào, và là một biến

vô hướng hoặc là nhiều biến vô hướng độc lập (theo như hình thức véc-tơ).

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 1. Giới thiệu về xử lý tín hiệu số

“./figures/Overview_0” — 2012/6/11 — 18:07 — page 1 — #1

x(t)

Hình 1.1: Biểu diễn tín hiệu liên tục bằng hàm toán học.

“./figures/Overview_1” — 2012/6/11 — 18:07 — page 1 — #1

x(n)

Hình 1.2: Biểu diễn tín hiệu rời rạc.

Trong giáo trình này, trường hợp tlà một biến vô hướng sẽ tiến hành

quan tâm xử lý và xử lý. Nếu miền xác lập của tlà đường thẳng thực

Rthì x(t)được gọi là tín hiệu thời hạn liên tục hay là tín hiệu

tương tự. Còn nếu miền này là tập những số nguyên Zthì x(t)được gọi

là tín hiệu theo thời hạn rời rạc và thường được viết là x(n)với

nlà biến nguyên. Trong trường hợp này, tín hiệu thời hạn rời rạc là

một chuỗi những giá trị . .. , x0,x1,x2, .. . , xk,.... Hình 1.2 màn biểu diễn một

tín hiệu rời rạc x(n).

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

1.1. Tín hiệu là gì?

Các tín hiệu quan trọng thường gặp được phân thành ba loại:

tín hiệu tuần hoàn, tín hiệu nguồn tích điện và tín hiệu ngẫu nhiên.

Dạng liên tục và dạng rời rạc của nhiều chủng loại tín hiệu này được minh

họa ở hình 1.3.

“./figures/Overview_2” — 2012/7/24 — 20:27 — page 2 — #1

x(t)

(a)

“./figures/Overview_3” — 2012/7/24 — 20:27 — page 2 — #1

x(n)

(b)

“./figures/Overview_4” — 2012/7/24 — 20:27 — page 2 — #1

x(t)

(c)

“./figures/Overview_5” — 2012/7/24 — 20:28 — page 2 — #1

x(n)

(d)

“./figures/Overview_6” — 2012/7/24 — 20:28 — page 2 — #1

x(t)

(e)

“./figures/Overview_7” — 2012/7/24 — 20:28 — page 2 — #1

x(n)

(f)

Hình 1.3: Các loại tín hiệu tuần hoàn, nguồn tích điện và ngẫu nhiên.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 1. Giới thiệu về xử lý tín hiệu số

1.2 Hệ thống là gì?

Các tín hiệu thường chạy xuyên qua những mạch điện, những hệ cơ

điện tử hoặc một hệ vật lý bất kỳ nào đó khiến cho một tín hiệu khác

ký hiệu là y(t). Khái niệm này được minh họa ở hình 1.4, trong số đó

x(t)được gọi là tín hiệu nguồn vào hoặc tín hiệu vào, y(t)được gọi là tín

hiệu đầu ra hay tín hiệu ra. Ta cũng gọi x(t)là tín hiệu kích thích

và y(t)là tín hiệu phục vụ. Hình 1.4 thường được sử dụng để mô tả một

“./figures/Overview_8” — 2012/6/11 — 18:14 — page 2 — #1

x(t)y(t)

Hình 1.4: Hệ thống.

cách tổng quát toàn bộ những khối mạng lưới hệ thống mà toàn bộ chúng ta quan tâm, tức là hệ

thống này hoàn toàn có thể là một khối mạng lưới hệ thống vật lý có sẵn, một khối mạng lưới hệ thống cơ điện

tử có sẵn, một dây chuyền sản xuất sản xuất, một phản ứng hóa học, v.v. Mô

tả mối liên hệ bằng một phương trình toán học nối kết đầu ra y(t)

và nguồn vào x(t)được gọi là quy mô của khối mạng lưới hệ thống. Mô hình này chứa

đựng toàn bộ những đặc trưng của khối mạng lưới hệ thống vật lý, ví như tuyến

tính, không bao giờ thay đổi, ổn định, nhân quả.

1.3 Xử lý tín hiệu

Trong giáo trình này, ta đặc biệt quan trọng quan tâm đến những khối mạng lưới hệ thống do

chính toàn bộ chúng ta thiết kế. Thiết kế một khối mạng lưới hệ thống để tích lũy thông

tin ta quan tâm chứa trong tín hiệu nguồn vào x(t)được gọi là xử lý tín

hiệu. Như thế, nói một cách rất tổng quát, xử lý tín hiệu gồm có tất

cả những vận dụng mà toàn bộ chúng ta hoàn toàn có thể tưởng tượng, cần sử dụng tất

cả những phương pháp luận hiện hữu trong điện tử, lọc tín hiệu, xử lý

thông tin, lý thuyết nhận dạng, v.v. Tóm lại, xử lý tín hiệu là toàn bộ

những gì liên quan đến xử lý thông tin ngày ngày hôm nay.

Giáo trình này chỉ số lượng giới hạn vào một trong những lĩnh hẹp và rất cơ bản mang tên

là lọc. Lọc một tín hiệu tức loại thoát khỏi tín hiệu những thành phần

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

1.4. Ứng dụng của xử lý tín hiệu số

sẽ là nhiễu. Khái niệm lọc này xuất hiện từ trên đầu thể kỷ 20 và

hầu hết được triển khai mạnh mẽ và tự tin trước, trong và sau thế chiến thứ

hai, mang tên là thiết kế những bộ lọc tương tự.

Những năm 60 của thế kỷ trước, khi máy tính được đưa vào sử

dụng thì những nhà nghiên cứu và phân tích tìm cách chuyển hóa tác động những bộ lọc

tương tự thành những thuật toán mà máy tính hoàn toàn có thể thực thi được.

Các thuật toán này được mang tên là bộ lọc số. Trong giáo trình

này, xử lý tín hiệu số tương ứng với chuyển hóa những khối mạng lưới hệ thống liên tục

thành những khối mạng lưới hệ thống rời rạc, xây dựng những thuật toán để lọc những tín

hiệu rời rạc. Nếu thiết yếu, tín hiệu rời rạc sau khi lọc được chuyển

hóa thành tín hiệu theo thời hạn liên tục.

Trong hình 1.5, tín hiệu tương tự x(t)sẽ tiến hành số hóa khiến cho ta

một tín hiệu x(n)và được bộ lọc số xử lý cho đầu ra là y(n). Hình này

minh họa kết quả là toàn bộ những bộ lọc tương tự đều hoàn toàn có thể thực thi

bằng máy tính.

1.4 Ứng dụng của xử lý tín hiệu số

Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng tự do trong nhiều nghành.

Sau đây chúng tôi liệt kê một số trong những ứng dụng truyền thống cuội nguồn:

•Không gian: nén ảnh, nâng cao chất lượng ảnh, phân tích cảm

biến thông minh bằng những máy thăm dò;

•Y học: tạo ảnh chẩn đoán (CT, MRI, siêu âm, v.v.), phân tích

điện não, điện tim, v.v., tàng trữ và truy vấn ảnh y học.

•Thương mại: nén ảnh và âm thanh, hiệu ứng đặc biệt quan trọng trong

phim ảnh, hội nghị qua video;

•Thoại: nén tiếng nói và tài liệu, giảm độ vọng, hợp kênh tín

hiệu, lọc;

•Quân sự: radar, sonar, dẫn đường, truyền thông bảo mật thông tin;

•Công nghiệp: thăm dò tài nguyên, giám sát và điều khiển và tinh chỉnh quá

trình, kiểm tra thành phầm, công cụ thiết kế CAD.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 1. Giới thiệu về xử lý tín hiệu số

“./figures/Overview_9” — 2012/6/11 — 18:17 — page 4 — #1

x(t)Bộ lọc tương tự y(t)

x(t)

y(t)

(a) Lọc tương tự

“./figures/Overview_10” — 2012/6/11 — 18:17 — page 4 — #1

x(t)ADC Bộ lọc số DAC y(t)

x(n)y(n)

x(n)

y(n)

(b) Lọc số

Hình 1.5: Lọc tương tự và lọc số.

•Khoa học: đo đạc và phân tích động đất, tích lũy tài liệu, phân

tích phổ, quy mô hóa và mô phỏng.

Như đã nói trên đây, giáo trình này triệu tập xử lý và xử lý về lọc

tín hiệu thông qua những bộ lọc số. Để hoàn toàn có thể thấy được tác dụng của lọc

trong thực tiễn, ta xem xét một ví dụ xử lý tín hiệu điện não (EEG)

thô để từ đó những bác sĩ thần kinh hoàn toàn có thể phân tích điện não của người

bệnh.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

1.4. Ứng dụng của xử lý tín hiệu số

Hình 1.6 màn biểu diễn biên độ (Volt) của một đoạn tín hiệu điện

não của một người bệnh được đo trong mức chừng thời hạn 5 giây.

Hình 1.6(a) là tín hiệu EEG thô, được trích từ máy đo. Tín hiệu

này được đo với vận tốc lấy mẫu 256 Hz và số mẫu ta đang quan sát

là 2048. Rõ ràng, ta không thấy rõ tín hiệu này tiềm ẩn thông tin

gì, vì nó bị tác động bởi tần số của điện lưới (50 Hz). Tần số này được

loại đi bằng phương pháp sử dụng một bộ lọc triệt tần số 50 Hz, để sở hữu kết quả

lọc như trên hình 1.6(b).

Tiếp đến, thực tiễn trong đọc điện não, dải tần liên quan đến những

hoạt động và sinh hoạt giải trí của não mà bác sĩ không quan tâm nằm trong khu vực lớn

hơn 70 Hz, vì thế ta hoàn toàn có thể vô hiệu những tần số cao này bằng phương pháp

cho tín hiệu trải qua một bộ lọc thông thấp có tần số cắt là 70 Hz, kết

quả lọc như trên hình 1.6(c).

Bên cạnh, những Xu thế tiềm ẩn trong tín hiệu điện não (như

tăng trưởng, đi xuống, dịch lên rất cao, dịch xuống thấp, ...) thường là có tần

số thấp và được vô hiệu bằng phương pháp cho qua một bộ lọc thông cao có tần

số cắt 1 Hz, kết quả lọc như trên hình 1.6(d). Ta thấy rằng biên độ

tín hiệu đã được dịch chuyển về xung quanh giá trị 0, thay vì 2 như

trên hình 1.6(c). Đến đây, bác sĩ đã hoàn toàn có thể dùng tín hiệu ở hình 1.6(d)

để phân tích.

Tuy nhiên, nếu một kỹ sư muốn dùng những công cụ xử lý tín hiệu

tiên tiến và phát triển để giúp bác sĩ tìm kiếm những thông tin liên quan đến bệnh

(như gai động kinh của bệnh nhân động kinh), họ hoàn toàn có thể thực thi

một xử lý tiếp theo là thay đổi vận tốc lấy mẫu. Quả thực, tín hiệu

thô đã được đo với vận tốc lấy mẫu là 256 Hz nhưng tần số cần quan

sát tối đa là 70 Hz (vì đã lọc thông thấp trên đây). Như vậy ta hoàn toàn có thể

thay đổi lại tần số lấy mẫu (bằng xử lý số) thành 140 Hz. Kết quả có

được như trong hình 1.6(e). Nhìn qua thì hình dạng in như

hình 1.6(d), tuy nhiên tín hiệu saucó số mẫu thấp hơn nhiều so với tín

hiệu trước (1120 mẫu so với 2048). Điều này rất có lợi cho ứng dụng

những xử lý tiếp theo số mẫu cần xử lý là thấp hơn.

Các loại bộ lọc thông thấp, thông cao, thông dải, triệt dải được

được triệu tập tìm hiểu trong những chương 5 và 6. Việc thay đổi vận

tốc lấy mẫu được đề cập đến trong chương 7.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 1. Giới thiệu về xử lý tín hiệu số

“./figures/Overview_11” — 2012/7/25 — 16:23 — page 4 — #1

3 3.544.555.566.577.5 8

−4

−2

4·10−4

(a) Dữ liệu EEG thô; 2048 mẫu

“./figures/Overview_12” — 2012/7/25 — 16:23 — page 4 — #1

3 3.544.555.566.577.5 8

−4

−2

4·10−4

(b) EEG đã được vô hiệu tần số điện lưới 50 Hz; 2048 mẫu

“./figures/Overview_13” — 2012/7/25 — 16:23 — page 4 — #1

3 3.544.555.566.577.5 8

−4

−2

4·10−4

“./figures/Overview_14” — 2012/7/25 — 16:23 — page 4 — #1

3 3.544.555.566.577.5 8

−4

−2

4·10−4

(d) EEG đã qua bộ lọc thông cao, tần số cắt 1 Hz; 2048 mẫu

“./figures/Overview_15” — 2012/7/25 — 16:23 — page 4 — #1

3 3.544.555.566.577.5 8

−4

−2

4·10−4

(e) EEG đã qua bộ lọc đa vận tốc, từ 256 Hz xuống 140 Hz; 1120 mẫu

Hình 1.6: Tiền xử lý tín hiệu điện não EEG dùng lọc.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

1.5. Công nghệ xử lý tín hiệu số

1.5 Công nghệ xử lý tín hiệu số

Hiện nay, người ta đã thiết kế những máy tính nhỏ đặc biệt quan trọng để

sử dụng cho xử lý tín hiệu có chất lượng tốt hơn thật nhiều và giá rẻ

hơn thật nhiều so với những máy tính phổ cập. Những máy tính xử lý tín

hiệu số này mang tên là bộ vi xử lý tín hiệu (DSµP)*.

Bộ vi xử lý tín hiệu DSµP là một bộ vi xử lý đặc biệt quan trọng có cấu trúc

được thiết kế một cách tối ưu để thực thi nhanh gọn một số trong những khối

lượng tính toán lớn và phức tạp thiết yếu cho những thuật toán xử lý tín

hiệu số. Trong những thuật toán xử lý tín hiệu, phép tính cơ bản nhất

là nhân rồi cộng và lưu giữ kết quả†. Phép tính này sau này sẽ

được goị là toán tử cơ bản. Ngoài hoạt động và sinh hoạt giải trí tính toán, DSµP cũng

cần thường xuyên đọc tài liệu nguồn vào và viết tài liệu đầu ra thật

nhanh, vì hầu hết những vận dụng thực tiễn đều theo thời hạn thực. Như

thế nếu ta muốn bộ DSµP có rất chất lượng, nó nên phải có một cấu trúc

thích hợp, khác với một bộ vi xử lý thông thường.

Phần lớn, những DSµP đều sử dụng tính toán với dấu chấm cố

định‡, chính bới một mạch điện tử nhân§có cấu trúc đơn thuần và giản dị và nhanh

hơn thật nhiều so với dấu chấm động¶. Hơn nữa, phép tính với dấu

chấm cố định và thắt chặt có độ đúng chuẩn hoàn toàn hoàn toàn có thể đồng ý được riêng với hầu

hết những vận dụng trong nghành nghề xử lý tín hiệu số. Tất nhiên là, trong

một số trong những trường hợp đặc biệt quan trọng yên cầu độ đúng chuẩn tính toán cao, lúc

đó ta phải sử dụng một DSµP có dấu chấm động như bộ vi xử lý số

TMS320C67x do hãng Texas Intruments sản xuất.

Trong một thiết bị có sử dụng DSµP như những modem, điện thoại

di động, TV rất chất lượng, vận tốc xử lý là yếu tố quan trọng hàng

đầu. Thông thường là chạy những chương trình chỉ vài trăm hàng, có

chứa vòng lặp. Để bảo vệ chất lượng của khối mạng lưới hệ thống, nhiều nhà lập

trình sử dụng ngôn từ Assembly và phân tích chi ly hoạt động và sinh hoạt giải trí của

khối mạng lưới hệ thống lúc chạy chương trình này, nhằm mục đích kiểm soát và điều chỉnh chương trình

*DSµP: Digital Signal Microprocessor.

†Multiply-Accumulate

‡Fixed point.

§Multiplier.

¶Floating point.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 1. Giới thiệu về xử lý tín hiệu số

thế nào để sở hữu kết quả tốt nhất. Tuy nhiên, nếu DSµP có cấu trúc

phức tạp, thì khó hoàn toàn có thể tối ưu hóa chương trình một cách thủ công

như vậy. Trong trường hợp này, ta hoàn toàn có thể sử dụng ngôn từ C để lập

trình và kỳ vọng trình biên dịch*sẽ cho ta kết quả tốt. Tuy nhên, ta

vẫn hoàn toàn có thể theo dõi hoạt động và sinh hoạt giải trí của khối mạng lưới hệ thống và vẫn hoàn toàn có thể kiểm soát và điều chỉnh

mã lệnh để hoàn toàn có thể đạt kết quả có rất chất lượng hơn. Ngoài ra, trong

MATLAB có một số trong những chương trình được cho phép lập trình trên DSµP.

Sự lựa chọn Một trong những ngôn từ tùy từng một số trong những yếu tố như

độ phức tạp của chương trình, vận tốc xử lý ta muốn có, giá cả của

thành phẩm, những công cụ tăng trưởng khối mạng lưới hệ thống của công ty sản xuất

DSµP.

Hiện nay, có quá nhiều công ty đưa ra trên thị trường một số trong những

DSµP có cấu trúc rất khác nhau, tích hợp hay là không tích hợp hai bộ

phận ADC và DAC†(xem hình 1.5), và với nhiều giá cả rất khác nhau,

từ vài đến vài trăm đô-la, nhất là ba công ty Microchip, Analog

Devices và Texas Instruments. Hình 1.7 minh họa ví dụ về một số trong những

bộ DSµP của những công ty này.

(a) TMXE320AV110PBM

DSP

(b) ADSP-BF592 DSP (c) dsPIC microcontroller

Hình 1.7: Một số bộ DSµP thông dụng của những hãng Texax Instru-

ments, Analog Devices và Microchip.

*Compiler.

†ADC: Analog–to–Digital Converter. DAC: Digital-to-Analog Converter.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2

SỐ HÓA TÍN HIỆU TƯƠNG TỰ

2.1 Mở đầu

Như đã biết, một đại lượng vật lý được màn biểu diễn bởi một hàm

biến thiên theo thời hạn liên tục, còn gọi là một tín hiệu theo thời

gian liên tục. Để xử lý tín hiệu theo thời hạn liên tục này bằng máy

tính, trước hết cần số hóa nó, tức là màn biểu diễn nó bằng một chuỗi số

mà máy tính hoàn toàn có thể đọc và xử lý được. Quá trình số hóa gồm ba bước

theo thứ tự sau: lấy mẫu*,lượng tử hóa†và mã hóa‡.

Lấy mẫu là lấy những giá trị của tín hiệu tại những thời gian rời rạc.

Do đó, lấy mẫu còn gọi là rời rạc hóa. Lượng tử hóa là làm gần đúng

giá trị của tín hiệu tại thời gian lấy mẫu với những mức lượng tử (giá

trị rời rạc). Lượng tử hóa được xác lập bởi độ đúng chuẩn của máy

tính. Mã hóa là màn biểu diễn một số trong những theo khối mạng lưới hệ thống nhị phân mà máy

tính hoàn toàn có thể đọc được. Do đó, đấy là hoạt động và sinh hoạt giải trí quan trọng nhất trong

quy trình số hóa. Ba thao tác trên được phối hợp thực thi trong bộ

biến hóa tương tự – số, viết tắt là ADC§.

Hình 2.1 mô tả quy trình số hóa tín hiệu theo ba bước trên đây.

Cho tín hiệu tương tự x(t)như trong hình 2.1(a). Lấy mẫu x(t)tại

*Sampling.

†Quantization.

‡Coding.

§ADC: Analog-to-Digital Converter.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

“./figures/ADC_0” — 2012/6/11 — 18:24 — page 6 — #1

x(t)

(a) Tín hiệu liên tục.

“./figures/ADC_1” — 2012/6/11 — 18:24 — page 6 — #1

x(nT)

(b) Lấy mẫu với chu kỳ luân hồi T.

“./figures/ADC_2” — 2012/6/11 — 18:24 — page 6 — #1

x(n)

“./figures/ADC_3” — 2012/6/11 — 18:25 — page 6 — #1

x(n)

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

(d) Chọn những mức lượng tử

“./figures/ADC_4” — 2012/6/11 — 18:25 — page 6 — #1

xq(n)

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

(e) Tín hiệu đã lượng tử hóa

“./figures/ADC_5” — 2012/6/11 — 18:25 — page 6 — #1

xq(n)

000

001

010

011

100

101

110

111

(f) Biễu diễn nhị phân những mức

“./figures/ADC_6” — 2012/6/11 — 18:25 — page 6 — #1

x(n)

x=010 101 111 111 110 110 110 111 111 101 010 000 011 110 101 111 011 000 011

(g) Chuỗi bit số nhị phân x

Hình 2.1: Quá trình số hóa tín hiệu liên tục thành chuỗi bit.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

2.2. Phương pháp lấy mẫu

những thời gian cách đều nhau Tgiây để được tín hiệu x(nT)như trong

hình 2.1(b), với nlà số nguyên. Thông số Tđược gọi là chu kỳ luân hồi lấy

mẫu. Phương pháp này gọi là lấy mẫu đều (uniform sampling). Thay

vì dùng x(nT )theo thời hạn nT cho tín hiệu đã được lấy mẫu, ta có

thể ký hiệu x(n)theo mẫu nvà gọi nó là tín hiệu rời rạc, như mô tả

trong hình 2.1(c).

Vì x(n)hoàn toàn có thể có vô số giá trị rất khác nhau, không thể tàng trữ trong

một bộ nhớ số điện tử hữu hạn, cho nên vì thế cần xấp xỉ x(n)với một số trong những

hữu hạn những mức giá được gọi là mức lượng tử. Chẳng hạn, chọn tám

mức −1,2;−0,8;...;1,6, như trong hình 2.1(d). Sau đó làm tròn x(n)

để được tín hiệu đã lượng tử hóa ˜

x(n)như trong hình hình 2.1(e).

Bước làm tròn này tạo ra sai số, gọi là sai số lượng tử.

Với tám mức lượng tử đã lựa chọn, ta hoàn toàn có thể dùng ba bit nhị

phân để màn biểu diễn chúng, như trong hình 2.1(f). Như vậy, tín hiệu

lượng tử ˜

x(n)được màn biểu diễn thành chuỗi nhị phân x=010101···,

như trong hình 2.1(g). Ta thấy rằng, để giảm sai số lượng tử, ta có

thể dùng nhiều mức lượng tử hơn. Tuy nhiên, điều này có nghĩa cần

dùng bit nhị phân để màn biểu diễn những mức này và vì vậy dung tích lưu

trữ chuỗi số sẽ tăng thêm.

Các phần tiếp theo trong chương này trình diễn khái quát cả ba

bước lấy mẫu, lượng tử hóa và số hóa. Tuy vậy, trong những chương tiếp

theo thì ta chỉ quan tâm đến phần lấy mẫu mà thôi vì đấy là hoạt

động cơ bản nhất.

2.2 Phương pháp lấy mẫu

Có nhiều phương pháp lấy mẫu, tùy thuộc vào tính chất của tín

hiệu hay là thông tin mà ta cần lấy. Tuy nhiên, giáo trình này chỉ

đề cập đến phương pháp đơn thuần và giản dị nhưng cơ bản nhất, đó đó đó là

lấy mẫu đều. Lấy mẫu đều (sau này gọi tắt là lấy mẫu) một tín hiệu

liên tục x(t)tức là ghi lại chuỗi giá trị của tín hiệu này tại những thời

điểm t=nT, trong số đó nlà một số trong những nguyên biến thiên từ −∞ đến +∞,

Tlà một hằng số có cty là giây (s) và được gọi là chu kỳ luân hồi lấy mẫu.

Rời rạc hóa tín hiệu x(t)để sở hữu chuỗi x(nT )chỉ có mức giá trị khi từ chuỗi

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

này hoàn toàn có thể xây dựng lại x(t)một cách hoàn hảo nhất. Những Đk để

đảm bảo tính hoàn hảo nhất này được gọi là những Đk lấy mẫu tín

hiệu. Để làm rõ những Đk lấy mẫu này, nên phải xét phổ của

tín hiệu được lấy mẫu. Gọi X(Ω)là phổ của x(t), sử dụng định nghĩa

X(Ω)thông qua biến hóa Fourier của x(t)như sau:

X(Ω)=Z∞

−∞

x(t)e−jΩtdt.(2.1)

Chú ý rằng, trong định nghĩa này Ω(đọc là “ô-mê-ga lớn”) có

cty là (radians/giây). Trước đây, trong những giáo trình khác, người

ta thường dùng ω(đọc là “ô-mê-ga nhỏ”) để chỉ định biến số này.

Trong giáo trình này, ωđược dùng để chỉ định một thông số khác

của nghành xử lý số sẽ tiến hành đề cập trong những phần tiếp theo.

Để xác lập Đk lấy mẫu, trước hết xét tín hiệu toán học

sau này

∆(t)=∞

n=−∞

δ(t−nT),(2.2)

trong số đó δ(t)là xung Dirac, màn biểu diễn như trong Hình 2.2. Tín hiệu

∆(t)là một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ luân hồi T, gồm những xung Dirac xuất

hiện tại những thời gian nT .

Triển khai ∆(t)thành chuỗi Fourier ta có:

∆(t)=∞

n=−∞

CnejnΩ0t.(2.3)

trong số đó Ω0=2π/Tvà

Cn=1

TZT

∆(t)e−jnΩ0td t.(2.4)

Tích phân trên Tlà tích phân lấy trên bất kỳ chu kỳ luân hồi nào của tín

hiệu ∆(t), thông thường ta lấy trong mức chừng từ −T/2 đến T/2. Sử

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

2.2. Phương pháp lấy mẫu

“./figures/ADC_7” — 2012/6/11 — 18:25 — page 7 — #1

δ(t)

(a) Xung Dirac

“./figures/ADC_8” — 2012/6/11 — 18:25 — page 7 — #1

∆(t)

−3T−2T−T3T2TT

(b) Chuỗi xung Dirac

Hình 2.2: Xung Dirac và chuỗi xung Dirac.

dụng chuỗi Fourier trong biểu thức (2.3) dẫn đến

Cn=1

TZT

−T

∆(t)e−jnΩ0td t

TZT

−T

2"∞

k=−∞

δ(t−kT)#e−jnΩ0td t

∞

k=−∞ZT

−T

δ(t−kT)e−jnΩ0td t

TZT

−T

δ(t)e−j0Ω0tdt

T(2.5)

Thay kết quả (2.5) vào (2.3) cho ta

∆(t)=1

∞

n=−∞

ejnΩ0t.(2.6)

Tiếp đến, dùng tín hiệu ∆(t)để lấy mẫu tín hiệu x(t)bằng phương pháp

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

xét tín hiệu sau:

x∆(t)=x(t)∆(t).(2.7)

Tín hiệu này được xem như thể lấy mẫu tín hiệu x(t)với chu kỳ luân hồi Tbởi

những xung Dirac. Trong miền thời hạn, ∆(t)hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng

hai cách rất khác nhau: bằng chuỗi tuần hoàn những xung Dirac theo (2.2)

hoặc bằng chuỗi Fourier theo (2.5). Như thế, phương trình (2.7) cho

thấy x∆(t)cũng hoàn toàn có thể được màn biểu diễn trong miền thời hạn bởi hai

biểu thức toán học rất khác nhau. Cách thứ nhất cho ra

x∆(t)=∞

n=−∞

x(t)δ(t−nT)

=∞

n=−∞

x(nT)δ(t−nT),(2.8)

và cách thứ hai cho ra

x∆(t)=1

∞

n=−∞

ejnΩ0tx(t).(2.9)

Phổ X∆(Ω)của x∆(t)đó đó là biến hóa Fourier của x∆(t)

X∆(Ω)=Z∞

−∞

x∆(t)e−jΩtdt (2.10)

Với hai màn biểu diễn rất khác nhau của x∆(t), hoàn toàn có thể suy ra hai cách biểu

diễn rất khác nhau cho phổ X∆(Ω)như sau:

X∆(Ω)=∞

n=−∞

x(nT)e−jnΩT(2.11)

và

X∆(Ω)=Z∞

−∞·1

∞

n=−∞

ejnΩ0tx(t)¸e−jΩtd t

∞

n=−∞Z∞

−∞

x(t)e−j(Ω−nΩ0t)dt

∞

n=−∞

X(Ω−nΩ0)(2.12)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

2.2. Phương pháp lấy mẫu

“./figures/ADC_9” — 2012/6/11 — 18:29 — page 9 — #1

Ω

X∆(Ω)

Ω0

W−W

(a)

“./figures/ADC_10” — 2012/6/11 — 18:29 — page 9 — #1

Ω

X(Ω)

W−W

(b)

Hình 2.3: Phổ tuần hoàn theo Ωvới chu kỳ luân hồi Ω0(a) và phần phổ mong

muốn (b).

Hai biểu thức (2.11) và (2.12) đã cho toàn bộ chúng ta biết phổ X∆(Ω)hoàn toàn có thể được biểu

diễn trực tiếp theo bộ sưu tập x(nT)hoặc theo phổ X(Ω)của tín hiệu

tương tự. Và cũng vì thế đã cho toàn bộ chúng ta biết mối liên giữa phổ X(Ω)và tín hiệu

lấy mẫu x(nT). Dưới đây, chỉ quan tâm tới cách màn biểu diễn (2.12), còn

kết quả (2.11) sẽ tiến hành màn biểu diễn trong chương tiếp theo.

Phương trình (2.12) đã cho toàn bộ chúng ta biết từ X∆(Ω)ta hoàn toàn có thể suy ra X(Ω)

với độ đúng chuẩn hoàn hảo nhất nếu những thành phần X(Ω+Ω0),X(Ω),

X(Ω−Ω0)hoàn toàn không đụng nhau, như trên hình 2.3. Điều kiện

này được gọi là không còn hiện tượng kỳ lạ gập phổ*. Để thỏa mãn nhu cầu, hoàn toàn có thể

thấy phổ X(Ω)của tín hiệu gốc x(t)phải có bề rộng hữu hạn. Bề rộng

này được gọi là bề rộng phổ của tín hiệu và được ký hiệu là W. Ngoài

ra, để X(Ω+Ω0),X(Ω),X(Ω−Ω0)không đụng nhau, phải có thêm

một Đk khác là Ω0>2W. Hai Đk này được gọi là định

lý lấy mẫu Nyquist và được tóm lại như sau: Tín hiệu x(t)và tín

*Frequency aliasing.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

hiệu mẫu x(nT )là hoàn toàn tương tự nếu phổ của tín hiệu gốc

x(t)có bề rộng hữu hạn Wvà vận tốc lấy mẫu phải to nhiều hơn hai lần

của bề rộng phổ tín hiệu.

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết, xử lý một tín hiệu tương tự hay tín hiệu

số tương tự đều cho cùng một kết quả nếu hai Đk lấy mẫu

được thỏa mãn nhu cầu. Đúng vậy, nếu hai Đk này được thỏa mãn nhu cầu thì

về mặt toán học, từ phổ X∆(Ω)chỉ việc lọc nó với một bộ lọc lý tưởng

Hr(Ω)để đã có được đầu ra X(Ω)như được mô tả trên trong hình 2.4.

Hr(Ω)được xác lập như sau:

“./figures/ADC_11” — 2012/6/11 — 18:39 — page 10 — #1

X∆(Ω)Hr(Ω)X(Ω)

Hình 2.4: Lọc sử dụng bộ lọc lý tưởng

Hr(Ω)=(1,nếu |Ω|≤W0

0,nếu ngược lại (2.13)

trong số đó W0phải thõa W

chọn W0=Ω0/2. Tần số B0=(Ω0/2)/2πtính theo cty Hz được gọi là

tần số Nyquist.

Kết quả trên được màn biểu diễn trong miền thời hạn như sau:

x(t)=hr(t)?X∆(t),(2.14)

trong số đó hr(t)là phục vụ xung của cục lọc Hr(Ω), mà ta vừa sử dụng

để tách thành phần X(Ω)từ X∆(Ω), và ?là tích chập. Đáp ứng xung

hr(t)này là biến hóa Fourier ngược của Hr(Ω)và được cho bởi

hr(t)=2πB0sinc(Bt),(2.15)

với sinc(x)=sin(πx)/πx. Phương trình (2.14) cho ta

x(t)=2πB0∞

n=−∞

x(nT)sincB(t−nT).(2.16)

Ta thấy rằng, khi những Đk lấy mẫu được thỏa mãn nhu cầu, phương

trình (2.16) xác lập là x(t)sẽ tiến hành tái tạo một cách hoàn hảo nhất từ

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

2.3. Lấy mẫu thực tiễn

bộ sưu tập x(nT )của nó. Công thức (2.16) thường được gọi là công thức

nội suy của tín hiệu x(t). Công thức này được Shannon sử dụng trong

lý thuyết toán học về thông tin xuất bản năm 1947, do đó định lý lấy

mẫu Nyquist cũng thường được gọi là định lý lấy mẫu Shannon*.

Đối với máy tính thì bộ sưu tập x(n)vẫn là một số trong những thực cần phải

màn biểu diễn với độ đúng chuẩn tốt nhất của máy tính. Để thực thi quá

trình màn biểu diễn này, bộ sưu tập x(n)cần phải lượng tử hóa với số mức

xác lập bởi độ đúng chuẩn của máy tính.

Số mức lượng tử là một hàm mũ của 2. Cấu trúc này được cho phép

mã hóa mỗi mức bằng một chuỗi bit. Như vậy, thông qua quy trình

lấy mẫu, lượng tử hóa và mã hóa, hoàn toàn có thể thấy ngay một tín hiệu tương

tự được máy tính đọc như một chuỗi bit nhị phân.

2.3 Lấy mẫu thực tiễn

Trong phần trước, tín hiệu toán học ∆(t)được sử dụng để lấy

mẫu tín hiệu. Quá trình này tiềm ẩn xung Dirac nên không thể

xây dựng được một mạch thực tiễn để thực thi thao tác này. Để

minh họa khái niệm này, hoàn toàn có thể thay thế tín hiệu ∆(t)bằng tín hiệu

p.(t)được định nghĩa như sau:

p.(t)=∞

n=−∞

w(t−nT),(2.17)

trong số đó Tlà chu kỳ luân hồi lấy mẫu và

w(t)=(1,nếu −T0

2≤t≤T0

0,nếu ngược lại (2.18)

Dùng tín hiệu p.(t)để lấy mẫu x(t)theo sơ đồ 2.5.

Như vậy

xp(t)=x(t)p.(t).(2.19)

*Thực ra, công thức nội suy này đã được chứng tỏ hồi thời điểm đầu thế kỷ 20 bởi nhà toán

học người Anh Whitaker.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

“./figures/ADC_12” — 2012/6/11 — 18:41 — page 12 — #1

x(t)xp(t)

p.(t)

Hình 2.5: Lẫy mẫu thực tiễn.

Tín hiệu p.(t)là một tín hiệu tuần hoàn, có chu kỳ luân hồi là T. Ta hoàn toàn có thể

khai triển chuỗi Fourier để sở hữu

p.(t)=∞

n=−∞

Cnejnω0t,(2.20)

trong số đó

Cn=1

TZT0

−T0

ejnω0td t =T0

TsincµnT0

T¶.(2.21)

Với chuỗi Fourier này, xp(t)hoàn toàn có thể màn biểu diễn dưới dạng

xp(t)=∞

n=−∞

Cnejnω0tx(t).(2.22)

Lấy biến hóa Fourier hai vế của phương trình (2.22), ta được

Xp(Ω)=∞

n=−∞

CnX(Ω−nΩ0).(2.23)

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết rằng phổ X(Ω)hoàn toàn có thể suy ra từ phổ Xp(Ω)nếu

hai Đk lấy mẫu được thỏa mãn nhu cầu.

Trong thực tiễn, để đơn thuần và giản dị hóa thiết kế mạch điện tử cho việc

lấy mẫu, người ta chọn T0=T, trong trường hợp này, cách lấy mẫu

này được gọi là lấy và giữ mẫu*.

2.4 Lượng tử hóa

Sau khi lấy mẫu, bước tiếp theo của thao tác số hóa là lượng tử

hóa bộ sưu tập. Lúc lấy mẫu, giá trị mỗi mẫu hoàn toàn có thể biến hóa liên tục

*Sample-and-Hold.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

2.5. Mã hóa và màn biểu diễn nhị phân

từ mức thấp nhất đến mức cao nhất của tín hiệu. Do đó, màn biểu diễn

nhị phân tương ứng phải cần một chiều dài vô hạn mới có độ chính

xác tuyệt đối.

Trong thực tiễn, những máy tính chỉ có độ đúng chuẩn nhất định, bắt

buộc phải đồng ý xấp xỉ bộ sưu tập với một số trong những mức được xác lập

bởi độ đúng chuẩn của máy tính. Bề dày của mỗi mức được gọi là mức

lượng tử và thiết bị xấp xỉ này được gọi là bộ lượng tử.

Các mức của cùng một bộ lượng tử hoàn toàn có thể rất khác nhau để hoàn toàn có thể

hoạt động và sinh hoạt giải trí cho nhiều trường hợp rất khác nhau mà luôn luôn bảo vệ

chất lượng của khối mạng lưới hệ thống. Trong trường hợp những mức cách đều nhau

thì bộ lượng tử được gọi là bộ lượng tử đều, như được màn biểu diễn trên

hình 2.6. Phép xấp xỉ này hoàn toàn có thể được thực thi bằng phương pháp làm tròn

hoặc cắt đuôi. Như vậy, lượng tử hóa xấp xỉ một tín hiệu với một sai

số

x(n)=xq(n)+eq(n).(2.24)

Sai số eq(n)có mức giá trị tuyệt đối nhỏ hơn q/2, trong số đó qlà mức lượng

tử.

Ta thấy, lượng tử hóa và lấy mẫu hoàn toàn có thể hoán vị với nhau mà

không thay đổi kết quả. Thông thường thì lấy mẫu được thực thi

trước lúc số lượng tử hóa. Tuy nhiên, nếu lấy mẫu được thực thi sau

lượng tử hóa thì vận tốc lấy mẫu phải cao hơn vận tốc lấy mẫu

Nyquist của tín hiệu gốc. Bởi vì trong trường hợp này, cũng hoàn toàn có thể

lấy mẫu tín hiệu sai số, mà tín hiệu sai số này hoàn toàn có thể có phổ với bề

rộng to nhiều hơn phổ của tín hiệu gốc. Như vậy, nếu không thận trọng, tín

hiệu sau khi lấy mẫy hoàn toàn có thể bị ảnh hưởng bởi hiện tượng kỳ lạ gập phổ.

2.5 Mã hóa và màn biểu diễn nhị phân

Sau khi số lượng tử hóa, để sở hữu mẫu xq(n)cần màn biểu diễn xq(n)sao

cho máy tính hoàn toàn có thể hiểu được; máy tính ngày này sử dụng tính toán

nhị phân. Như vậy, chỉ việc màn biểu diễn xq(n)theo khối mạng lưới hệ thống nhị phân.

Tuy nhiên, cần để ý quan tâm phân biệt giữa màn biểu diễn dấu phẩy tĩnh*và dấu

*Fixed-point presentation.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

“./figures/ADC_13” — 2012/6/11 — 18:39 — page 13 — #1

Q.(x)

−q

−2q

−3q

q2q3q

−q−2q−3q

(a) Cắt đuôi

“./figures/ADC_14” — 2012/6/11 — 18:39 — page 13 — #1

Q.(x)

−q

−2q

−3q

q2q3q

−q−2q−3q

(b) Làm tròn

Hình 2.6: Các kiểu lượng tử hóa.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

2.6. Kết luận

phẩy động*, chính bới hai phương pháp này tương ứng với việc lựa chọn

độ đúng chuẩn rất khác nhau.

Đối với tính toán dấu phẩy tĩnh thì phép nhân luôn dẫn đến sai

số làm tròn trong lúc phép cộng thì không tạo ra sai số. Trong khi,

tính toán với dấu phẩy động thì cả phép nhân lẫn phép cộng đều tạo

ra những sai số loại này. Ngoài ra, tính toán với dấu phẩy tĩnh hoàn toàn có thể

làm phát sinh hiện tượng kỳ lạ vượt tràn kĩ năng máy tính. trái lại

thì hiện tượng kỳ lạ vượt tràn kĩ năng máy tính không xuất hiện với những

phương pháp tính toán dấu phẩy động.

2.6 Kết luận

Trong chương này, ta vừa trình diễn ngắn gọn thao tác số hóa những

tín hiệu tương tự. Các thao tác này được thực thi bởi những bộ biến

đổi ADC với giá khá rẻ. Tuy nhiên, lúc sử dụng bộ biến hóa ADC ta

cần để ý quan tâm phải sử dụng một bộ lọc ở nguồn vào để số lượng giới hạn hiện tượng kỳ lạ

gập phổ. Bộ lọc này thường được gọi là bộ lọc nguồn vào†. Đối với những

bộ biến hóa ADC đắt tiền thì bộ lọc nguồn vào này thường được thiết kế

như một bộ phận của thiết bị.

Trong quá nhiều vận dụng thực tiễn, tín hiệu nguồn vào cũng như

tín hiệu đầu ra của khối mạng lưới hệ thống đều là tương tự, do đó ta phải biến hóa

những tín hiệu số thành những tín hiệu tương tự. Thao tác này được thực

hiện bởi bộ biến hóa DAC. Cấu trúc của cục biến hóa này nói chung

cũng rất đơn thuần và giản dị.

*Floating-point presentation.

†Prefilter.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

Bài tập chương 2

2.1. Cho một tín hiệu tương tự như sau:

x(t)=10cos(20πt)+3sin(40πt)−5cos(60πt+0,5π).

Hãy xác lập tần số Nyquist khi lấy mẫu tín hiệu này.

2.2. Cho một tín hiệu tương tự như sau:

x(t)=sin(40πt)−2cos(60πt+0.5π).

a) Hãy xác lập tần số Nyquist khi lấy mẫu tín hiệu này.

b) Hãy xác lập biểu thức của tín hiệu rời rạc x(n)sau khi lấy mẫu

với tần số FS=120 Hz.

2.3. Cho một tín hiệu tương tự có tần số cực lớn là 5 kHz.

a) Xác định tần số lấy mẫu tối thiểu thiết yếu để hoàn toàn có thể Phục hồi

đúng chuẩn tín hiệu tương tự ban đầu.

b) Nếu lấy mẫu tín hiệu trên với tần số lấy mẫu FS=4kHz thì hiện

tượng gì sẽ xẩy ra với thành phần tần số 3KHz.

2.4. Cho một tín hiệu tương tự như sau:

x(t)=cos(50πt)+3sin(40πt)−cos(60πt+0,5π).

Lấy mẫu tín hiệu trên với tần số lấy mẫu FS=100 Hz, hãy xác lập

những thành phần tần số số xuất hiện trong tín hiệu thu được.

2.5. Cho một tín hiệu tương tự như sau:

x(t)=ej60πt+3sin(50πt)−cos(60πt+0,6π).

Lấy mẫu tín hiệu trên với tần số lấy mẫu FS=200 Hz, hãy xác lập

những thành phần tần số số xuất hiện trong tín hiệu thu được.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Bài tập

2.6. Cho một tín hiệu tương tự

x(t)=cos(100πt)+3sin(250πt)

trải qua một bộ biến hóa tương tự – số (ADC) có chu kì lấy mẫu T=

5ms, tiếp đó qua một bộ biến hóa số – tương tự (DAC) hoạt động và sinh hoạt giải trí ở

tần số F0

S=1kHz và ở đầu cuối qua một bộ lọc thông thấp (bộ lọc làm

trơn hay bộ lọc nội suy) có tác dụng vô hiệu toàn bộ những tần số to nhiều hơn

100 Hz. Hãy xác lập tín hiệu y(t)Phục hồi được.

2.7. Tín hiệu x(n)=3δ(n+1) +2δ(n)+4δ(n−1). Hãy xác lập

a) x(n−1)

b) x(n+1)

c) x(−n)

d) x(−n+1)

e) x(−n−1)

f) x(−n+1)x(n)

g) x(n)−x(n−1)

2.8. Tín hiệu x(n)=u(n+3) −u(n−4). Hãy xác lập

a) x(n−2)

b) x(n+2)

c) x(−n)

d) x(−n+2)

e) x(−n−2)

f) x(−n+2)x(n)

g) x(n)−x(n−2)

2.9. Biểu diễn tín hiệu x(n)=δ(n+1) +δ(n)+δ(n−1) theo hàm nhảy

bậc cty.

2.10. Biểu diễn tín hiệu x(n)=r(n)u(4 −n)bằng phương pháp liệt

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 2. Số hóa tín hiệu tương tự

kê.

2.11. Biểu diễn tín hiệu x(n)=r(n)−r(n−3) −3u(n−3) bằng hình vẽ.

2.12. Cho một tín hiệu rời rạc x(n)=3 sin(0,1πn)được lượng tử hóa

với độ sắc nét ∆=0,1. Có bao nhiêu bit cần sử dụng trong bộ mã

hóa của ADC trong trường hợp này?

2.13. Xác định vận tốc bit và độ sắc nét khi lấy mẫu tín hiệu có độ

thay đổi 1V nếu tần số lấy mẫu FS=40 mẫu/giây và sử dụng ADC 8

bit.

2.14. Xác định vận tốc bit và độ sắc nét khi lấy mẫu tín hiệu có

độ thay đổi từ 0đến 5V nếu tần số lấy mẫu FS=100 mẫu/giây và sử

dụng ADC 12 bit.

2.15. Trong 1 bộ ADC sử dụng 8bit để mã hóa thì hoàn toàn có thể phân biệt

bao nhiêu giá trị điện thế rất khác nhau?

2.16. Trong 1 bộ ADC sử dụng 12 bit để mã hóa thì hoàn toàn có thể phân

biệt bao nhiêu giá trị điện thế rất khác nhau?

2.17. Một bộ DAC 4-bit thì bit có trọng số nhỏ nhất sẽ chiếm bao

nhiêu Phần Trăm giá trị toàn dải.

2.18. Một bộ DAC 12-bit thì bit có trọng số nhỏ nhất sẽ chiếm bao

nhiêu Phần Trăm giá trị toàn dải.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3

TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

RỜI RẠC

3.1 Mở đầu

Để làm rõ những phương pháp thiết kế những bộ lọc số, trước hết cần

nắm vững những khái niệm cơ bản về tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc. Lý

thuyết khối mạng lưới hệ thống rời rạc bắt nguồn từ lý thuyết điều khiển và tinh chỉnh khối mạng lưới hệ thống

rời rạc*được xây dựng vào trong năm 50 của thế kỷ 20. Những công

cụ này được đưa vào nghành xử lý tín hiệu số trong năm tiếp Từ đó và

trở thành những công cụ cơ bản riêng với những kỹ sư điện tử, viễn thông,

điều khiển và tinh chỉnh, v.v.

Như đã trình diễn trong chương 2, khi lấy mẫu một tín hiệu liên

tục x(t)bằng chuỗi những xung Dirac lý tưởng, ta được tín hiệu mẫu

x∆(t)=∞

n=−∞

x(nT)δ(t−nT),(3.1)

trong số đó Tlà chu kỳ luân hồi lấy mẫu. Như vậy, tín hiệu mẫu x∆(t)là một tín

hiệu tương tự, theo định nghĩa, vì biến độc lập của tín hiệu là thời

gian liên tục t. Mặt khác, theo (3.1), x∆(t)hoàn toàn tùy từng

mẫu x(nT)của tín hiệu x(t). Xét tín hiệu rời rạc xd(n)được tạo bởi

xd(n)=x(nT).(3.2)

*Sampled-data control system.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

Như vậy, mối liên hệ giữa tín hiệu tương tự x∆(t)và tín hiệu rời rạc

xd(n)được xác lập bởi biểu thức sau:

x∆(t)=∞

n=−∞

xd(n)δ(t−nT).(3.3)

Từ (3.3) hoàn toàn có thể thấy, có x∆(t)ta suy ra ngay xd(n)và ngược lại sở hữu

xd(n)ta suy ra được x∆(t). Điều hiển nhiên này đã cho toàn bộ chúng ta biết rằng xử lý

tín hiệu rời rạc xd(n)hay xử lý tín hiệu tương tự x∆(t)là hoàn toàn

tương tự.

Một cách liên hệ khác giữa nghành tương tự và nghành rời rạc

được thể hiện bởi biến hóa Laplace. Lấy biến hóa Laplace hai chiều

của tín hiệu tương tự x∆(t)như xác lập trong (3.3) cho ta

x∆(s)=Z∞

−∞

x∆(t)e−st d t (3.4)

=Z∞

−∞·∞

n=−∞

xd(n)δ(t−nT)¸e−st d t

=∞

n=−∞

xd(n)·Z∞

−∞

δ(t−nT)e−st d t¸.

và ở đầu cuối là

x∆(s)=∞

n=−∞

xd(n)e−nsT ,(3.5)

Biểu thức (3.5) đóng vai trò quan trọng lúc ta quy đổi từ nghành

tương tự sang nghành rời rạc và ngược lại.

Bây giờ, đặt

z=esT .(3.6)

Như thế, biểu thức (3.5) trở thành

x∆(z)=∞

n=−∞

xd(n)z−n.(3.7)

Có thể nhận thấy rằng, lúc ta không quan tâm đến chu kỳ luân hồi T(hoặc

vận tốc lấy mẫu tương ứng) thì zlà một biến độc lập. Tuy nhiên, ý

nghĩa của zlúc thảo luận đến khối mạng lưới hệ thống lấy mẫu thì đó đó là mối liên

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.2. Tín hiệu rời rạc

hệ được định nghĩa bởi (3.6). Biểu thức (3.7) được gọi là biến hóa Z

của tín hiệu rời rạc xd(n)và sẽ tiến hành đề cập rõ ràng trong Mục 3.5.

Thực ra, quan hệ Một trong những biến phức độc lập zvà strong (3.6)

không đóng vai trò quan trọng để hiểu xử lý tín hiệu số. Tuy nhiên,

điều này giúp làm rõ mối liên hệ giữa nghành xử lý tín hiệu liên

tục và nghành xử lý tín hiệu số. Từ đó, giúp đưa ra cái nhìn tổng

quát về khối mạng lưới hệ thống và tín hiệu mà không cảm thấy ngần ngại trước

bản chất tương tự hay rời rạc của tài liệu mà ta phải xử lý. Do vậy,

sau này, khi đề cập đến tín hiệu rời rạc thì vận tốc lấy mẫu sẽ không còn

được xem xét và vì thế biến hóa Zđược sử dụng cho những tín hiệu rời

rạc và những khối mạng lưới hệ thống rời rạc bất kỳ.

3.2 Tín hiệu rời rạc

Như đã nêu ở phần trước, tín hiệu rời rạc thực ra là một chuỗi

số x(n)với nlà biến số thời hạn độc lập rời rạc, có mức giá trị biến thiên

từ −∞ đến +∞. Biến nchỉ định số thứ tự của bộ sưu tập tín hiệu và

như vậy x(n)là mẫu thứ ncủa tín hiệu.

Tín hiệu x(n)hoàn toàn có thể tự thân là một chuỗi rời rạc ví như

số tiền lời hàng tháng trong thông tin tài khoản ngân hàng nhà nước. Hay nó cũng luôn có thể có

thể là chuỗi mẫu lúc ta lấy mẫu một tín hiệu tương tự. Như vậy, khi

đề cập đến một tín hiệu rời rạc x(n), không cần quan tâm đến vận

tốc lấy mẫu. Một tín hiệu rời rạc hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng hàm số

toán học, đồ thị hoặc một chuỗi số, như trong ví dụ sau.

Ví dụ 3.1 (Biểu diễn tín hiệu rời rạc)

Cho tín hiệu rời rạc được định nghĩa bằng hàm toán học như sau:

x(n)=(−n+1,với −3≤n≤3

0,với nkhác

Tín hiệu này cũng hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng chuỗi số

x(n)=4;3;2;1

↑;−1;−2,

trong số đó ↑chỉ điểm gốc thời hạn, hoặc bằng đồ thị như hình 3.1.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_0” — 2012/6/11 — 18:50 — page 7 — #1

x(n)

1 2 3

−1−2−3

Hình 3.1: Biểu diễn tín hiệu rời rạc bằng đồ thị.

Lúc màn biểu diễn bằng chuỗi số, nên phải xác lập điểm gốc thời

gian, n=0, của chuỗi một cách tường minh. Trong trường hợp tín

hiệu có mức giá trị triệt tiêu tại những thời gian âm thì hoàn toàn có thể xem như

điểm gốc thời hạn là mẫu thứ nhất của chuỗi và không cần dùng ↑

để chỉ điểm gốc thời hạn. Xét những chuỗi tín hiệu sau

x1(n)=...;0,25;0,5;1

↑;0,5;0,25; ...

x2(n)=1,2;−3;...

x3(n)=1;−1;3;5

↑;0;4;1

x4(n)=1,5;0;7

Theo thứ tự, những chuỗi x1(n),x2(n),x3(n)và x4(n)có mức giá trị tại gốc thời

gian là một trong, 1, 5, và 1. Các chuỗi x1(n)và x1(n)có số mẫu là vô hạn, những

chuỗi x3(n)và x4(n)có số mẫu là hữu hạn, những chuỗi x2(n)và x4(n)

triệt tiêu tại những thời gian âm.

3.2.1 Một số tín hiệu quan trọng

Trong nghành rời rạc, có một số trong những tín hiệu đóng vai trò quan

trọng trong triển khai lý thuyết khối mạng lưới hệ thống rời rạc. Sau đấy là những

dạng tín hiệu quan trọng nhất thường gặp trong giáo trình này.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.2. Tín hiệu rời rạc

“./figures/SignalsSystems_1” — 2012/6/11 — 17:00 — page 22 — #1

δ(n)

Hình 3.2: Xung Kronecker δ(n).

Xung Kronecker

Trong lý thuyết khối mạng lưới hệ thống liên tục, ta đã gặp xung Dirac, thường

được ký hiệu là δ(t). Xung δ(t)triệt tiêu với mọi t6= 0, tiến đến +∞

khi ttiến đến 0sao cho R∞

−∞δ(t)d t =1. Trong nghành rời rạc, có một

tín hiệu có vai trò tương tự là xung Kronecker, được ký hiệu là δ(n)

và được định nghĩa như sau:

δ(n)=(0,với n6=0

1,với n=0(3.8)

Chú ý rằng, khác với xung Dirac, xung Kronecker có mức giá trị cty

tại điểm gốc thời hạn n=0. Hình 3.2 minh họa xung Kronecker.

Tín hiệu bậc thang cty

Tín hiệu thang cty thường được ký hiệu là u(n)và được

định nghĩa như sau:

u(n)=(1,với n≥0

0,với n<0(3.9)

Hình 3.3 minh họa u(n).

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_2” — 2012/6/11 — 17:00 — page 23 — #1

u(n)

123

Hình 3.3: Tín hiệu thang cty u(n).

Tín hiệu dốc cty

Tín hiệu dốc cty, thường được ký hiệu là ur(n), được định

nghĩa như sau:

ur(n)=(n,với n≥0

0,với n<0(3.10)

và được minh họa như trên hình 3.4.

“./figures/SignalsSystems_3” — 2012/6/11 — 17:00 — page 23 — #1

ur(n)

123

Hình 3.4: Tín hiệu dốc cty ur(n).

Tín hiệu mũ rời rạc

Tín hiệu mũ rời rạc được định nghĩa như sau:

x(n)=an,(3.11)

trong số đó alà một hằng số. Nếu alà một số trong những thực thì x(n)là một tín

hiệu thực. Hình 3.5 minh họa dạng tín hiệu mũ rời rạc với 0

và với a>1.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.2. Tín hiệu rời rạc

“./figures/SignalsSystems_4” — 2012/6/11 — 18:50 — page 9 — #1

x(n)

12345

(a) 0

“./figures/SignalsSystems_5” — 2012/6/11 — 18:50 — page 9 — #1

x(n)

12345

(b) a>1

Hình 3.5: Tín hiệu mũ rời rạc.

Nếu alà một số trong những phức được màn biểu diễn bởi a=re jθ, ta có x(n)=

rn[cos(nθ)+jsin(nθ)]. Trong trường hợp này x(n)là tín hiệu phức.

Phần thực xR(n)=rncos(nθ)và phần ảo xI(n)=rnsin(nθ)của nó được

màn biểu diễn bằng những đồ thị riêng không liên quan gì đến nhau.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

3.2.2 Phân loại tín hiệu

Tùy thuộc vào tính chất của tín hiệu, hoàn toàn có thể vận dụng những phương

pháp xử lý rất khác nhau. Có thể phân loại những tín hiệu rời rạc theo

những tính chất đặc trưng của nó.

Tín hiệu nguồn tích điện và tín hiệu hiệu suất

Năng lượng của một tín hiệu x(n)được định nghĩa là

Ex=∞

n=−∞|x(n)|2.(3.12)

Trong định nghĩa (3.12), Escó thể hữu hạn hay vô hạn. Trong trường

hợp Eshữu hạn, x(n)được gọi là tín hiệu nguồn tích điện. Trong trường

hợp tín hiệu có nguồn tích điện vô hạn, hiệu suất trung bình của nó có

thể hữu hạn hoặc vô hạn. Công suất trung bình của một tín hiệu rời

rạc x(n)được định nghĩa là

Px=lim

N→∞

2N+1

n=−N|x(n)|2.(3.13)

Trong trường hợp Pshữu hạn, x(n)được gọi là tín hiệu hiệu suất.

Tín hiệu tuần hoàn

Tín hiệu x(n)được gọi là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ luân hồi N,

trong số đó Nlà số nguyên dương, nếu và chỉ nếu

x(n+N)=x(n),(3.14)

với mọi n. Chu kỳ nhỏ nhất của một tín hiệu tuần toàn được gọi là

chu kỳ luân hồi cơ bản của tín hiệu.

Lưu ý rằng, một tín hiệu liên tục luôn tuần hoàn nhưng tín

hiệu rời rạc tương ứng chưa chắc đã như vậy. Điều này sẽ tiến hành làm

rõ trong ví dụ sau.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.2. Tín hiệu rời rạc

Ví dụ 3.2 (Tín hiệu rời rạc tuần hoàn)

Xét tín hiệu rời rạc

x(n)=cos(2πf0n),

trong số đó f0là một hằng số dương. Ta biết rằng, cos(t)tuần hoàn với

chu kỳ luân hồi 2π, tức là cos(t+2π)=cos(t). Tuy nhiên, muốn biết x(n)có tuần

hoàn hay là không, ta phải tìm xem có hiện hữu một số trong những nguyên dương

Nlớn thỏa mãn nhu cầu Đk (3.14) hay là không, tức là ta phải có

cos(2πf0n+2πf0N)=cos(2πf0n).

Điều kiện trên chỉ được thỏa mãn nhu cầu nếu f0Nlà một số trong những nguyên dương.

Từ Đk này, ta suy ra f0phải là một số trong những hữu tỉ p./q, lúc đó ta chỉ

cần chọn N=kq thì Đk tuần hoàn được thỏa mãn nhu cầu.

Một cách tổng quát, khi lấy mẫu một tín hiệu liên tục tuần hoàn,

nếu vận tốc lấy mẫu không còn mối liên hệ hữu tỉ với chu kỳ luân hồi của tín

hiệu liên tục thì chắc như đinh tín hiệu rời rạc sẽ không còn bao giờ được lặp

lại, nghĩa là tín hiệu rời rạc không tuần hoàn. Đối với một tín hiệu

rời rạc tuần hoàn có chu kỳ luân hồi Nthì hiệu suất trung bình của nó là:

P=1

N−1

n=0|x(n)|2(3.15)

Nếu tín hiệu tuần hoàn không còn mẫu có mức giá trị vô cực thì hiệu suất

trung bình của nó luôn luôn hữu hạn.

Tín hiệu chẵn và tín hiệu lẻ

Một tín hiệu thực x(n)được gọi là tín hiệu chẵn nếu

x(−n)=x(n),(3.16)

với mọi n. Tín hiệu chẵn cũng khá được gọi là tín hiệu đối xứng, được

minh họa trên hình 3.6(a). Một tín hiệu thực x(n)được gọi là tín

hiệu lẻ nếu

x(−n)=−x(n),(3.17)

với mọi n. Tín hiệu lẻ được gọi là tín hiệu phản đối xứng, được minh

họa trên hình 3.6(b). Chú ý là riêng với tín hiệu lẻ, x(0) phải triệt tiêu.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_6” — 2012/7/25 — 17:30 — page 30 — #1

x(n)

(a) Đối xứng

“./figures/SignalsSystems_7” — 2012/7/25 — 17:30 — page 30 — #1

x(n)

(b) Phản đối xứng

Hình 3.6: Tín hiệu đối xứng và phản đối xứng.

Một tín hiệu x(n)bất kỳ nào thì cũng đều hoàn toàn có thể phân tích thành

hai thành phần chẵn và lẻ. Thật vậy, đặt

xe(n)=1

2[x(n)+x(−n)](3.18)

xo(n)=1

2[x(n)−x(−n)](3.19)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.2. Tín hiệu rời rạc

Rõ ràng, xe(n)là một tín hiệu chẵn và xo(n)là một tín hiệu lẻ, đồng

thời x(n)được phân tích thành

x(n)=xe(n)+xo(n).(3.20)

3.2.3 Một số tính toán đơn thuần và giản dị trên tín hiệu

Trong lý thuyết tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc, một số trong những thao tác

biến hóa thời hạn và biến hóa biên độ được sử dụng phổ cập.

Dịch gốc thời hạn

Thao tác biến hóa thời hạn thứ nhất là dịch gốc thời hạn,

thay thế biến độc lập nbởi n−n0trong đó n0là một hằng số nguyên,

hoàn toàn có thể âm hay dương. Thao tác này được màn biểu diễn toán học bằng

toán tử dịch trễ thời hạn Dn0·:

Dn0x(n)=x(n−n0).(3.21)

Nếu n0>0thì thao tác này dịch trễ tín hiệu n0bước và nếu n0<0thì

nó làm sớm (kéo lùi) tín hiệu |d|bước. Hình 3.7 minh họa dịch trễ

và kéo lùi tín hiệu. Đối với tín hiệu liên tục, thực thi toán tử dịch trễ

thời hạn rất phức tạp còn toán tử kéo lùi thời hạn là bất khả thi.

trái lại riêng với tín hiệu rời rạc, x(n)được ghi lại trong bộ nhớ cho

nên dịch trễ thời hạn hay kéo lùi thời hạn của x(n)trở nên rất đơn

giản.

Đổi chiều thời hạn

Thao tác thứ hai của biến hóa thời hạn là đổi chiều thời hạn,

thay thế biến độc lập nbằng −n, như được mình họa trên hình 3.8.

Thao tác này được màn biểu diễn toán học bằng toán tử đổi chiều thời

gian I·:

Ix(n)=x(−n).(3.22)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_8” — 2012/6/11 — 18:53 — page 13 — #1

x(n)

123456

(a) Tín hiệu ban đầu

“./figures/SignalsSystems_9” — 2012/6/11 — 18:52 — page 13 — #1

x(n+1)

−1 1 2 3 4 5

(b) Tín hiệu lùi 1 bước

“./figures/SignalsSystems_10” — 2012/6/11 — 18:52 — page 13 — #1

x(n−1)

1234567

Hình 3.7: Minh họa tín hiệu trễ và tín hiệu lùi.

“./figures/SignalsSystems_11” — 2012/6/11 — 18:53 — page 13 — #1

x(n)

−2−1 1 2 3

(a) Tín hiệu gốc

“./figures/SignalsSystems_12” — 2012/6/11 — 18:53 — page 13 — #1

x(−n)

−3−2−1 1 2

(b) Tín hiệu hòn đảo

Hình 3.8: Đổi chiều thời hạn.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.2. Tín hiệu rời rạc

Lưu lý là dịch gốc thời hạn và đổi chiều thời hạn không còn tính

khả hoán. Thật vậy, nếu thực thi đổi chiều thời hạn của x(n)trước

rồi tiếp theo đó dịch gốc nó đi n0bước, kết quả là

Dn0Ix(n)=Dn0x(−n)=x(−n−n0).(3.23)

Trong khi đó, nếu dịch gốc đi n0bước trước rồi mới đổi chiều, kết quả

là

I©Dn0x(n)ª=Ix(n−n0)=x(−n+n0).(3.24)

Rõ ràng, hai kết quả trên là hoàn toàn khác lạ.

Đổi thang thời hạn

Thao tác biến hóa thời hạn thứ ba là đổi thang thời hạn, thay

thế nbằng αntrong đó αlà một hằng số nguyên dương. Toán tử đổi

thang thời hạn được ký hiệu là ↓α·:

↓αx(n)=x(αn)(3.25)

Thao tác đổi thang thời hạn còn được gọi là tụt giảm độ lấy mẫu,

như lý giải trong ví dụ sau.

Ví dụ 3.3 (Giảm tốc lấy mẫu và đổi thang thời hạn)

Thật vậy, xét tín hiệu liên tục xa(t). Ta hoàn toàn có thể lấy mẫu xa(t)với hai chu

kỳ lấy mẫu rất khác nhau T1và T2để có hai tín hiệu rời rạc rất khác nhau.

Giả sử, chu kỳ luân hồi lấy mẫu thứ nhất là T1=Tvà thứ hai là T2=2T. Gọi

x1(n)và x2(n)là hai tín hiệu rời rạc đã có được do hai quy trình lấy mẫu

này, x1(n)và x2(n)được xác lập như sau:

x1(n)=xa(nT)(3.26)

x2(n)=xa(n2T)(3.27)

Có thể thấy ngay x2(n)=x1(2n). Đây đó đó là kết quả đổi thang thời

gian với α=2, tức là x2(n)=↓2x1(n).

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

Khuếch đại tín hiệu

Đối với biến hóa biên độ của tín hiệu, một thao tác quan trọng

là khuếch đại tín hiệu, nhân toàn bộ bộ sưu tập của một tín hiệu với

cùng một hằng số a

y(n)=ax(n),(3.28)

với mọi n.

Cộng tín hiệu

Đối với tính toán trên nhiều tín hiệu, ta có thao tác cộng tín

hiệu. Tổng của hai tín hiệu x1(n)và x2(n)là một tín hiệu y(n)có mẫu

tại mỗi thời gian nđược xác lập bởi tổng của hai mẫu của x1(n)và

x2(n)tại cùng thời gian lúc đó:

y(n)=x1(n)+x2(n),(3.29)

với mọi n.

Nhân tín hiệu

Tương tự, một thao tác biến hóa biên độ khác là nhân tín hiệu.

Tích của hai tín hiệu x1(n)và x2(n)là một tín hiệu y(n)có mẫu tại

mỗi thời gian nđược xác lập bởi tích của hai mẫu của x1(n)và x2(n)

tại cùng thời gian lúc đó:

y(n)=x1(n)·x2(n)(3.30)

với mọi n.

3.3 Hệ thống rời rạc

Trong thật nhiều vận dụng thực tiễn, thiết yếu kế một thiết bị

hoặc một thuật toán để thực thi những thao tác trên những tín hiệu

rời rạc. Thiết bị hay thuật toán này được gọi là một khối mạng lưới hệ thống rời rạc.

Một cách tổng quát bằng toán học, một khối mạng lưới hệ thống rời rạc là một toán

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.3. Hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_13” — 2012/6/11 — 17:01 — page 30 — #1

Đầu vào Hệ thống rời rạc Đầu ra

x(n)

y(n)

Hình 3.9: Sơ đồ khối khối mạng lưới hệ thống rời rạc.

tử, thường ký hiệu là T·, biến hóa một tín hiệu rời rạc được gọi là

tín hiệu nguồn vào thành một tín hiệu rời rạc khác được gọi là tín

hiệu đầu ra. Tín hiệu nguồn vào còn được gọi là tín hiệu kích thích và

tín hiệu đầu ra là tín hiệu phục vụ. Gọi x(n)là tín hiệu nguồn vào và

y(n)là tín hiệu đầu ra, ta có quan hệ

y(n)=Tx(n).(3.31)

Quan hệ này được minh họa bằng sơ đồ khối như trên hình 3.9.

3.3.1 Mô hình khối mạng lưới hệ thống

Trong giáo trình này, yếu tố quan tâm là một họ khối mạng lưới hệ thống được

màn biểu diễn bởi những phương trình sai phân tuyến tính có thông số là hằng

số. Mối liên hệ giữa nguồn vào và đầu ra của tớ khối mạng lưới hệ thống này là một

phương trình sai phân tuyến tính có dạng:

k=0

aky(n−k)=

k=0

bkx(n−k),(3.32)

trong số đó akvà bklà những thông số hoàn toàn có thể tùy từng nnhưng hoàn

toàn độc lập với mọi x(n)và mọi y(n).Nvà Mlà hai hằng số nguyên

dương. Chính vì Nvà Mhữu hạn nên họ khối mạng lưới hệ thống được màn biểu diễn

bởi (3.32) còn được gọi là khối mạng lưới hệ thống bậc hữu hạn.

Có thể đặc tả phương trình sai phân (3.32) bằng một sơ đồ hệ

thống được xác lập bởi ba toán tử cơ bản là cộng tín hiệu, khuếch

đại biên độ và dịch trễ thời hạn. Để minh họa tính hữu ích của sơ

đồ, xét ví dụ đơn thuần và giản dị sau này.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

Ví dụ 3.4 (Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống)

Xét phương trình sai phân

y(n)+2y(n−1) =3x(n)+0,5x(n−1) +0,6x(n−2).

Để xây dựng sơ đồ mô tả khối mạng lưới hệ thống được màn biểu diễn bởi phương trình

trên, ta viết lại nó dưới dạng màn biểu diễn mẫu đầu ra y(n)tại thời gian

hiện tại ntheo bộ sưu tập nguồn vào tại những thời gian hiện tại và quá

khứ và bộ sưu tập đầu ra tại những thời gian quá khứ như sau:

y(n)=−2y(n−1) +3x(n)+0,5x(n−1) +0,6x(n−2)

=−2y(n−1) +v(n)

Kết quả trên giúp mô tả khối mạng lưới hệ thống bằng một sơ đồ như trên hình 3.10.

“./figures/SignalsSystems_14” — 2012/6/11 — 17:01 — page 31 — #1

z−1z−1

z−1

x(n)y(n)

3v(n)

0,5−2

0,6

Hình 3.10: Sơ đồ mô tả khối mạng lưới hệ thống thực thi bởi những bộ cộng, bộ khuếch

đại và và bộ dịch trễ cty.

Trong chương 4, ta sẽ trình diễn kỹ lưỡng hơn cách chọn sơ đồ

khối mạng lưới hệ thống một cách thích hợp cho từng vận dụng và cách giản lược một

sơ đồ.

3.3.2 Phân loại khối mạng lưới hệ thống

Trong quy trình phân tích và thiết kế những khối mạng lưới hệ thống rời rạc, tính

chất đặc trưng của khối mạng lưới hệ thống đóng một vai trò rất quan trọng. Các hệ

thống được phân loại theo những tính chất đặc trưng này.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.3. Hệ thống rời rạc

Hệ thống tĩnh và khối mạng lưới hệ thống động

Một khối mạng lưới hệ thống rời rạc được gọi là khối mạng lưới hệ thống tĩnh hay khối mạng lưới hệ thống

không nhớ nếu mẫu ở đầu ra y(n)tại thời gian nchỉ phụ thuộc mẫu

ở nguồn vào x(n)tại cùng thuở nào điểm n.

trái lại, nếu mẫu đầu ra y(n)tại thời gian nphụ thuộc vào

nhiều mẫu tại những thời gian rất khác nhau của nguồn vào x(n)thì khối mạng lưới hệ thống

được gọi là khối mạng lưới hệ thống động hoặc có nhớ.

Ví dụ 3.5 (Hệ thống tĩnh và khối mạng lưới hệ thống động)

Xét những khối mạng lưới hệ thống cho bởi những phương trình sai phân sau:

y(n)=10nx(n)(3.33)

y(n)=−7x(n)+0,2x3(n)(3.34)

y(n)=2x(n)−0,5x(n−1) (3.35)

y(n)=

k=0

x(n)(3.36)

y(n)=∞

k=0

x(n)(3.37)

Các khối mạng lưới hệ thống mô tả bởi những phương trình (3.33) và (3.34) là tĩnh và

bởi những phương trình (3.35), (3.36) và (3.37) là động. Các khối mạng lưới hệ thống

trong (3.35) và (3.36) có bộ nhớ hữu hạn và trong (3.37) có bộ nhớ vô

hạn.

Hệ thống không bao giờ thay đổi

Về mặt vật lý, khối mạng lưới hệ thống thường gặp được gọi là không bao giờ thay đổi nếu

việc quan sát khối mạng lưới hệ thống tại những thời gian rất khác nhau đều cho ra kết

quả giống nhau. Có nghĩa là nếu dùng cùng một tín hiệu kích thích

nhưng tại những thời gian rất khác nhau thì những phục vụ của khối mạng lưới hệ thống đó

là giống nhau. Xét một khối mạng lưới hệ thống Tđược kích thích bởi x(n)và có đáp

ứng

y(n)=Tx(n).(3.38)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

Giả sử kích thích lại khối mạng lưới hệ thống bởi chính tín hiệu đó nhưng đã được

dịch trễ n0bước bất kỳ thì có phục vụ là

z(n)=Tx(n−n0).(3.39)

Hệ thống này sẽ không còn bao giờ thay đổi nếu z(n)đó đó là phục vụ y(n)nhưng được

dịch trễ đúng n0bước

z(n)=y(n−n0).(3.40)

Hệ thống tuyến tính

Giáo trình này quan tâm đến một loại khối mạng lưới hệ thống có đặc tính là

tuyến tính. Loại khối mạng lưới hệ thống này thỏa mãn nhu cầu hai tính chất vật lý quan

trọng. Thứ nhất là, nếu nguồn vào của khối mạng lưới hệ thống được khuếch đại alần

thì đầu ra của khối mạng lưới hệ thống cũng khá được khuếch đại alần. Thứ hai là, nếu

nguồn vào là tổng của hai tín hiệu thì đầu ra là tổng của hai tín hiệu

đầu ra tương ứng.

Khái niệm tuyến tính này đã cho toàn bộ chúng ta biết là nếu nguồn vào của khối mạng lưới hệ thống

tuyến tính là một tổng hợp của nhiều tín hiệu thì đầu ra của nó là tổ

hợp của những đầu ra tương ứng

T(X

akxk(n))=X

akTxk(n).(3.41)

Tính chất tuyến tính đóng vai trò cực kỳ quan trọng khi xây

dựng quy mô những khối mạng lưới hệ thống. Giáo trình này quan tâm đến họ những hệ

thống vừa tuyến tính vừa không bao giờ thay đổi. Các khối mạng lưới hệ thống loại này hoàn toàn có thể được

thiết kế bởi những mạch điện tử tương tự hay rời rạc phổ cập.

Hệ thống nhân quả

Một khối mạng lưới hệ thống được gọi là nhân quả khi tín hiệu đầu ra xuất

hiện sau khi nguồn vào xuất hiện. Khái niệm nhân quả trong vật lý

vừa có tính trực giác, vừa có tính cơ bản.

Cho tín hiệu nguồn vào x(n)thỏa mãn nhu cầu

x(n)=0với mọi n

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.3. Hệ thống rời rạc

Nếu khối mạng lưới hệ thống là nhân quả thì đầu ra y(n)cũng thỏa mãn nhu cầu

y(n)=0với mọi n

Điều này đã cho toàn bộ chúng ta biết, tại thời gian quan sát hiện tại n, đầu ra y(n)chỉ

tùy từng hiện tại và quá khứ của nguồn vào, tức là x(n),x(n−1),

x(n−2), ... Hay nói cách khác, nếu y(n)tùy từng tương lai của

x(n), tức là x(n+1),x(n+2), ..., thì khối mạng lưới hệ thống không hề là một nhân quả.

Hệ thống ổn định

Đặc tính quan trọng nhất trong những đặc tính của khối mạng lưới hệ thống là ổn

định, đã được Lyapunov định nghĩa bằng toán học nhờ vào những

quan sát vật lý. Tại thời gian này, vẫn chưa tồn tại sự thống nhất về khái

niệm, tuy nhiên hoàn toàn có thể khái quát hóa như sau: Một khối mạng lưới hệ thống được

gọi là ổn định nếu ta kéo nó rời khỏi quỹ đạo hoạt động và sinh hoạt giải trí thông thường

thì tiếp theo đó thuở nào gian nó sẽ quay trở lại quỹ đạo thông thường của

nó. Như thế ta tưởng tượng được ngay, nếu khối mạng lưới hệ thống là ổn định lúc ta

kích thích nó với những tín hiệu có biên độ hữu hạn thì đầu ra cũng

sẽ có được biên độ hữu hạn.

Khái niệm ổn định này được mang tên là BIBO*. Nếu tồn lại

một số trong những nguyên dương Mxsao cho nguồn vào x(n)của một khối mạng lưới hệ thống ổn

định thỏa mãn nhu cầu

|x(n)| < Mx<∞,(3.44)

với mọi n, thì tồn tại một số trong những nguyên dương Mysao cho đầu ra y(n)

thỏa mãn nhu cầu

|y(n)| < My<∞,(3.45)

với mọi n.

3.3.3 Kết nối những khối mạng lưới hệ thống

Các khối mạng lưới hệ thống rời rạc thường được link với nhau để tạo ra

một khối mạng lưới hệ thống to nhiều hơn. Có hai cách link đơn thuần và giản dị và cơ bản nhất là

link tiếp nối đuôi nhau và link tuy nhiên tuy nhiên.

*BIBO: Bounded Input – Bounded Output.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_15” — 2012/6/11 — 17:01 — page 34 — #1

x(n)T1T2y(n)

v(n)

Hình 3.11: Kết nối tiếp nối đuôi nhau.

“./figures/SignalsSystems_16” — 2012/6/11 — 17:01 — page 34 — #1

x1(n)

x2(n)

y1(n)

y2(n)

y(n)

Hình 3.12: Kết nối tuy nhiên tuy nhiên.

Hình 3.11 mô tả quy mô link tiếp nối đuôi nhau của hai khối mạng lưới hệ thống T1

và T2. Theo đó, tín hiệu đầu ra y(n)sẽ là

y(n)=T2v(n)=T2T1x(n).(3.46)

Trong quy trình link tiếp nối đuôi nhau, vị trí của khối mạng lưới hệ thống rất quan trọng

chính bới một cách tổng quát

T2T1x(n) 6=T1T2x(n).(3.47)

Tuy nhiên, nếu T1và T2là tuyến tính và không bao giờ thay đổi thì ta hoàn toàn có thể hoán

đổi vị trí của chúng mà đầu ra của khối mạng lưới hệ thống tiếp nối đuôi nhau không thay đổi.

Kết luận này sẽ tiến hành xác lập sau khi toàn bộ chúng ta nghiên cứu và phân tích sâu

hơn về khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi ngay trong phần tiếp theo.

Hình 3.12 mô tả quy mô link tuy nhiên tuy nhiên của hai khối mạng lưới hệ thống T1

và T2. Tín hiệu đầu ra là

y(n)=y1(n)+y2(n)=T1x1(n)+T2x2(n).(3.48)

3.4 Hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Xét một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi T. Gọi h(n)là phục vụ

của khối mạng lưới hệ thống lúc được kích thích nó bởi một xung Kronecker δ(n).

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.4. Hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Lúc đó, h(n)được gọi là phục vụ xung của khối mạng lưới hệ thống. Nếu chiều dài

của chuỗi h(n)là hữu hạn thì khối mạng lưới hệ thống được gọi là khối mạng lưới hệ thống có đáp

ứng xung chiều dài hữu hạn (FIR). Trong trường hợp ngược lại,

ta gọi là khối mạng lưới hệ thống có phục vụ xung chiều dài vô hạn (IIR).

Ví dụ 3.6 (Hệ thống FIR và khối mạng lưới hệ thống IIR)

Cho những khối mạng lưới hệ thống có phục vụ xung được mô tả bằng những chuỗi số như

h1(n)=...;0,25;0,5;1

↑;0,5;0,25; ...

h2(n)=1,2;−3;...

h3(n)=1;−1;3;5

↑;0;4;1

h4(n)=1,5;0;7

Như vậy, những khối mạng lưới hệ thống có phục vụ xung h1(n)và h2(n)có số mẫu là

vô hạn, nên chúng là khối mạng lưới hệ thống IIR. Các khối mạng lưới hệ thống h3(n)và h4(n)là

IIR.

Xét một tín hiệu nguồn vào bất kỳ x(n)thay vì xung Kronecker.

Tại thời gian k, mẫu của tín hiệu x(k). Mẫu này cũng hoàn toàn có thể xem

như một xung Kronecker xuất hiện tại thời gian k, tức là δ(n−k),

với biên độ có mức giá trị bằng mẫu x(k). Ta thấy ngay x(n)hoàn toàn có thể biểu

diễn dưới dạng tổng hợp tuyến tính của những xung Kronecker như sau:

x(n)=∞

k=−∞

x(k)δ(n−k).(3.49)

Nhờ phân tích (3.49) mà ta sẽ thấy là một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính

không bao giờ thay đổi, thường được viết tắt là khối mạng lưới hệ thống LTI*, hoàn toàn được xác

định bởi phục vụ xung h(n)của nó. Hay nói cách khác, ta hoàn toàn có thể dùng

h(n)để tính đầu ra của khối mạng lưới hệ thống lúc được kích thích bởi bất kỳ tín

hiệu nào.

Thật vậy, nếu khối mạng lưới hệ thống được kích thích bởi x(n), thì nghĩa là

nó được kích thích bởi một tổng hợp tuyến tính những xung Kronecker,

*LTI: Linear-Time Invariant.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

theo (3.49). Nếu khối mạng lưới hệ thống là tuyến tính thì, theo định nghĩa, đầu ra

y(n)là tổng hợp tuyến tính của những đầu ra đã có được lúc kích thích bởi những

xung δ(n−k)với mọi k, được viết như sau

y(n)=∞

k=−∞

x(k)Tδ(n−k).(3.50)

Hơn nữa, nếu khối mạng lưới hệ thống trên cũng là không bao giờ thay đổi thì, theo định

nghĩa, phục vụ của khối mạng lưới hệ thống được kích thích bởi một xung Kronecker

xuất hiện tại thời gian k, tức là δ(n−k), sẽ là h(n−k). Như vậy, có

thể màn biểu diễn tiếp đầu ra bằng

y(n)=∞

k=−∞

x(k)h(n−k).(3.51)

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết riêng với một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi thì

mối liên hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào được màn biểu diễn một cách

tường minh với phương trình (3.51), là một biểu thức hoàn toàn được

xác lập bởi phục vụ xung h(n). Như thế, ta hoàn toàn có thể kết luận rằng, một

khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi hoàn toàn được đặc trưng hóa bởi đáp

ứng xung của nó.

Phương trình (3.51) thường được ký hiệu như sau:

y(n)=h(n)?x(n),(3.52)

trong số đó phép toán ?được gọi là tích chập*. Như vậy, đầu ra y(n)

của một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi bằng tích chập giữa phục vụ

xung h(n)và tín hiệu nguồn vào x(n).

Bằng cách đổi biến số m=n−k, phương trình (3.51) hoàn toàn có thể được

viết lại dưới dạng sau này:

y(n)=∞

m=−∞

h(m)x(n−m).(3.53)

Chú ý trong phương trình này, nếu ta thay chỉ số câm mbằng chỉ số

kmà kết quả hoàn toàn không thay đổi, nghĩa là

y(n)=∞

k=−∞

h(k)x(n−k).(3.54)

*Convolution product, còn được gọi tắt là Convolution.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.4. Hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

So sánh (3.51) và (3.54) ta thấy tích chập là khả hoán, nghĩa là

h(n)?x(n)=x(n)?h(n).(3.55)

3.4.1 Ý nghĩa của phục vụ xung và tích chập

Một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi hoàn toàn có thể là nhân quả hoặc

không. Nếu khối mạng lưới hệ thống là nhân quả thì phục vụ xung của nó chỉ xuất

hiện lúc được kích thích bởi xung Kronecker δ(n)ở nguồn vào, tức là

h(n)=0nếu n<0. Nếu phục vụ xung h(n)không thỏa mãn nhu cầu Đk

này thì khối mạng lưới hệ thống không nhân quả. Đặc biệt, nếu h(n)=0lúc n≥0

thì khối mạng lưới hệ thống được gọi là phản nhân quả. Trong trường hợp khối mạng lưới hệ thống

tuyến tính không bao giờ thay đổi nhân quả, tích chập (3.54) trở thành:

y(n)=∞

k=0

h(k)x(n−k).(3.56)

Đối với đầu ra của một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi bất kỳ,

phương trình (3.51) đã cho toàn bộ chúng ta biết đầu ra tại thời điển n0là

y(n0)=∞

k=−∞

x(k)h(n0−k).(3.57)

Trong (3.57) ta thấy chỉ số câm của tổng số là k. Như thế x(k)và

h(n0−klà tùy từng biến số k, hai chuỗi này nhân với nhau để

có một chuỗi tích tùy từng k. Cuối cùng, đầu ra y(n0)chỉ là

tổng của toàn bộ những thành phần của chuỗi tích này. Chuỗi h(n0−k)có

được bằng đổi chiều thời hạn kđể có h(−k)và tiếp theo đó dịch h(−k)đi

n0bước. Các bước tính tính chập được mô tả trong Phương pháp 3.1.

Để làm rõ hơn phương pháp tính tích chập, ta xét ví dụ sau này.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

Phương pháp 3.1 – Tính tích chập.

1. Đổi chiều thời hạn của chuỗi h(k)để sở hữu h(−k).

2. Chọn một giá trị n0sao cho sau khi dịch gốc thời hạn của chuỗi

h(−k)đi n0bước để sở hữu h(n0−k)thì h(n0−k)khởi đầu chồng lên

x(k)từ phía bên trái (tại thời gian k0nhỏ nhất mà cả mẫu x(k0)

và h(n0−k0)đều khác 0).

3. Nhân hai chuỗi x(k)và h(n0−k)để sở hữu chuỗi tích vn0(k).

4. Lấy tổng toàn bộ bộ sưu tập của vn0(k)để sở hữu mức giá mẫu đầu ra y(n0)

tại thời gian n0.

5. Dịch gốc thời hạn của h(n0−k)dần sang phía phải (tăng dần

n0) và thực thi tiến trình 3 và 4 riêng với toàn bộ n0mà x(k)và

h(n0−k)còn chồng lên nhau, để sở hữu toàn bộ những giá trị bộ sưu tập

còn sót lại của y(n).

Ví dụ 3.7 (Tính tích chập)

Xét khối mạng lưới hệ thống có phục vụ xung là

h(n)=1;−1

và tín hiệu nguồn vào là

x(n)=1;3;2.

Thực hiện bước 1, ta có chuỗi h(−k)=−1; 1

↑, như trên hình 3.13(b).

Thực hiện bước 2, ta chọn n0=0để có chuỗi h(0−k)(hình 3.13(e))

khởi đầu chồng lên chuỗi x(k)(hình 3.13(a)).

Thực hiện bước 3 để tính

y(0) =∞

k=−∞

x(k)h(0 −k)=(1)(1) =1.

Thực hiện bước 4 bằng phương pháp tăng dần n0từ 0đến 3để có những

chuỗi h(1−k),h(2−k)và h(3−k)chồng lên x(k), như những hình 3.13(f,g,h),

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.4. Hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

và tính những giá trị mẫu đầu ra tương ứng như sau:

y(1) =∞

k=−∞

x(k)h(1 −k)=(1)(−1) +(3)(1) =2,

y(2) =∞

k=−∞

x(k)h(2 −k)=(3)(−1) +(2)(1) =−1,

y(3) =∞

k=−∞

x(k)h(3 −k)=(2)(−1) =−2.

Với những giá trị n0không thuộc 0,1,2,3, những chuỗi x(k)và h(n0−k)

không chồng lên nhau, nên tích của chúng triệt tiêu, kéo theo tổng

bộ sưu tập của chuỗi tích cũng triệt tiêu, vì thế y(n0)triệt tiêu. Cuối

cùng, ta có chuỗi đầu ra của khối mạng lưới hệ thống h(n)là

y(n)=x(n)?h(n)=1;2;−1;−2,

như mô tả trong hình 3.13(d).

Hãy đưa ra công thức tổng quát của chiều dài của chuỗi đầu

ra y(n)so với chiều dài của chuỗi nguồn vào x(n)và của phục vụ xung

h(n)?

3.4.2 Đáp ứng xung của khối mạng lưới hệ thống tiếp nối đuôi nhau

Xét hai khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi mắc tiếp nối đuôi nhau hai khối mạng lưới hệ thống

T1và T2với những phục vụ xung tương ứng là h1(n)và h2(n). Bởi vì cả

T1và T2đều tuyến tính, nên khối mạng lưới hệ thống tiếp nối đuôi nhau này là tuyến tính.

Gọi h(n)là phục vụ xung của nó, ta có:

h(n)=T2T1δ(n)

=T2h(n)

=h2(n)?h1(n).(3.58)

Kết quả (3.58) đã cho toàn bộ chúng ta biết phục vụ xung của khối mạng lưới hệ thống tiếp nối đuôi nhau là tích

chập của hai phục vụ xung thành phần; vì tích chập là khả hoán, do

đó riêng với cấu trúc tiếp nối đuôi nhau, hoàn toàn có thể hoán vị vị trí hai khối mạng lưới hệ thống mà cấu

trúc không thay đổi.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_17” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

x(k)

(a) x(k)

“./figures/SignalsSystems_18” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

h(k)

−1

(b) h(k)

“./figures/SignalsSystems_19” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

h(−k)

−1

“./figures/SignalsSystems_20” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

y(n)

−1

−2

(d) y(n)

“./figures/SignalsSystems_21” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

h(0 −k)

−1

(e) n0=0

“./figures/SignalsSystems_22” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

h(1 −k)

−1

(f) n0=1

“./figures/SignalsSystems_23” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

h(2 −k)

−1

(g) n0=2

“./figures/SignalsSystems_24” — 2012/6/11 — 17:01 — page 39 — #1

h(3 −k)

−1

(h) n0=3

(i) Px(k)h(0 −k)

(j) Px(k)h(1 −k)

(k) Px(k)h(2 −k)

(l) Px(k)h(3 −k)

Hình 3.13: Tích chập.

3.4.3 Hệ thống tuyến tính ổn định

Khái niệm ổn định đã được đề cập trong phần 3.3.2. Để vận dụng

khái niệm ổn định BIBO vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi, trước tiên

ta xét mối liên hệ giữa nguồn vào và đầu ra thông qua phục vụ xung

h(n), theo (3.51), như sau:

y(n)=∞

k=−∞

h(k)x(n−k).(3.59)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.5. Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Suy ra

y(n)≤∞

k=−∞|h(k)||x(n−k)|.(3.60)

Xét trường hợp nguồn vào có biên độ hữu hạn, tức tồn tại một số trong những thực

dương Mxsao cho

|x(n)|≤Mx,−∞ < n<∞.

Theo tính ổn định BIBO của khối mạng lưới hệ thống, nếu nguồn vào x(n)có biên độ

hữu hạn thì đầu ra y(n)cũng luôn có thể có biên độ hữu hạn. Nếu tồn tại một số trong những

nguyên dương Mhữu hạn chặn trên của vế phải của (3.60), ta có

y(n)≤∞

k=−∞|h(k)||x(n−k)|≤∞

k=−∞|h(k)|Mx

Vế hai của bất đẳng thức (3.61) cho ta

∞

k=−∞|h(k)|

Mx<∞.(3.62)

Vậy, Đk đủ để khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi ổn định là

∞

k=−∞|h(k)|<∞.(3.63)

Cũng hoàn toàn có thể chứng tỏ thuận tiện và đơn thuần và giản dị rằng bất đẳng thức (3.63) là yếu tố

kiện cần cho tính ổn định của khối mạng lưới hệ thống.

3.5 Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống

tuyến tính không bao giờ thay đổi

Đối với tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống theo thời hạn liên tục, biến hóa

Laplace được cho phép biến hóa và phân tích khối mạng lưới hệ thống một cách đơn thuần và giản dị,

tránh những tính toán phức tạp trong miền thời hạn. Tương tự, đối

với một tín hiệu rời rạc, ta sẽ sử dụng biến hóa Zđể phân tích và biểu

diễn những tín hiệu cũng như những khối mạng lưới hệ thống rời rạc. Giáo trình triệu tập

vào tổng hợp và thiết kế những bộ lọc rời rạc, bộ lọc số do đó ta không

quan tâm đến phân tích và xử lý trong miền thời hạn liên tục.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

3.5.1 Biến đổi Z

Cho một tín hiệu rời rạc x(n),biến hóa Zcủa tín hiệu này, ký

hiệu là S(z)hoặc Zx(n)hoặc viết tắt là ZT*, được định nghĩa như

X(z)=∞

n=−∞

x(n)z−n.(3.64)

Biến đổi Zlà một chuỗi theo biến độc lập phức z. Hệ số của mỗi z−n

tại thời gian nlà mẫu của tín hiệu x(n)tại thời gian n. Chuỗi này

hoàn toàn có thể sẽ là một chuỗi hình thức được cho phép ta xác lập những

mẫu x(n)của tín hiệu. Tuy nhiên, khi tính toán, để sở hữu những kết quả

giải tích buộc phải có Đk quy tụ cho chuỗi, tức là tổng vô hạn

trong (3.64) có mức giá trị hữu hạn. Vùng chứa những điểm zđể X(z)quy tụ

gọi là vùng quy tụ, thường ký hiệu là ROC†.

Để làm rõ nội dung những khái niệm này, xét một số trong những ví dụ sau này.

Trước hết xem xét tính quy tụ của một tín hiệu có chiều dài hữu hạn.

Ví dụ 3.8 (Biến đổi Zcủa một tín hiệu có chiều dài hữu hạn)

Xét tín hiệu rời rạc sau

x(n)=½1,−1,0,3

↑,5,7¾.

Biến đổi Zcủa x(n)là

X(z)=z3−z2+0.z+3z0+5z−1+7z−2

=z3−z2+3+5z−1+7z−2.

Như vậy, biến hóa Zcủa một tín hiệu có chiều dài hữu hạn là

luôn luôn quy tụ.

Do tín hiệu Kronecker là quan trọng trong nghành nghề xử lý tín

hiệu số, ta xác lập biến hóa Zcủa nó như trong ví dụ tiếp theo.

*ZT: Z transform.

†ROC: Region of Convergence.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.5. Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Ví dụ 3.9 (Biến đổi Zcủa xung Kronecker)

Xét tín hiệu xung Kronecker: x(n)=δ(n). Biến đổi Zcủa nó là

X(z)=1.

Sau đây ta xem xét biến hóa Zcủa một tín hiệu nhân quả, là

một tín hiệu triệt tiêu tại những thời gian âm như ta đã biết.

Ví dụ 3.10 (Biến đổi Zcủa tín hiệu nhân quả)

Xét tín hiệu mũ sau

x(n)=(an,nếu n≥0

0,nếu n<0(3.65)

Như vậy, x(n)là tín hiệu nhân quả. Biến đổi Zcủa nó là

S(z)=1+az−1+a2z−2+···

=∞

n=0

anz−n=∞

n=0³a

z´n.

Chuỗi hình thức của X(z)hoàn toàn có thể được đơn thuần và giản dị hóa trong vùng chuỗi

này quy tụ. Ta biết rằng

∞

n=0

dn=1

1−d,với |d|< 1.

Áp dụng kết quả này ta có

X(z)=1

1−az−1,với |z|>|a|,

Nhận thấy, chuỗi hình thức của X(z)quy tụ trong vùng xác lập bởi

|z|>|a|, tức là vùng nằm ngoài vòng tròn có bán kính |a|như được

minh họa ở hình 3.14.

Như vậy, vùng quy tụ của tín hiệu nhân quả nằm ngoài vòng

tròn. Kết quả này rất tổng quát và dùng tính chất của hàm phức có

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

“./figures/SignalsSystems_29” — 2012/7/25 — 17:42 — page 47 — #1

ℜ

ℑ

ROC

|a|

Hình 3.14: Vùng quy tụ của tín hiệu nhân quả nằm ngoài vòng tròn

có bán kính |a|của mặt phẳng z.

thể chứng tỏ được thuận tiện và đơn thuần và giản dị là những tín hiệu nhân quả có vùng hội

tụ nằm ngoài một vòng tròn nào đó.

Chú ý rằng, khi a=1thì x(n)trong ví dụ trên trở thành tín

hiệu bậc thang cty u(n)và do đó biến hóa Zcủa tín hiệu bậc thang

cty là

X(z)=1

1−z−1,với |z|>1,

Vùng quy tụ của biến hóa Zcủa tín hiệu bậc thang cty này là vùng

nằm ngoài vòng tròn cty.

Ví dụ 3.11 (Biến đổi Zcủa tín hiệu phản nhân quả)

Xét tín hiệu mũ được định nghĩa như sau:

x(n)=(bn,nếu n<0

0,nếu n≥0

Tín hiệu này triệt tiêu tại những thời gian không âm nên gọi là

phản nhân quả.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.5. Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Biến đổi Zcủa nó là

X(z)=−1

n=−∞

bnz−n

=∞

n=1³z

b´n

=∞

n=0³z

b´n

−1

=− 1

1−bz−1,với |z|<|b|.

Ta thấy chuỗi hình thức của X(z)quy tụ trong vòng tròn có bán kính

là |b|, minh họa như trên hình 3.15.

“./figures/SignalsSystems_30” — 2012/7/25 — 17:42 — page 48 — #1

ℜ

ℑ

ROC

|b|

Hình 3.15: Vùng quy tụ của tín hiệu phản nhân quả nằm trong vòng

tròn có bán kính |b|của mặt phẳng z.

Như vậy, vùng quy tụ của tín hiệu phản nhân quả nằm trong

vòng tròn có bán kính |b|của mặt phẳng z. Kết quả này rất tổng

quát trong nghĩa những tín hiệu phản nhân quả đều phải có vùng quy tụ

nằm trong một vòng tròn nào đó.

Ví dụ 3.12 (Biến đổi Zcủa tín hiệu không nhân quả)

Một tín hiệu không nhân quả là một tín hiệu hiện hữu tại cả thời

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

điểm tương lai lẫn quá khứ. Xét tín hiệu không nhân quả sau này:

x(n)=(an,với n≥0

bn,với n<0

Biến đổi Zcủa x(n)được màn biểu diễn bởi chuỗi hình thức sau này:

X(z)=···+b2z2+bz +1+a z−1+a2z−2+···

=−1

n=−∞

bnz−n+∞

n=0

anz−n.

Chuỗi hình thức này hoàn toàn có thể tách thành hai chuỗi nhân quả và phản

nhân quả như sau

X(z)=− 1

1−bz−1+1

1−az−1,với |z|<|b|,|z|>|a|.

Điều kiện quy tụ của chuỗi hình thức này chỉ hiện hữu khi |a|<|b|và

như vậy vùng quy tụ của một tín hiệu không nhân quả là một vành,

như trên hình 3.16).

“./figures/SignalsSystems_31” — 2012/7/25 — 17:42 — page 49 — #1

ℜ

ℑ

ROC

|a|

|b|

Hình 3.16: Vùng quy tụ của tín hiệu không nhân quả nằm trong vành

|a|<|z|<|b|trên mặt phẳng z.

Một số biến hóa Zphổ cập được trình diễn trong bảng 3.1 và một

số tính chất quan trọng của biến hóa Zđược trình diễn trong bảng 3.2.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.5. Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Bảng 3.1: Một số biến hóa Zthông dụng.

x(n)S(z)

δ(n) 1

u(n)1

1−z−1,ROC: |z|>1

anu(n)az−1

¡1−z−1¢2,ROC: |z|>1

e−na u(n)1

1−e−1z−1,ROC: |z|>¯¯e−a¯¯

anu(n)1

1−az−1,ROC: |z|>|a|

an[1−u(n)]−1

1−az−1,ROC: |z|<|a|

sin(nω0)u(n)sin(ω0)z−1

1−2z−1cos(ω0)+z2

cos(nω0)u(n)1−cos(ω0)z−1

1−2z−1cos(ω0)+z2

Ba tính chất quan trọng nhất của biến hóa Zliên quan đến giáo trình

này là tính chất tuyến tính, dịch trễ và tích chập. Những tính chất

này đã được phân tích và chứng tỏ trong giáo trình tín hiệu và hệ

thống.

3.5.2 Biến đổi Zngược

Thao tác từ tín hiệu x(n)suy ra X(z)là biến hóa Z. trái lại,

thao tác từ X(z)suy ra x(n)được gọi là biến hóa Zngược*và được

ký hiệu toán tử là Z−1·:

x(n)=Z−1X(z).(3.66)

*Inverse Z transform.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

Bảng 3.2: Tính chất của biến hóa Z.

x(n)S(z)

a1x1(n)+a2x2(n)a1x1(z)+a2x2(z)

s(n−n0)z−n0X(z)

e−na x(n)S(eaz)

α−nx(n)S(αz)

h(n)?x(n)H(z)X(z)

Nếu biến hóa Zđược màn biểu diễn bởi chuỗi hình thức theo (3.64)

thì hiển nhiên biến hóa Zngược là hoàn toàn xác lập bởi những thông số

của chuỗi hình thức này. Tuy nhiên, trong quy trình tính toán, trong

những vùng quy tụ thì chuỗi này được màn biểu diễn bởi những hàm tường minh

như được minh họa bởi những ví dụ trước kia. Trong trường hợp những

biểu thức tường minh này ta hoàn toàn có thể dùng công thức biến hóa ngược

nhờ vào định lý Cauchy trong nghành nghề hàm phức, rõ ràng như sau:

x(n)=Z−1X(z)=1

2πjIX(z)z−ndz.(3.67)

Tuy nhiên, trong giáo trình này, những hàm tường minh của biến hóa Z

có dạng hữu tỷ theo z−1. Trong trường hợp đó, không cần dùng công

thức (3.67) để tính biến hóa ngược mà dùng trực tiếp những kết biến hóa

Zhữu dụng, như đã cho trong bảng 3.1. Khi tính biến hóa ngược theo

phương pháp này, cần để ý quan tâm đến vùng quy tụ của chuỗi, tức là vùng

trong vùng đó biểu thức tường minh của biến hóa Zmới có mức giá trị.

Ví dụ 3.13 (Tìm biến hóa Zngược từ bảng)

Tìm x(n)từ X(z)cho sau này bằng phương pháp tính biến hóa Zngược của

X(z).

X(z)=3z

z−0,5,|z|>0,5.

Từ đề bài, biết rằng vùng quy tụ của X(z)là vùng nằm ngoài

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.5. Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

vòng tròn có bán kính 0,5và như vậy x(n)là một tín hiệu nhân quả.

Đồng thời hoàn toàn có thể màn biểu diễn

X(z)=3z

z−0,5=3×1

1−0,5z−1.

Với hai thông tin này, so sánh với những kết quả biến hóa Zhữu dụng

trong bảng 3.1 hoàn toàn có thể thấy cặp sau này là thích hợp

anu(n)Z

−→ 1

1−az−1

Suy ra

1−0,5z−1

Z−1

−→ (0,5)nu(n).

Cuối cùng, vận dụng tính chất tuyến tính của biến hóa Ztrong bảng 3.2

để sở hữu

x(n)=3(0,5)nu(n).

Chú ý rằng

1−az−1=z

z−a.

Vì vậy, khi phân tích một hàm hữu tỷ thành tổng những thành phần

đơn, thay vì dùng trực tiếp X(z), phân tích X(z)/zthành những phần

đơn có dạng 1/(z−a), từ đó ra suy ra thuận tiện và đơn thuần và giản dị kết quả như sẽ tiến hành

minh họa trong ví dụ sau.

Ví dụ 3.14 (Tính biến hóa Zngược bằng phân tích thành phần đơn)

Tìm biến hóa Zngược của X(z)cho bởi

X(z)=z(z−4)

(z−1)(z−2) ,1<|z|<2.

Có thể thấy vùng quy tụ là một vành, nên tín hiệu x(n)không

nhân quả. Vì vậy, để tính biến hóa ngược, cần phân tích nó thành hai

thành phần nhân quả và phản nhân quả. Để hoàn toàn có thể dùng bảng biến

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

đổi phổ cập, trước tiên ta phân tích X(z)/zthành những thành phần đơn,

trong trường hợp này sẽ có được

X(z)

z=z−4

(z−1)(z−2) =3

z−1−2

z−2.

Suy ra

X(z)=3z

z−1−2z

z−2=31

1−z−1−21

1−2z−2.

Biết rằng, vùng quy tụ của X(z)là một trong<|z|<2nhận thấy thành phần

1/(1−z−1)có biến hóa ngược là nhân quả và thành phần 1/(1−2z−1)là

phản nhân quả. Do đó, so sánh với bảng 3.1, ta có

x(n)=3u(n)+2.2n(1−u(n)).

Trong kết quả trên, 1−u(n)=1lúc nâm và triệt tiêu lúc n≥0.

3.5.3 Biến đổi Zvà khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Biến đổi Zrất hữu ích lúc nghiên cứu và phân tích tín hiệu rời rạc và hệ

thống rời rạc, nhất là riêng với những khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

bậc hữu hạn. Đối với loại khối mạng lưới hệ thống này, như ta đã biết ở phương

trình (3.32), nguồn vào và đầu ra của khối mạng lưới hệ thống được nối kết bởi một

phương trình sai phân tuyến tính có thông số là hằng số như sau:

k=0

aky(n−k)=

k=0

bkx(n−k).(3.68)

Đáp án của phương trình này, tức là y(n), hoàn toàn có thể màn biểu diễn dưới hai

dạng rất khác nhau.

Dạng thứ nhất

y(n)=yh(n)+yp(n).(3.69)

Trong (3.74), yp(n)là một nghiệm bất kỳ thỏa mãn nhu cầu phương trình

sai phân (3.74). Nghiệm này thường được gọi là nghiệm riêng hay

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.5. Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

nghiệm đặc biệt quan trọng của phương trình sai phân. Còn yh(n)là nghiệm của

phương trình thuần nhất sau:

k=0

akyh(n−k)=0.(3.70)

Do vậy, yh(n)có dạng

yh(n)=A1rn

1+A2rn

2+···+ ANrn

N,(3.71)

trong số đó A1,A2,. . .,ANlà hằng số và r1,r2,. . .,rNlà Nnghiệm của

phương trình sau:

a0rN+a1rN−1+···+aN−1r+aN=0.(3.72)

Phương trình (3.72) được gọi là phương trình đặc trưng. Chú ý

kết quả tổng quát trong (3.71) chỉ đúng thời cơ Nnghiệm của phương

trình đặc trưng là rất khác nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp nghiệm

kép thì rn

kvẫn xuất hiện trong đáp án của khối mạng lưới hệ thống. Các thông số

A1,A2,...,ANđược xác lập bởi những Đk ban đầu y(−N),y(1 −

N),...,y(−1) của phương trình sai phân. Đáp án của khối mạng lưới hệ thống, tức

nghiệm của phương trình sai phân (3.74) hoàn toàn có thể được trình diễn dưới

một dạng có nhiều ý nghĩa vật lý hơn, như tiếp theo.

Dạng thứ hai

y(n)=yz.s(n)+yz.i(n).(3.73)

Trong (3.73), yzs(n)là nghiệm của phương trình sai phân với Nđiều

kiện ban đầu triệt tiêu; ký hiệu zs là viết tắt của “zero-state” có

nghĩa là khối mạng lưới hệ thống khởi động từ gốc. Còn yzi(n)là nghiệm của

phương trình thuần nhất được xác lập với Nđiều kiện ban đầu của

phương trình sai phân. Theo cách trình diễn này thì (3.73) là hoàn

toàn tương tự với phương trình (3.69), nhưng ý nghĩa vật lý thì

rõ ràng hơn thật nhiều. Ngoài ra, với phân tích này, cũng thấy ngay

rằng yzs(n)có tính chất tuyến tính. Nghĩa là nếu khối mạng lưới hệ thống được kích

thích bởi một tổng hợp tuyến tính những tín hiệu nguồn vào thì yzs(n)sẽ là

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

Hình 3.17: Sơ đồ khối khối mạng lưới hệ thống màn biểu diễn bằng hàm truyền khối mạng lưới hệ thống

H(z).

một tổng hợp tuyến tính của những phục vụ tương ứng với những kích thích

nguồn vào. Kết quả toán học này đã cho toàn bộ chúng ta biết phương trình sai phân (3.74)

định nghĩa cho ta một khối mạng lưới hệ thống là tuyến tính nếu những Đk ban

đầu là triệt tiêu. Trong tinh thần này, từ nay về sau, ta chỉ xét hệ

thống tuyến tính không bao giờ thay đổi được định nghĩa bởi một phương trình

sai phân tuyến tính với thông số hằng số, viết tắt là LCCDE*.

Lấy biến hóa Zhai vế của phương trình sai phân (3.74) với điều

kiện ban đầu triệt tiêu và vận dụng tính chất tuyến tính và dịch trễ

của biến hóa Z, ta có

k=0

akz−kY(z)=

k=0

bkz−kX(z),(3.74)

trong số đó X(z)và Y(z)là biến hóa Zcủa nguồn vào và đầu ra. Đặt

H(z)=Y(z)

X(z)(3.75)

và gọi H(z)là hàm truyền khối mạng lưới hệ thống. Như vậy, ta có

H(z)=b0+b1z−1+···+ bMz−M

a0+a1z−1+···+aNz−N(3.76)

và mối liên hệ giữa Y(z)và X(z)được cho bởi

Y(z)=H(z)X(z).(3.77)

Như vậy, cũng hoàn toàn có thể màn biểu diễn khối mạng lưới hệ thống bằng sơ đồ khối như trên

hình 3.17. Nếu khối mạng lưới hệ thống được kích thích bởi một xung Kronecker

x(n)=δ(n), tức là X(z)=1, ta sẽ có được đầu ra là Y(z)=H(z). Kết quả này

đã cho toàn bộ chúng ta biết hàm truyền của khối mạng lưới hệ thống là biến hóa Zcủa phục vụ xung

của khối mạng lưới hệ thống đó, tức là

H(z)=Zh(n).(3.78)

*LCCDE: Linear Constant Coefficient Difference Equation.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.5. Biến đổi Zvà vận dụng vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Tùy tính chất nhân quả, phản nhân quả hay là không nhân quả mà ta

có những Đk quy tụ rất khác nhau cho hàm H(z). Như thế, H(z)vẫn

hoàn toàn có thể màn biểu diễn cho hai khối mạng lưới hệ thống rất khác nhau, như trong ví dụ sau.

Ví dụ 3.15 (Hai khối mạng lưới hệ thống rất khác nhau nhưng có cùng biến hóa Z)

Xét khối mạng lưới hệ thống có hàm truyền sau:

H(z)=z

1−0,5z−1.

Nếu khối mạng lưới hệ thống là nhân quả thì vùng quy tụ là ngoài vòng tròn có bán

kính 0,5. Nếu khối mạng lưới hệ thống là phản nhân quả thì vùng quy tụ nằm trong

vòng tròn bán kính 0,5. Như vậy, trong trường hợp là nhân quả ta có

h(n)=3(0,5)nu(n),

và trong trường hợp phản nhân quả ta có

h(n)=−3(0,5)n[1 −u(n)].

Ngoài ra, phương trình (3.71) và phương trình (3.73) đã cho toàn bộ chúng ta biết

khối mạng lưới hệ thống nhân quả chỉ ổn định khi toàn bộ những nghiệm rkcủa khối mạng lưới hệ thống

đều phải có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. trái lại, nếu khối mạng lưới hệ thống là phản nhân

quả thì giá trị tuyệt đối này phải to nhiều hơn 1. Trong thực tiễn, tuy nhiên

vẫn quan tâm đến những khối mạng lưới hệ thống không nhân quả, nhưng phục vụ

của khối mạng lưới hệ thống thường khởi đầu tại thuở nào điểm hữu hạn −n0nào đó.

Bằng cách dịch trễ n0bước, khối mạng lưới hệ thống dịch trễ trở thành nhân quả,

do đó giáo trình này chỉ quan tâm đến khối mạng lưới hệ thống nhân quả và ổn định

mà thôi.

Với hàm truyền H(z)cho bởi (3.76), nghiệm của đa thức ở tử

số gọi là nghiệm không của hàm truyền và nghiệm của đa thức ở

mẫu số gọi là nghiệm cực của hàm truyền. Ngoài ra, nghiệm cực là

nghiệm của phương trình đặc trưng của khối mạng lưới hệ thống (3.72). Do đó, tính

ổn định của khối mạng lưới hệ thống tùy từng nghiệm cực của khối mạng lưới hệ thống, hệ

thống là ổn định khi những nghiệm cực của H(z)nằm trong vòng tròn

cty.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

3.6 Biến đổi Fourier theo thời hạn rời rạc

3.6.1 Định nghĩa biến hóa Fourier theo thời hạn rời

rạc

Phổ của một tín hiệu theo thời hạn liên tục x(t)là biến hóa

Fourier của x(t), viết tắt là FT*, được định nghĩa bằng toán học như

X(Ω)=Z∞

−∞

x(t)e−jΩtdt.

Ý nghĩa vật lý của X(Ω)đã được phân tích kỹ lưỡng trong giáo trình

tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống. Lúc x(t)được lấy mẫu bởi chuỗi xung Dirac vô

hạn ∆(t)(xem (2.2)) với chu kỳ luân hồi lấy mẫu T, ta có tín hiệu được lấy mẫu

x∆(t)=x(t)∆(t)=∞

k=−∞

x(kT)δ(t−kT ).

Lấy biến hóa Fourier của x∆(t), ta được

X∆(Ω)=∞

k=−∞

x(kT)e−jkΩt.

Nếu ta đặt ω=ΩTthì ωcó cty là radian. Gọi xd(n)=x(nT)và đặt

Xd(ω)=∞

n=−∞

xd(n)e−jnω.(3.79)

Biểu thức xác lập bởi phương trình (3.79) được gọi là biến hóa

Fourier theo thời hạn rời rạc, viết tắt là DTFT†, của tín hiệu rời

rạc xd(n). Nếu không xét tới vận tốc lấy mẫu thì ωlà một biến độc

lập, hoàn toàn có thể phân tích biến hóa Fourier này mà không cần quan tâm

đến quy trình lấy mẫu, tức là định nghĩa biến hóa Fourier này áp

dụng cho bất kể tín hiệu rời rạc nào. Nhận thấy Xd(ω)là một hàm có

chu kỳ luân hồi 2π, do e−j nω=e−jn(ω+2π). Và vì vậy khi phân tích Xd(ω)chỉ việc

nhìn vào một trong những chu kỳ luân hồi của nó mà thôi, hoàn toàn có thể là từ 0đến 2πhoặc từ −π

đến π. Đại lượng ωđược gọi là tần số số, có cty là radian.

*FT: Fourier transform.

†DTFT: Discrete-time Fourier transform.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

3.6. Biến đổi Fourier theo thời hạn rời rạc

Trong trường hợp xd(n)là một tín hiệu thực, ta có tính chất sau

Xd(−ω)=X∗

d(ω).(3.80)

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết biên độ của Xd(ω)là một hàm chẵn và pha của

nó là một hàm lẻ. Kết quả này hàm ý, toàn bộ mọi thông tin của phổ

đều chứa trong vùng tần số dương. Như vậy, riêng với một tín hiệu

xd(n)thực, khi phân tích phổ của nó chỉ việc xét từ 0đến πlà đủ.

Cuối cùng, nếu tính được Xd(ω)hoàn toàn có thể suy ra X∆(Ω)và từ đó hoàn toàn có thể

suy ra phổ của tín hiệu x(t), nếu những Đk lấy mẫu Nyquist là

thỏa mãn nhu cầu (như đã trình diễn trong chương 2).

3.6.2 Áp dụng biến hóa Fourier theo thời hạn rời rạc

vào khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi

Biến đổi Fourier đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết

khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi. Thật vậy, xét khối mạng lưới hệ thống rời rạc tuyến

tính không bao giờ thay đổi có phục vụ xung là h(n). Khi kích thích khối mạng lưới hệ thống này

với tín hiệu điều hòa phức x(n)=ejnω0, tín hiệu đầu ra của khối mạng lưới hệ thống

là tích chập của nguồn vào và phục vụ xung của nó, tức là

y(n)=∞

k=−∞

h(k)x(n−k).

Biết rằng x(n−k)=ej(n−k)ω0, ta có

y(n)="∞

k=−∞

h(k)e−jkω0#ej nω0.

Biểu thức trong dấu ngoặc vuông đó đó là biến hóa Fourier của đáp

ứng xung h(n)tính tại ω=ω0,H(ω0). Vì thế

y(n)=H(ω0)ejnω0.(3.81)

Kết quả (3.81) đã cho toàn bộ chúng ta biết, lúc ta kích thích một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính

không bao giờ thay đổi rời rạc với một tín hiệu điều hòa phức từ n=−∞ thì đầu ra

sẽ có được cùng dạng tín hiệu điều hòa ej nω0nhưng biên độ được khuếch

đại bởi thông số H(ω0), vì thế H(ω0)được gọi là độ khuếch đại phức của

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

khối mạng lưới hệ thống. Kết quả này chỉ có ý nghĩa khi H(ω0)hiện hữu. Điều này

chỉ đã có được nếu khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi rời rạc là ổn định.

Tóm lại, H(ω)là độ khuếch đại phức của khối mạng lưới hệ thống tuyến tính

không bao giờ thay đổi rời rạc. Lúc khối mạng lưới hệ thống được kích thích bởi một tín hiệu điều

hòa với tần số góc ωthì tín hiệu này sẽ tiến hành khuếch đại bởi H(ω), độ

khuếch đại này thay đổi với tần số góc ωvì vậy H(ω)cũng khá được gọi là

phục vụ tần số của khối mạng lưới hệ thống.

3.6.3 Liên hệ giữa biến hóa Zvà biến hóa Fourier

theo thời hạn rời rạc

So sánh biến hóa Z, được định nghĩa bởi (3.64), và biến hóa

Fourier theo thời hạn rời rạc, được định nghĩa bởi (3.79), của một

tín hiệu rời rạc x(n), ta thấy rằng nếu thay thế zcủa biến hóa Zbằng

ejωthì

X(ω)=X(z)|z=ejω.(3.82)

Biểu thức (3.82) thể hiện mối liên hệ ngặt nghèo giữa biến hóa Fourier

và biến hóa Z. Biến đổi Fourier chỉ hiện hữu nếu vòng quy tụ của X(z)

chứa vòng cty. Đối với một khối mạng lưới hệ thống nhân quả ổn định thì điều

kiện này luôn luôn luôn được thỏa mãn nhu cầu.

3.7 Kết luận

Chương này trình diễn tóm tắt những khái niệm và công cụ cơ

bản vận dụng vào nghành xử lý tín hiệu số. Những khái niệm quan

trọng nhất là dịch trễ tín hiệu, tính ổn định, tính nhân quả của hệ

thống tuyến tính không bao giờ thay đổi. Từ những khái niệm này, ta xây dựng

khái niệm hàm truyền khối mạng lưới hệ thống rời rạc H(z)có mối liên hệ thâm thúy

với phục vụ xung khối mạng lưới hệ thống rời rạc h(n). Khái niệm cơ bản ở đầu cuối

là phục vụ tần số H(ω)của một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi rời rạc.

Ta thấy có mối liên hệ ngặt nghèo giữa biến hóa Fourier và biến hóa Z

thông qua biến hóa z=ejω. Thiết kế một khối mạng lưới hệ thống theo tinh thần của

giáo trình này là tìm một khối mạng lưới hệ thống H(z)sao cho phục vụ tần số H(ω)

của nó thỏa mãn nhu cầu những Đk đặc tả của khối mạng lưới hệ thống thiết yếu kế.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Bài tập

Bài tập chương 3

3.1. Cho tín hiệu rời rạc x(n)=u(n−2) −u(n−3). Hãy màn biểu diễn tín

hiệu trên theo hàm δ(n). Đây có phải tín hiệu nguồn tích điện hay là không?

3.2. Cho tín hiệu rời rạc x(n)=Acos(ω0n). Tín hiệu này là tín hiệu

hiệu suất hay nguồn tích điện?

3.3. Hãy xác lập nguồn tích điện và hiệu suất trung bình của tín hiệu

nhảy bậc cty.

3.4. Hãy xác lập chu kì cơ sở của những tín hiệu sau:

a) x(n)=2cos(0,1πn)

b) x(n)=cos(0,3n)

c) x(n)=sin(0,2πn+0,25π)

d) x(n)=e0,35πn+0,2π

3.5. Hãy xác lập tính chất tuyến tính và không bao giờ thay đổi của những khối mạng lưới hệ thống

a) y(n)=nx(n)

b) y(n)=x3(n)

3.6. Hãy xác lập tính chất nhân quả của những khối mạng lưới hệ thống sau:

a) y(n)=x(n4)

b) y(n)=x(−2n)

c) y(n)=x(n)−2x(n−2)

d) y(n)=x(n)−2x(n+2)

3.7. Tìm biến hóa Zcủa những tín hiệu sau:

a) x(n)=δ(n−2)

b) x(n)=u(n)−u(n−4)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 3. Tín hiệu và khối mạng lưới hệ thống rời rạc

c) x(n)=(0,5)nu(n)

d) x(n)=(0,5)nu(n)+(0,25)n−1u(n)

3.8. Hãy tính phép tích chập x(n)=x1(n)∗x2(n)với x1(n)=δ(n−1) và

x2(n)=δ(n−1) +δ(n−2)

3.9. Cho một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi mô tả bởi phương trình

y(n)=x(n)−0.5x(n−1). Xác định y(n)nếu kích thích nguồn vào x(n)=

δ(n−1). Các Đk đầu bằng 0.

3.10. Đầu ra của một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi có dạng y(n)=

(0.5n+0.01)u(n)sẽ ổn định quanh giá trị nào?

3.11. Hệ thống có phục vụ xung h(n)=2n[u(n)−u(n−2012)] có phải

là khối mạng lưới hệ thống ổn định không? Tại sao?

3.12. Cho một khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi nhân quả có hàm truyền

H(z)=1

1−0,4z−1.

Hãy xác lập đầu ra y(n)nếu nguồn vào là x(n)=0,2n−1u(n).

3.13. Hãy xác lập biến hóa Fourier theo thời hạn rời rạc của tín

hiệu x(n)=0,5|n|.

3.14. Hãy xác lập phổ biên độ của tín hiệu x(n)=u(n)−u(n−3).

3.15. Xác định tín hiệu x(n)biết phổ của nó là

X(ω)=(1,với |ω|≤|ωc|

0,với |ω|>|ωc|

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4

CẤU TRÚC CÁC BỘ LỌC SỐ

Như đã trình làng trong phần 3.3.1 của chương 3, giáo trình này

triệu tập vào một trong những họ khối mạng lưới hệ thống tuyến tính không bao giờ thay đổi rời rạc mà được

mô tả bằng một phương trình sai phân tuyến tính có thông số là hằng

số. Chương này sẽ tìm hiểu cấu trúc của những bộ lọc số của tớ khối mạng lưới hệ thống

này, nhằm mục đích chọn được cấu trúc thích hợp để vừa tiết kiệm chi phí được nguồn

tài nguyên linh phụ kiện điện tử (số bộ dịch trễ, bộ cộng, bộ khuếch đại)

cũng như nâng cao chất lượng khi thực thi (giảm những hiện tượng kỳ lạ sai

số). Các chương tiếp theo này sẽ tìm hiểu những phương pháp thiết kế những

bộ lọc này.

4.1 Hệ thống ARMA

Nhắc lại rằng, theo biểu thức (3.32), phương trình này màn biểu diễn

quan hệ giữa nguồn vào x(n)và đầu ra y(n)như sau:

k=0

aky(n−k)=

k=0

bkx(n−k).(4.1)

Và ta đã và đang biết rằng, theo (3.76), với Đk ban đầu triệt tiêu,

phương trình (4.1) mô tả một khối mạng lưới hệ thống không bao giờ thay đổi tuyến tính có hàm

truyền H(z)được xác lập bởi

H(z)=b0+b1z−1+···+ bMz−M

a0+a1z−1+···+aNz−N.(4.2)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

Người ta thường phân loại hàm truyền tổng quát (4.2) thành ba

dạng phổ cập và quan trọng sau này. Dạng đơn thuần và giản dị nhất của H(z)

là

H(z)=b0+b1z−1+b2z−2+···+ bMz−M.(4.3)

Đáp ứng xung tương ứng là h(n)=b0,b1,b2,...,bM. Như vậy, đấy là

một khối mạng lưới hệ thống FIR và khối mạng lưới hệ thống này là nhân quả. Mối liên hệ giữa đầu

vào và đầu ra của khối mạng lưới hệ thống FIR là

y(n)=b0x(n)+b1x(n−1) +b2x(n−2) +···+ bMx(n−M).(4.4)

Tại thời gian n,y(n)là một tổng hợp tuyến tính của Mmẫu của đầu

vào, vì vậy khối mạng lưới hệ thống FIR cũng khá được gọi là khối mạng lưới hệ thống trung bình

động, hay còn gọi là khối mạng lưới hệ thống MA*. Hệ thống FIR có Mnghiệm

không và một nghiệm cực bậc Mtại gốc. Nghiệm cực tại gốc chỉ đóng

vai trò dịch trễ nên không còn tác động đến hoạt động và sinh hoạt giải trí của khối mạng lưới hệ thống,

do đó người ta không đề cập đến. Vì thế, người ta còn gọi khối mạng lưới hệ thống

FIR là một khối mạng lưới hệ thống toàn không†.

Dạng quan trọng tiếp theo của H(z)là

H(z)=b0

1+a1z−1+···+aNz−N.(4.5)

Đáp ứng xung của khối mạng lưới hệ thống này còn có chiều dài vô hạn nên đấy là hệ

thống IIR. Hệ thống này còn có Nnghiệm cực và một nghiệm không bậc

Ntại gốc. Nghiệm không tại gốc chỉ có tác động dịch lùi tín hiệu mà

không ảnh hưởng gì đến hoạt động và sinh hoạt giải trí của khối mạng lưới hệ thống, vì vậy khối mạng lưới hệ thống này

cũng khá được gọi là khối mạng lưới hệ thống toàn cực‡. Mối liên hệ giữa nguồn vào và

đầu ra của khối mạng lưới hệ thống này là

y(n)=−[a1y(n−1) +a2y(n−2) +···+aNy(n−N)]+b0x(n).(4.6)

Nhận thấy, tại thời gian n,y(n)là tổng hợp tuyến tính của Nmẫu trước

đó của nó. Vì vậy, khối mạng lưới hệ thống này cũng mang tên là khối mạng lưới hệ thống tự hồi quy

hay còn gọi là khối mạng lưới hệ thống AR§.

*Moving Average (MA) system.

†All-zero system.

‡All-pole system.

§Autoregressive (AR) system.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

4.2. Sơ đồ khối của khối mạng lưới hệ thống

Dạng tổng quát nhất của H(z)là một phân thức, như được biểu

diễn trong biểu thức (4.2). Hệ thống này vừa có cấu trúc AR, vừa có

cấu trúc MA nên nó còn được gọi là khối mạng lưới hệ thống ARMA. Hệ thống

này còn có Mnghiệm không và Nnghiệm cực.

Do những ràng buộc kỹ thuật, những khối mạng lưới hệ thống bậc hai thường được

thiết kế tương đối đúng chuẩn so với những khối mạng lưới hệ thống bậc cao hơn theo

nghĩa là tránh khỏi nhiều hiện tượng kỳ lạ sai số tính toán làm giảm chất

lượng của khối mạng lưới hệ thống toàn cục (sẽ tiến hành thảo luận ở phần 4.6). Do đó,

trong thiết kế những bộ lọc số, người ta hay phân tích hàm H(z)thành

tích của những khối mạng lưới hệ thống con như sau

H(z)=H1(z)H2(z)···HL(z),(4.7)

trong số đó những khối mạng lưới hệ thống Hi(z)có bậc tối đa là hai.

4.2 Sơ đồ khối của khối mạng lưới hệ thống

Sơ đồ khối là dùng những khối và những link để màn biểu diễn cấu trúc

của khối mạng lưới hệ thống. Trong hình 3.10 của chương 3, ta đã thấy sơ đồ khối

của một khối mạng lưới hệ thống trong số đó những đường dẫn link những khối mạng lưới hệ thống con

đơn thuần và giản dị mà ta gọi là bộ dịch trễ cty,bộ khuếch đại và bộ

cộng. Các bộ này dùng để thực thi những phép tính trong hàm truyền

khối mạng lưới hệ thống H(z), ví dụ điển hình, trong khối mạng lưới hệ thống MA, để tính những đại lượng

z−k, nhân chúng với những thông số bkđể được bkz−kvà ở đầu cuối là cộng

những kết quả này với nhau để được b0+b1z−1+···+bMz−M. Phép chia,

như trong khối mạng lưới hệ thống AR hay ARMA, sẽ tiến hành thực thi gián tiếp từ

cách tạo những đường dẫn đệ quy (recursive/feedback) trong sơ đồ hệ

thống.

Bộ dịch trễ cty dùng để thực thi thao tác dịch gốc thời hạn

tín hiệu x(n)trễ đi n0=1một bước để được tín hiệu x(n−1), theo công

thức (3.21). Nếu X(z)là biến hóa Zcủa s(n), theo tính chất của biến

đổi Ztrong bảng (3.2), ta có biến hóa Zcủa s(n−1) là

Zx(n−1)=z−1X(z).(4.8)

Hệ thống được mô tả bằng z−1chính là bộ dịch trễ cty và được

màn biểu diễn như trên hình 4.1(a). Trong thực tiễn thiết kế, nếu một tín

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

“./figures/Structures_0” — 2012/6/11 — 19:05 — page 64 — #1

x(n)z−1x(n−1)

(a) Bộ dịch trễ cty

“./figures/Structures_1” — 2012/6/11 — 19:05 — page 64 — #1

x(n)ax(n)

(b) Bộ khuếch đại

“./figures/Structures_2” — 2012/6/11 — 19:05 — page 64 — #1

x1(n)

x2(n)

x1(n)+x2(n)

Hình 4.1: Hình minh họa những bộ dịch trễ cty, bô khuếch đại và bộ

cộng được sử dụng trong sơ đồ khối khối mạng lưới hệ thống.

hiệu được dịch đi n0bước, tức là mô tả bởi z−n0, thì người ta sử dụng

n0bộ dịch trễ cty được ghép tiếp nối đuôi nhau với nhau.

Bộ khuếch đại thực thi thao tác khuếch đại tín hiệu theo công

thức (3.28). Theo tính chất tuyến tính, biến hóa Zcủa as(n), trong số đó

thông số alà một hằng số, là

Zax(n)=a X (z).(4.9)

Thông thường, để đơn thuần và giản dị hóa sơ đồ khối mạng lưới hệ thống, bộ khuếch đại được

trực tiếp ký hiệu trên đường dẫn, như trên hình 4.1(b).

Bộ cộng thực thi thao tác cộng những tín hiệu với nhau, như theo

công thức (3.29). Do biến hóa Zcũng có tính tuyến tính nên bộ và

được mô tả như trên hình 4.1(c).

Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống hoàn toàn có thể đơn thuần và giản dị hơn thế nữa nếu ta tưởng tượng sơ đồ

khối mạng lưới hệ thống được sử dụng để màn biểu diễn hàm truyền bằng phương pháp thay thế những

bộ dịch trễ cty, bộ khuếch đại và bộ cộng như trên hình 4.1 bởi

những đồ thị được minh họa trên hình 4.2. Đồ thị loại này mang tên là đồ

thị dòng chảy*.

*Flow graph.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

4.3. Dạng trực tiếp của khối mạng lưới hệ thống ARMA

“./figures/Structures_3” — 2012/7/25 — 18:00 — page 12 — #1

x(n)x(n−1)

z−1

(a) Bộ dịch trễ cty

“./figures/Structures_4” — 2012/7/25 — 18:00 — page 12 — #1

x(n)ax(n)

(b) Bộ khuếch đại

“./figures/Structures_5” — 2012/7/25 — 18:00 — page 12 — #1

x1(n)

x2(n)

x1(n)+x2(n)

Hình 4.2: Hình minh họa những bộ dịch trễ cty, bộ khuếch đại và bộ

cộng trong sơ đồ dòng chảy tín hiệu.

Phần tiếp theo sẽ trình diễn rõ ràng cách xây dựng những cấu trúc

khối mạng lưới hệ thống thông dụng. Một ví dụ hàm truyền của một khối mạng lưới hệ thống ARMA

sau này sẽ tiến hành dùng để minh họa toàn bộ những khái niệm về cấu trúc

của khối mạng lưới hệ thống những phần tiếp theo:

H(z)=0,0095 +0,0380z−1+0,0570z−2+0,0380z−3+0,0095z−4

1−2,2870z−1+2,5479z−2−1,4656z−3+0,3696z−4.(4.10)

4.3 Dạng trực tiếp của khối mạng lưới hệ thống ARMA

4.3.1 Dạng trực tiếp I

Đặt

v(n)=0,0095x(n)+0,0380x(n−1) +

0,0570x(n−2) +0,0380x(n−3) +0,0095x(n−4).(4.11)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

Có thể viết lại đầu ra y(n)của hàm truyền khối mạng lưới hệ thống ARMA cho

bởi (4.10) như sau:

y(n)=2,2870y(n−1) −2,5479y(n−2) +

1,4656y(n−3) −0,3696y(n−4) +v(n),(4.12)

Gọi H1(z)là khối mạng lưới hệ thống được màn biểu diễn bởi phương trình sai phân (4.11)

với nguồn vào x(n)và đầu ra v(n). Gọi H2(z)là khối mạng lưới hệ thống được màn biểu diễn

bởi (4.12) với nguồn vào v(n)và đầu ra y(n). Như vậy, phục vụ của hệ

thống khối mạng lưới hệ thống toàn cục H(z)đó đó là mắc chồng tầng (link nối

tiếp) của H1(z)và H2(z), như mô tả trên hình 4.3.

Hình 4.3: Biểu diễn mắc chồng tầng của khối mạng lưới hệ thống ARMA.

Dùng những bộ dịch trễ cty, khuếch đại và bộ cộng, hoàn toàn có thể xây

dựng sơ đồ khối mạng lưới hệ thống của H1(z),H2(z)và ghép nối chúng để được H(z)

như trên hình 4.4.

Do tính chất cộng của sơ đồ dòng chảy, hoàn toàn có thể tích hợp hai cấu

trúc thực thi H1(z)và H2(z)thành một cấu trúc chung như ở hình 4.5.

Cấu trúc này được gọi là cấu trúc dạng trực tiếp I. Tên cấu trúc

trực dạng tiếp I suy ra từ cách ghép hai cấu trúc ở hình 4.4 một cách

trực tiếp.

4.3.2 Dạng trực tiếp II

Xét hình 4.4, do H1(z)và H2(z)là hai khối mạng lưới hệ thống tuyến tính bất

biến nên ta hoàn toàn có thể hoán vị chúng mà mối liên hệ giữa nguồn vào và đầu

ra không thay đổi, tức là H(z)không thay đổi, như ở hình 4.6. Ghép

chung cấu trúc H2(z)và H1(z)sau khi hoán vị cho kết quả được minh

họa ở hình 4.7. Cấu trúc này được gọi là dạng trực tiếp II hay dạng

trực tiếp chuyển vị.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

4.4. Dạng tiếp nối đuôi nhau và tuy nhiên tuy nhiên của khối mạng lưới hệ thống ARMA

“./figures/Structures_7” — 2012/6/11 — 16:51 — page 66 — #1

H1(z)H2(z)

z−1z−1

x(n)y(n)

0,0095 v(n)

0,0380 2,287

0,0570 −2,5479

0,0380 1,465

0,0095 −0,3696

Hình 4.4: Thực thi cấu trúc khối mạng lưới hệ thống mắc chồng tầng.

4.4 Dạng tiếp nối đuôi nhau và tuy nhiên tuy nhiên của khối mạng lưới hệ thống

ARMA

4.4.1 Dạng tiếp nối đuôi nhau

Hàm truyền H(z)để xây dựng cấu trúc tiếp nối đuôi nhau cần phải phân

tích thành tích của nhiều thành phần đơn (bậc một hoặc bậc hai).

Với hàm truyền như đã cho trong phương trình (4.10), hoàn toàn có thể thuận tiện và đơn thuần và giản dị

thấy

H(z)=0,0095H3(z)H4(z)(4.13)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

“./figures/Structures_8” — 2012/6/2 — 16:40 — page 10 — #1

z−1z−1

x(n)y(n)

0,0095

0,0380 2,287

0,0570 −2,5479

0,0380 1,465

0,0095 −0,3696

Hình 4.5: Cấu trúc trực tiếp I.

với

H3(z)=1+2z−1+z−2

1−1,0328z−1+0,7766z−2(4.14)

H4(z)=1+2z−1+z−2

1−1,2542z−1+0,4759z−2(4.15)

Cấu trúc tiếp nối đuôi nhau để thực thi khối mạng lưới hệ thống này được minh họa như hình

4.8. Để đơn thuần và giản dị hóa cấu trúc thực thi ở hình 4.8, cũng hoàn toàn có thể dùng

cấu trúc dạng trực tiếp I và II cho H3và H4như đã mô tả ở hình 4.5

và hình 4.7.

4.4.2 Dạng tuy nhiên tuy nhiên

Để xây dựng sơ đồ tuy nhiên tuy nhiên, cần phân tích hàm truyền thành

tổng của những thành phần đơn. Với hàm truyền như đã cho trong

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

4.4. Dạng tiếp nối đuôi nhau và tuy nhiên tuy nhiên của khối mạng lưới hệ thống ARMA

“./figures/Structures_9” — 2012/6/11 — 16:50 — page 66 — #1

H2(z)H1(z)

z−1z−1

x(n)y(n)

0,0095

v(n)

0,03802,287

0,0570−2,5479

0,03801,465

0,0095−0,3696

Hình 4.6: Hoán vị hai cấu trúc H1(z)và H2(z).

phương trình (4.10), sử dụng phương pháp phân tích thành phần

đơn để sở hữu

H(z)=k+H5(z)+H6(z)(4.16)

với

k=0,0257 (4.17)

H5(z)=−0,1171 −0,1118z−1

1−1,0328z−1+0,7767z−2(4.18)

H6(z)=0,1009 +0,1059z−1

1−1,2542z−1+0,4759z−2.(4.19)

Cấu trúc tuy nhiên tuy nhiên được mô tả như ở hình 4.10. Trong số đó, ta hoàn toàn có thể

sử dụng cấu trúc trực tiếp dạng I hoặc dạng II để xây dựng H5(z)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

“./figures/Structures_10” — 2012/6/2 — 16:45 — page 10 — #1

z−1

x(n)y(n)

0,0095

0,03802,287

0,0570−2,5479

0,03801,465

0,0095−0,3696

Hình 4.7: Cấu trúc trực tiếp II (cấu trúc trực tiếp chuyển vị).

“./figures/Structures_11” — 2012/6/11 — 16:53 — page 67 — #1

x(n)H3(z)H4(z)y(n)

w(n)

0,095

Hình 4.8: Cấu trúc tiếp nối đuôi nhau.

và H6(z). Chú ý rằng, trong những phương trình (4.18) và (4.19), tử số

của hai hàm H5(z)và H6(z)có bậc nhỏ hơn mẫu số. Phân tích theo

phương trình (4.16) cho ta đáp án duy nhất. Tuy nhiên, nếu ta muốn

sử dụng những hàm truyền bậc hai có tử số cũng là bậc hai thì phân tích

này cho ta vô số nghiệm. Thật vậy, ta chỉ việc chia klàm hai thành

phần bất kỳ để gán và H5(z)và H6(z)để sở hữu kết quả như vừa đề cập.

Dạng tiếp nối đuôi nhau và tuy nhiên tuy nhiên hoàn toàn có thể phối hợp trong một cấu trúc

chung, cấu trúc phối hợp này được gọi là cấu trúc hỗn hợp.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

4.5. Dạng chéo của khối mạng lưới hệ thống MA có thông số đối xứng

“./figures/Structures_12” — 2012/6/2 — 16:45 — page 11 — #1

z−1z−1

x(n)y(n)

0,0095

1,0328

−1

−0,7766

1,2542

−1

−0,4759

Hình 4.9: Thực thi cấu trúc trực tiếp.

“./figures/Structures_13” — 2012/6/11 — 16:54 — page 68 — #1

x(n)H5(z)

H6(z)

y(n)

Hình 4.10: Ghép nối tuy nhiên tuy nhiên

4.5 Dạng chéo của khối mạng lưới hệ thống MA có thông số đối

xứng

Như đã trình diễn trong phần 4.1, khối mạng lưới hệ thống MA có phục vụ xung

hữu hạn được mô tả bởi phương trình nối kết nguồn vào và đầu ra có

dạng sau:

y(n)=b0x(n)+b1x(n−1) +b2x(n−2) +. . . +bMx(n−M).(4.20)

Hàm truyền H(z)của khối mạng lưới hệ thống này là

H(z)=b0+b1z−1+. . . +bMz−M.(4.21)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

Đáp ứng xung h(n)tương ứng là

h(k)=(bk,nếu 0≤k≤M

0,nếu kkhác (4.22)

Đối với hàm truyền này, hoàn toàn có thể dùng sơ đồ khối dạng tiếp nối đuôi nhau

để màn biểu diễn nó mà không còn sơ đồ tuy nhiên tuy nhiên tương ứng. Tuy nhiên,

trong trường hợp đặc biệt quan trọng khi phục vụ xung h(n)có tính đối xứng

được định nghĩa như sau

h(k)=h(M−k),k=0,...,M,(4.23)

ta hoàn toàn có thể sử dụng những cấu trúc thang chéo đặc biệt quan trọng.

Trong trường hợp Mchẵn, ta có

hµM

2−k¶=hµM

2+k¶,k=0,..., M

2.(4.24)

Sơ đồ khối thang chéo tương ứng được minh họa ở hình 4.11.

“./figures/Structures_14” — 2012/6/2 — 16:32 — page 13 — #1

x(n)

y(n)

z−1z−1z−1z−1

z−1

h(0) h(1) h(2) h(M/2 −1) h(M/2)

Hình 4.11: Cấu trúc khối thang chéo.

Trong trường hợp Mlẻ, tính đối xứng của phục vụ xung được

màn biểu diễn như sau:

hµM−1

2−k¶=hµM+1

2+k¶,k=0,..., M−1

2.(4.25)

Cấu trúc thang chéo tương ứng được minh họa ở hình 4.12.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

4.5. Dạng chéo của khối mạng lưới hệ thống MA có thông số đối xứng

“./figures/Structures_15” — 2012/6/2 — 16:32 — page 13 — #1

x(n)

y(n)

z−1z−1z−1

z−1

h(0) h(1) h(2) h((M−1)/2)

z−1

Hình 4.12: Cấu trúc thang chéo trong trường hợp Mlẻ.

Ví dụ 4.1 (Hệ thống MA có thông số đối xứng và bậc chẵn)

Xét một khối mạng lưới hệ thống MA có hàm truyền như sau:

H(z)=4+3z−1+2z−2+3z−3+4z−4.

Đây là một hàm truyền thuộc loại FIR bậc 4có những thông số đối

xứng

h(0) =h(4) =4

h(1) =h(3) =3

h(2) =2

Do đó, hoàn toàn có thể mô tả khối mạng lưới hệ thống bằng sơ đồ thang chéo, như trên hình 4.13.

Ví dụ 4.2 (Hệ thống MA có thông số đối xứng và bậc lẻ)

Xét khối mạng lưới hệ thống được cho bởi hàm truyền H(z)

H(z)=3+2z−1+2z−2+3z−3.

Rõ ràng, khối mạng lưới hệ thống này là đối xứng và có bậc lẻ. Do đó, ta có cấu trúc

thang chéo tương ứng được minh họa ở hình 4.14.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

“./figures/Structures_16” — 2012/6/2 — 16:33 — page 14 — #1

x(n)

y(n)

z−1z−1

z−1

432

Hình 4.13: Cấu trúc thang chéo [Ví dụ 4.1].

“./figures/Structures_17” — 2012/6/2 — 16:33 — page 14 — #1

x(n)

y(n)

z−1

Hình 4.14: Cấu trúc thang chéo [Ví dụ 4.2].

4.6 Ảnh hưởng của lượng tử hóa thông số

Để sử dụng những thiết bị xử lý tín hiệu số, cần lượng tử hóa tất

cả những số liệu, gồm bộ sưu tập tín hiệu cũng như những thông số của cục lọc.

Thao tác lượng tử hóa này là nguồn gốc của ba loại sai số rất khác nhau.

Loại thứ nhất là sai số do xấp xỉ trong quy trình lượng tử hóa

bộ sưu tập của tín hiệu. Sai số này thường được gọi là sai số lượng

tử*.

*Quantization error.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

4.6. Ảnh hưởng của lượng tử hóa thông số

Loại thứ hai xuất hiện khi ghi những thông số của cục lọc vào những thanh

ghi có chiều dài hữu hạn của thiết bị số hóa (hoàn toàn có thể là một bộ vi xử lý

hay một máy tính PC). Hai loại sai số này còn có cùng bản chất là sai số

làm tròn, được tích lũy bởi những tính toán thực thi thông qua bộ toán

tử số học*. Ảnh hưởng của sai số này tăng nhanh theo vận tốc lấy

mẫu và bậc của hàm truyền, tức là bậc của phương trình sai phân.

Loại thứ ba là sai số tích lũy, xuất hiện sau những phép cộng và

phép nhân lúc kết quả vượt qua số bit của thanh ghi do số bit sử

dụng được nhỏ hơn số bit thiết yếu. Có một số trong những ảnh hưởng hơi bất

thường hoàn toàn có thể xuất hiện vì loại sai số làm tròn này như lúc bộ lọc

được kích thích bởi một nguồn vào hằng số và đầu ra sẽ bị khóa vào

một mức cố định và thắt chặt, hoặc đầu ra có xấp xỉ nhỏ xung quanh giá trị

của nó.

Trong quá nhiều trường hợp thì sai số lượng tử hoàn toàn được

xác lập trong quy trình thiết kế. Đối với sai số làm tròn, người ta

đã chứng tỏ rằng, nếu khối mạng lưới hệ thống bậc cao được màn biểu diễn bởi những

khối mạng lưới hệ thống bậc thấp hơn, dưới dạng tiếp nối đuôi nhau hoặc tuy nhiên tuy nhiên, thì ảnh

hưởng của nó được tối thiểu hóa một cách đáng ngạc nhiên. Kết quả

này đã cho toàn bộ chúng ta biết, ta phải rất thận trọng lúc sử dụng dạng trực tiếp I hoặc

trực tiếp II vì riêng với những khối mạng lưới hệ thống bậc cao hơn hai, cần phân tích kỹ

lưỡng ảnh hưởng của thao tác lượng tử hóa những thông số những bộ lọc của

khối mạng lưới hệ thống.

*Arithmetic unit.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

Bài tập chương 4

4.1. Hãy xác lập hàm truyền H(z)của khối mạng lưới hệ thống được thực thi như

trên hình 4.15.

“./figures/Structures_18” — 2012/6/3 — 11:34 — page 70 — #1

x(n)z−1−1

y(n)

Hình 4.15: Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống [Bài tập 4.1].

4.2. Cho một khối mạng lưới hệ thống nhân quả có phương trình sai phân như sau:

y(n)=0,7y(n−1) −0,1y(n−2) +x(n)+0,25x(n−1).

a) Hãy xác lập cấu trúc thực thi trực tiếp I và II của khối mạng lưới hệ thống này.

b) Hãy phác họa phục vụ biên độ tần số của khối mạng lưới hệ thống.

4.3. Cho một khối mạng lưới hệ thống nhân quả có hàm truyền như sau:

H(z)=3+1,5z−1+0,5z−2

2+3,5z−1+2,5z−2+4z−4.

a) Hãy xác lập cấu trúc thực thi trực tiếp I và II của khối mạng lưới hệ thống này.

b) Hệ thống trên có ổn định không? Vì sao?

4.4. Cho một khối mạng lưới hệ thống LTI nhân quả có nguồn vào là

x(n)=(0,25)nu(n)+(0,25)n+1u(n−1)

và đầu ra là

y(n)=µ1

3¶n

u(n).

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Bài tập

a) Hãy xác lập cấu trúc thực thi trực tiếp I và II của khối mạng lưới hệ thống này.

b) Hãy xác lập phục vụ tần số biên độ và phục vụ tần số pha của

bộ lọc này.

4.5. Cho một khối mạng lưới hệ thống có cấu trúc thực thi trực tiếp II như trên

hình 4.16.

“./figures/Structures_19” — 2012/7/25 — 18:08 — page 20 — #1

z−1

x(n)y(n)

2−2

Hình 4.16: Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống [Bài tập 4.5].

a) Hãy xác lập hàm truyền H(z)của khối mạng lưới hệ thống.

b) Hãy xác lập phục vụ xung h(n)của khối mạng lưới hệ thống.

c) Biểu diễn khối mạng lưới hệ thống theo cấu trúc tuy nhiên tuy nhiên và tiếp nối đuôi nhau.

4.6. Cho một khối mạng lưới hệ thống LTI có giản đồ nghiệm cực – nghiệm không

như trên hình 4.17.

a) Hãy xác lập hàm truyền của khối mạng lưới hệ thống này.

b) Hãy xác lập cấu trúc thực thi trực tiếp I và II của khối mạng lưới hệ thống.

c) Tìm phục vụ xung của khối mạng lưới hệ thống.

4.7. Cho một khối mạng lưới hệ thống nhân quả có hàm truyền như sau:

H(z)=3+1,5z−1+0,5z−2

1+4z−1+9z−2+16z−4.

a) Hãy xác lập cấu trúc thực thi kiểu tuy nhiên tuy nhiên và tiếp nối đuôi nhau của hệ

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 4. Cấu trúc những bộ lọc số

“./figures/Structures_20” — 2012/7/25 — 18:08 — page 21 — #1

ℜ

ℑ

−2 1

0,5

−0,5

Hình 4.17: Giản đồ nghiệm cực – nghiệm không [Bài tập 4.6].

thống này.

b) Hệ thống trên có ổn định không? Vì sao?

c) Vẽ giản đồ điểm cực điểm không của khối mạng lưới hệ thống trên.

d) Xác định phục vụ xung cty của khối mạng lưới hệ thống.

4.8. Cho một khối mạng lưới hệ thống nhân quả có hàm truyền như sau:

y(n)+0,5y(n−1) +2y(n−2) =2x(n)+3x(n−1) +2x(n−2)

a) Hãy xác lập cấu trúc thực thi kiểu tiếp nối đuôi nhau và tuy nhiên tuy nhiên của hệ

thống này.

b) Hệ thống trên có ổn định không? Vì sao?

c) Vẽ giản đồ điểm cực điểm không của khối mạng lưới hệ thống trên

d) Xác định phục vụ xung cty của khối mạng lưới hệ thống.

4.9. Cho một khối mạng lưới hệ thống FIR có hàm truyền

H(z)=4+3z−1+2z−2+3z−3+4z−4.

a) Hãy xác lập cấu trúc thực thi trực tiếp và thang chéo của hệ

thống này.

b) Hãy xác lập phục vụ tần số biên độ của cục lọc này. Đây là bộ lọc

loại gì (thông thấp, thông cao,...)?

c) Vẽ phục vụ tần số pha của cục lọc này.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ IIR

Thiết kế một bộ lọc số là xây dựng một hàm truyền của một hệ

thống tuyến tính không bao giờ thay đổi rời rạc thế nào để nó phục vụ những điều

kiện của bài toán thiết kế nêu lên. Hàm truyền này phải là nhân quả

và ổn định, tức là những nghiệm cực của hàm truyền phải nằm trong

vòng tròn cty và phục vụ xung của nó phải khởi đầu từ thuở nào

điểm hữu hạn*.

Trong quy trình thiết kế những bộ lọc số IIR, người ta sử dụng những

bộ lọc tương tự đã biết để thiết kế những bộ lọc số có đặc tả thiết yếu kế

là tương tự. Việc vận dụng kiến thức và kỹ năng lọc tương tự là vì lọc tương

tự được nghiên cứu và phân tích rất kỹ lưỡng trước kia. Mục 5.1 trình diễn phương

pháp thiết kế bộ lọc tương tự để phục vụ cho thiết kế những bộ lọc số

IIR trong những mục tiếp theo. Giáo trình này chỉ đề cập đến hai họ bộ

lọc tương tự phổ cập là Butterworth và Chebyshev.

Có hai phương pháp thiết kế bộ lọc số nhờ vào bộ lọc tương tự.

Phương pháp thứ nhất thiết kế một khối mạng lưới hệ thống rời rạc sao cho phục vụ

khối mạng lưới hệ thống (phục vụ xung hoặc phục vụ bậc thang cty) giống với

phục vụ của cục lọc tương tự tương ứng. Cụ thể: lấy mẫu phục vụ

xung hoặc phục vụ bậc thang cty của cục lọc tương tự và từ đó suy

*Ta đã biết rằng khối mạng lưới hệ thống là nhân quả nếu phục vụ xung h(n)của nó triệt tiêu tại những

thời gian n<0. Tuy nhiên, trong thiết kế lọc số, nếu h(n)triệt tiêu tải những điểm n< −n0,

với n0là một số trong những hữu hạn dương, thì ta thuận tiện và đơn thuần và giản dị thiết kế bộ dịch trễ n0bước để dịch h(n)

thành h(n−n0)và lúc đó h(n−n0)là nhân quả. Vì thế, Đk h(n)khởi đầu tại một

điểm hữu hạn là đủ.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

ra hàm truyền của cục lọc số. Nội dung của phương pháp này được

trình diễn trong Mục 5.2.

Phương pháp thứ hai thiết kế một khối mạng lưới hệ thống rời rạc sao cho đáp

ứng tần số của khối mạng lưới hệ thống giống với phục vụ tần số của khối mạng lưới hệ thống tương

tự tương ứng. Để làm điều này, cần tìm một phép biến hóa từ miền

biến hóa Laplace sang miền biến hóa Zthế nào để tính chất của đáp

ứng tần số được bảo toàn. Phương pháp này sẽ tiến hành trình diễn trong

Mục 5.3.

Hai phương pháp thiết kế nêu trên đều đã cho toàn bộ chúng ta biết hàm truyền

của cục lọc số có chứa thành phần được mô tả theo quy mô khối mạng lưới hệ thống

ARMA (xem Mục 4.1) sau

H(z)=b0+b1z−1+···+ bMz−M

a0+a1z−1+···+aNz−N,(5.1)

tức là dạng hữu tỷ trong số đó mẫu số có bậc N≥1và N>M. Do đó, những

bộ lọc số này còn có chiều dài là vô hạn. Vì vậy, những phương pháp thiết kế

trong chương này được gọi chung là thiết kế bộ lọc số IIR.

Nói chung, phương pháp thiết kế theo phía dùng bộ lọc tương

tự thường khởi đầu bởi những bộ lọc thông thấp và từ đó dùng những

phép biến hóa để sở hữu những bộ lọc thông dải, triệt tần và thông cao. Các

phương pháp thiết kế những bộ lọc thông dải, triệt dải và thông cao được

trình diễn trong Mục 5.4, Mục 5.5 và Mục 5.6.

5.1 Lọc tương tự

Mục này trình làng một cách cô đọng khái niệm bộ lọc tương

tự và hai loại bộ lọc phổ cập, Butterworth và Chebyshev, đã được

nghiên cứu và phân tích kỹ lưỡng suốt thế kỷ hai mươi.

Cho một khối mạng lưới hệ thống tương tự tuyến tính không bao giờ thay đổi nhân quả có đầu

vào là x(t)và đầu ra là y(t). Gọi X(s)và Y(s)là biến hóa Laplace*

*Biến đổi Laplace của hàm f(t)được định nghĩa là:

F(s)=Z∞

−∞

f(t)e−st d t,

trong số đó slà biến phức. Mặt phẳng phức scòn được gọi là miền Laplace.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

của x(t)và y(t). Gọi h(t)là phục vụ xung của khối mạng lưới hệ thống này, và H(s)là

biến hóa Laplace của h(t).H(s)được gọi là hàm truyền của khối mạng lưới hệ thống

tương tự. Vì h(t)là nhân quả nên ta có

H(s)=Z∞

h(t)e−st d t.

Đầu vào và đầu ra của khối mạng lưới hệ thống liên hệ với nhau trong miền thời

gian thông qua tích chập

y(t)=Z∞

h(τ)x(t−τ)dτ,(5.2)

hay trong miền Laplace thông qua tích trực tiếp

Y(s)=H(s)X(s).(5.3)

Tất cả những tính chất quan trọng của khối mạng lưới hệ thống như không bao giờ thay đổi, nhân quả

và ổn định đều được tiềm ẩn trong H(s). Trong thực tiễn, khối mạng lưới hệ thống

phải ổn định. Khi đó, theo biểu thức (5.2), kích thích khối mạng lưới hệ thống bởi tín

hiệu điều hòa ejΩtsẽ cho đầu ra

y(t)=H(Ω)ejΩt,(5.4)

trong số đó

H(Ω)=H(s)|s=jΩ.(5.5)

Phương trình (5.5) đã cho toàn bộ chúng ta biết H(Ω)là biến hóa Fourier của h(t)(xem

định nghĩa trong công thức (2.1)) và lúc khối mạng lưới hệ thống ổn định ta hoàn toàn có thể

suy được H(Ω)từ hàm truyền H(s)bằng phương pháp thế sbằng jΩ. Phương

trình (5.4) đã cho toàn bộ chúng ta biết lúc khối mạng lưới hệ thống được kích thích bởi một tín hiệu

điều hòa (ejΩt) thì khối mạng lưới hệ thống ứng xử như một bộ khuếch đại với thông số

khuếch đại là H(Ω), vì thế H(Ω)được gọi là phục vụ tần số của hệ

thống.

Tổng quát hơn thế, lấy biến hóa Fourier hai vế của tích chập (5.2),

ta có

Y(Ω)=H(Ω)X(Ω).(5.6)

Phương trình (5.6) đã cho toàn bộ chúng ta biết phục vụ tần số là độ khuếch đại trong

miền tần số của khối mạng lưới hệ thống. Phổ đầu ra Y(Ω)bằng phổ nguồn vào X(Ω)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

khuếch đại bởi H(Ω). Gọi |H(Ω)|và Φ(Ω)là biên độ và pha của H(Ω).

Như thế, tại tần số Ω, biên X(Ω)được khuếch đại bởi |H(Ω)|và lệch

pha đi Φ(Ω). Như vậy, nếu khối mạng lưới hệ thống là một bộ lọc thì |H(Ω)|làm méo

biên độ của phổ và Φ(Ω)làm méo pha của phổ tín hiệu nguồn vào X(Ω).

Một bộ lọc không làm méo tín hiệu nếu nguồn vào và đầu ra liên

quan với nhau theo biểu thức sau này:

y(t)=kx(t−T0),(5.7)

với T0là một giá trị thời hạn làm trễ nào đó. Hình 5.1 mô tả tín

hiệu nguồn vào và đầu ra của một bộ lọc không làm méo. Tức là tín

“./figures/IIRnew_0” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1

x(t)

(a) Đầu vào

“./figures/IIRnew_1” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1

y(t)

(b) Đầu ra

Hình 5.1: Đầu vào và đầu ra của một khối mạng lưới hệ thống không làm méo.

hiệu được khuếch đại bởi một hằng số kvà dịch trễ bởi hằng số T0.

Trong miền tần số, mối liên hệ giữa phổ nguồn vào và phổ đầu ra được

cho bởi

Y(Ω)=ke−jΩT0X(Ω).(5.8)

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

So sánh (5.6) và (5.8) cho ta hàm truyền cho bộ lọc không làm méo

này

H(Ω)=ke−jΩT0.

Do đó, biên độ và pha của hàm truyền là

|H(Ω)|=k(5.9)

Φ(Ω)=−ΩT0(5.10)

Một bộ lọc không làm méo tín hiệu được gọi là bộ lọc lý tưởng. Như

vậy, theo (5.9) và (5.10), một bộ lọc lý tưởng có biên độ phục vụ tần

số là hằng số và có pha tuyến tính, như mô tả ở hình 5.2.

Khi thiết kế bộ lọc, phục vụ tần số biên độ không đổi và đáp

ứng tần số pha tuyến tính là những đặc tính mà toàn bộ chúng ta nỗ lực

đạt được trong dải thông tần*, hay gọi tắt là dải thông, của tín hiệu.

Ngoài ra, trong dải triệt tần†, hay gọi tắt là dải triệt, phục vụ tần

số của cục lọc rất nhỏ cho nên vì thế ta không cần quan tâm đến những đặc

tính lý tưởng này. Trong thực tiễn, lúc thiết kế bộ lọc, miền tần số

được phân phân thành nhiều dải rất khác nhau. Để hoàn toàn có thể thiết kế được

những bộ lọc điện tử, thông thường ta cần đồng ý một dải tần

chuyển tiếp‡, còn gọi tắt là dải chuyển tiếp, để nối kết dải thông và

dải triệt. Hình 5.3 mô tả phục vụ tần số biên độ và phục vụ tần số

pha của một bộ lọc thực tiễn, với những dải tần rất khác nhau.

Hai thông số tương đối quan trọng lúc cần phân tích độ méo của

bộ lọc là độ trễ pha§Tp(Ω)và độ trễ nhóm¶Tg(Ω)(còn gọi là độ

trễ bao|| ), được định nghĩa như sau:

Tp(Ω)=

Φ(Ω)

Ω(5.11)

Tg(Ω)=−dΦ(Ω)

dΩ(5.12)

Ý nghĩa của hai độ trễ này được minh họa trên hình 5.4. Khái niệm

*Passband.

†Stopband.

‡Transition band.

§Phase delay.

¶Group delay.

||Envelop delay.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_2” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1

Ω

|H(Ω)|

(a) Đáp ứng tần số biên độ

“./figures/IIRnew_3” — 2012/6/11 — 17:59 — page 80 — #1

Ω

Φ(Ω)

(b) Đáp ứng tần số pha

Hình 5.2: Đáp ứng tần số biên độ và phục vụ tần số pha của cục lọc

lý tưởng.

độ trễ nhóm đóng vai trò quan trọng lúc một tín hiệu có dải thông

hẹp được truyền qua một khối mạng lưới hệ thống thông dải. Độ trễ nhóm thể hiện

độ méo mà khối mạng lưới hệ thống tác động lên tín hiệu.

Trong bài toán thiết kế, đặc tả của khối mạng lưới hệ thống thông qua một phép

xấp xỉ nào này sẽ tiến hành diễn tả bởi phương trình

A2(Ω)=|H(Ω)|2.(5.13)

Giả sử đã tìm kiếm được hàm A2(Ω), yếu tố tiếp theo là phải xác lập

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_4” — 2012/6/11 — 17:59 — page 81 — #1

Ω

|H(Ω)|

Dải thông

Dải chuyển tiếp

Dải triệt

(a) Đáp ứng tần số biên độ

“./figures/IIRnew_5” — 2012/6/11 — 17:59 — page 81 — #1

Ω

Φ(Ω)

(b) Đáp ứng tần số pha

Hình 5.3: Đáp ứng tần số biên độ và pha của cục lọc thực tiễn.

được hàm truyền H(s)thỏa mãn nhu cầu (5.13), tức là tìm H(s)thế nào để sở hữu

H(s)H(−s)|s=jΩ=A2(Ω).(5.14)

Giáo trình này triệu tập hầu hết vào những khối mạng lưới hệ thống có hàm truyền là

một hàm hữu tỷ. Vì H(Ω)là một hàm hữu tỷ theo Ω, cho nên vì thế

A2(Ω)=H(Ω)H∗(Ω).(5.15)

Như vậy, A2(Ω)hoàn toàn có thể xem là một hàm có biến độc lập Ω2. Do đó

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_6” — 2012/6/11 — 17:59 — page 82 — #1

Ω

Φ(Ω)

Tg(Ω)

Tp(Ω)

Hình 5.4: Độ trễ pha và độ trễ nhóm.

phương trình (5.14) hoàn toàn có thể được đặt dưới dạng

H(s)H(−s)=A2(Ω)|Ω2=−s2.(5.16)

Hàm hữu tỉ A2(−s2)chứa những thông số thực cho nên vì thế nếu có một

nghiệm không*z0không nằm trên trục ảo hay trục thực thì cũng tiếp tục

có ba nghiệm không khác tương ứng với nó là z∗

0,−z0và −z∗

0. Nếu

có nghiệm không z1nằm trên trục thực hoặc trục ảo thì chỉ có thêm

−z1là nghiệm không. Nghiệm cực†cũng luôn có thể có tính chất này. Hình 5.5

minh họa những nghiệm không z0,z1và những nghiệm cực p0,p1, cùng với

những nghiệm tương ứng với chúng. Sau khi tính những nghiệm không và

nghiệm cực của A2(−s2), ta thấy ngay phải chọn H(s)sao cho nghiệm

không và nghiệm cực của nó ở nửa bên trái của mặt phẳng s, tức là

ℜs<0, để khối mạng lưới hệ thống này là ổn định và có pha tối thiểu‡.

*Zero.

†Pole.

‡Một khối mạng lưới hệ thống có biên độ cho trước hoàn toàn có thể có nhiều phen rất khác nhau. Hệ thống tương

ứng với pha tối thiểu được gọi là khối mạng lưới hệ thống pha tối thiểu (minimum phase systems). Điều

khiển một khối mạng lưới hệ thống có pha tối thiểu dễ hơn thật nhiều so với khối mạng lưới hệ thống không còn pha tối

thiểu.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_7” — 2012/6/11 — 17:59 — page 82 — #1

jΩ

−z1

−z∗

−z0

z∗

−p1

p.∗

−p.∗

−p0

Hình 5.5: Minh họa nghiệm không và nghiệm cực trong mặt phẳng

Ví dụ 5.1 Cho

A2(Ω)=25(4 −Ω2)2

(9 +Ω2)(16 +Ω2).

Tìm H(s)sao cho |H(jΩ)|2=A2(Ω).

Theo phân tích trên đây, ta có

H(s)H(−s)=25(4 +s2)2

(9 −s2)(16 −s2)(5.17)

Hàm này còn có hai nghiệm không kép ở 2jvà −2jvà bốn nghiệm cực ở

±3và ±4, như mô tả trên hình 5.6.

Như đã chỉ ra rằng để khối mạng lưới hệ thống là ổn định, H(s)nên phải có nghiệm

không và nghiệm cực ở nửa trái của mặt phẳng s. Do đó ta có

H(s)=5(s−2j)(s+2j)

(s+3)(s+4) =5(s2+4)

(s+3)(s+4) .

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_8” — 2012/7/25 — 18:13 — page 15 — #1

jΩ

−2

3 4−3−4

Hình 5.6: Nghiệm không và nghiệm cực của H(s)H(−s)[Phương

trình (5.17)].

5.1.1 Các phương pháp xấp xỉ Butterworth và

Chebychev

Có một số trong những loại bộ lọc tương tự quan trọng nhưng giáo trình

này chỉ quan tâm tới hai loại phổ cập nhất, đó là Butterworth và

Chebychev.

Họ bộ lọc Butterworth

Loại bộ lọc thông thấp phổ cập nhất là bộ lọc Butterworth,

cũng gọi là bộ lọc phẳng tối đa*. Loại bộ lọc này còn có A2(−s2)được

xấp xỉ bởi biểu thức

A2(Ω)=1

1+(Ω/Ωc)2n,(5.18)

trong số đó nlà bậc của cục lọc và Ωclà tần số cắt†(rads/s) của cục lọc.

Tại Ω=Ωc, phục vụ tần số có biên độ thấp hơn 3dB so với biên độ

cực lớn H(0), được xác lập bởi A(0). Khi Ωc=1, ta gọi là tần số cắt

chuẩn hóa‡và ký hiệu là Ωr.

*Maximally flat filter.

†Cutoff frequency

‡Normalized cutoff frequency.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_9” — 2012/7/25 — 18:14 — page 16 — #1

Ω

Ωc

A2(Ω)

(a) A2(Ω)

“./figures/IIRnew_10” — 2012/7/25 — 18:14 — page 16 — #1

Ω

Ωc

|H(Ω)|

(b) |H(Ω)|

Hình 5.7: Đáp ứng tần số của tớ bộ lọc Butterworth với những bậc khác

nhau, và có cùng tần số cắt chuẩn hóa Ωr=1rad/s.

Hình 5.7 mô tả A(Ω)và phục vụ tần số biên độ khối mạng lưới hệ thống |H(Ω)|

tương ứng cho họ bộ lọc Butterworth với những bậc rất khác nhau và cùng

có tần số cắt chuẩn hóa Ωr=1rad/s. Đáp ứng tần số là một hàm suy

giảm đều, có trị cực lớn tại Ω=0và lúc số bậc càng tăng thì phục vụ

tần số càng trở nên phẳng. Đồng thời độ suy giảm ở trong miền tần

số to nhiều hơn tần số cắt là 6ndB/octave.

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Ví dụ 5.2 Xác định hàm truyền của cục lọc Butterworth bậc 3có

tần số cắt Ωc=1rad/s.

Áp dụng biểu thức (5.18) với bậc n=3và tần số cắt Ωc=1, ta có

A2(Ω)=1

1+(Ω)6

1+(Ω2)3

và như vậy

A2(Ω)=H(s)H(−s)

1+(−s2)3

1+−s6.

Biểu thức trên đấy là một hàm hữu tỷ chứa 6nghiệm cực s=e−j2πk

6với

k=0,1,...,5, được màn biểu diễn như trên hình 5.8. Ta chọn những nghiệm

“./figures/IIRnew_11” — 2012/6/11 — 18:00 — page 85 — #1

jΩ

1−1

Hình 5.8: Giản đồ điểm cực điểm không

100

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

Bảng 5.1: Đa thức Butterworth chuẩn hóa

n1/H(s)

1s+1

2s2+1.4142s+1

3(s+1)(s2+s+1)

4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)

5(s+1)(p2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)

6(s2+0.5176s+1)(s2+1.4142s+1)(s2+1.9319s+1)

cực ở nửa trái mặt phẳng scho H(s), tức là những nghiệm

z1=ej2π2

6=−1

2+jp3

z2=ej2π3

6=−1,

z3=ej2π4

6=−1

2+jp3

Do đó, ta có

H(s)=1

(s+1)(s2+s+1) =1

s3+2s2+2s+1.

Bảng 5.1 gồm có đa thức Butterworth chuẩn hóa cho những bậc

từ 1đến 6.

Họ bộ lọc Chebychev

Bộ lọc Chebychev là một bộ lọc mà phục vụ tần số có độ gợn

sóng đều trong dải thông. Phép xấp xỉ này được xây dựng nhờ vào

những đa thức Chebychev Cn(x)được xác lập như sau:

Cn(x)=(cos(n·arcos(x)) |x| < 1,

cosh(n·arcosh(x)) |x| > 1,(5.19)

trong số đó nlà bậc của đa thức. Đây là một họ những đa thức trực giao

trên khoảng chừng (−1,1), trong số đó nó có độ gợn sóng đều, có mức giá trị cực lớn

101

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Bảng 5.2: Đa thức Chebychev

nCn(x)

22x2−1

34x3−3x

48x4−8x2+1

515x5−20x3+5x

632x6−48x4+18x2−1

là 1và giá trị cực tiểu là −1.Cn(x)biến thiên cực nhanh lúc x>1.

Bảng 5.2 cho ta những đa thức Chebychev được minh họa trên hình 5.9.

Ta thấy, Cn(x)là một hàm chẵn lúc nchẵn và lẻ lúc nlẻ.

Bộ lọc thông thấp Chebychev bậc ncó bình phương của đáp

ứng tần số biên độ có dạng:

A2(Ω)=α

1+²2C2

n³Ω

Ωc´,(5.20)

trong số đó ²2là một thông số được chọn để sở hữu độ gợn sóng thích hợp, α

là một hằng số được chọn để thỏa mãn nhu cầu độ khuếch đại cho tín hiệu d.c.

và Ωclà tần số cắt. Đáp ứng tần số biên độ cho n=3(nlẻ) và có độ

gợn sóng 2dB được minh họa ở hình 5.10(a). Đáp ứng tần số biên độ

với n=4(nchẵn) và độ gợn sóng 2dB được minh họa ở hình 5.10(b).

Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc Chebychev có một số trong những tính

chất quan trọng như sau. Dải thông được định nghĩa là khoảng chừng tần

số trong số đó độ gợn sóng xấp xỉ giữa hai số lượng giới hạn tức là từ 0đến

Ωc. Tần số cắt Ωclà tần số cao nhất của phục vụ tần số mà số lượng giới hạn

của độ gợn sóng được thỏa mãn nhu cầu. Vượt qua Ωc, ta có dải chuyển tiếp.

Độ gợn sóng dải thông*, ký hiệu là rvà có cty là dB, được

định nghĩa như sau:

r=10log10

max

min =20log10

Amax

Amin

,(5.21)

*Passband ripple.

102

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_12” — 2012/6/11 — 18:00 — page 86 — #1

Cn(x)

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

−1

Hình 5.9: Gợn sóng dải triệt

trong số đó Amax và Amin là số lượng giới hạn cực lớn và cực tiểu của độ gợn sóng

trong dải thông. Phương trình (5.20) cho ta

Amax =α,(5.22)

Amin =α

1+²2.(5.23)

Từ đó ta suy ra

r=10log10(1 +²2)(5.24)

và

²2=10r/10 −1.(5.25)

Độ triệt tại một tần số trong dải triệt sẽ tăng nếu ta tăng độ gợn

sóng. Như thế, khi chọn bộ lọc Chebychev thì hiện tượng kỳ lạ này là yếu tố

103

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_13” — 2012/6/11 — 18:00 — page 87 — #1

Ω

A2(Ω)

1+²2

(a) nlẻ

“./figures/IIRnew_14” — 2012/6/11 — 18:00 — page 87 — #1

Ω

A2(Ω)

1+²2

(b) nchẵn

Hình 5.10: Gợn sóng dải thông

kiện trao đổi giữa chất lượng lọc trong dải triệt và độ méo trong dải

thông.

Số cực trị (cực lớn hoặc cực tiểu) trong dải thông bằng bậc của

bộ lọc. Tại Ω=0,A(Ω)đạt cực lớn nếu nlẻ và cực tiểu nếu nchẵn.

Nếu ta muốn có độ khuếch đại d.c. là cty thì riêng với bộ lọc bậc lẻ

chọn α=1và riêng với bộ lọc bậc chẵn chọn α=1+²2. Nếu ta muốn

chọn Amax =1thì chọn α=1.

104

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

Tần số cắt Ωccủa bộ lọc Chebychev không còn cùng tính chất như

riêng với bộ lọc Butterworth. Trong trường hợp bộ lọc Butterworth Ωc

là tần số cắt ở 3dB, còn trong trường hợp Chebychev Ωclà tần số lớn

nhất thỏa mãn nhu cầu Đk gợn sóng của dải thông. Đặc tính này rất

quan trọng lúc thiết kế bộ lọc Chebychev.

Ví dụ 5.3 Xác định hàm truyền của cục lọc Chebychev bậc 2có độ

gợn sóng trong dải thông là 1dB, tần số cắt là Ωc=1rad/s và độ

khuếch đại tại d.c. là cty.

Theo công thức (5.25) ta có

²=p10r/10 −1=0,25892541.

Từ bảng 5.2 và phương trình (5.20) ta có

A2(Ω)=1,2589254

1,0357016Ω4−1,0357016Ω2+1,2589254 .

và viết theo slà

A2(s)=1,2589254

1,0357016s4+1,0357016s2+1,2589254

Như vậy, H(s)H(−s)có 4nghiệm cực sau:

s1=−0,54886717336682 +0,89512857959049i,

s2=−0,54886717336682 −0,89512857959049i,

s3=0,54886717336682 +0,89512857959049i,

s4=0,54886717336682 −0,89512857959049i.

Ta chọn 2cực ổn định là s1và s2để xây dựng H(s). Cuối cùng, ta tìm

được

H(s)=1,1025103

s2+1,0977343s+1,1025103 .

Dựa trên bộ lọc thông thấp, có một số trong những biến hóa được cho phép ta thiết

kế những bộ lọc thông dải, triệt dải và thông cao. Các biến hóa này

sẽ tiến hành trình diễn ngắn gọn trong những phần tiếp theo.

105

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

5.1.2 Phép biến hóa một bộ lọc thông thấp thành bộ

lọc thông dải

Một phương pháp rất phổ cập để thiết kế những bộ lọc thông dải là

sử dụng một bộ lọc thông thấp và một phép biến hóa để chuyển hàm

chuyền thành thông dải. Để phân biệt bộ lọc thông thấp và bộ lọc

thông dải, ta sử dụng những định nghĩa sau này:

•p.: Biến Laplace cho bộ lọc thông thấp.

•s: Biến Laplace cho bộ lọc thông dải.

•λ: Biến tần số tương ứng với p.(p.=jλ).

•Ω: Biến tần số tương ứng với s(s=jΩ).

•hlp(p.): Hàm truyền thông thấp.

•hbp(s): Hàm truyền của cục lọc thông dải.

•λr(rads/s): Một tần số đặc biệt quan trọng nào đó của cục lọc thông thấp

(thường là tần số cắt λc).

•Fr(Hz): Tần số tương ứng với λrvà tính theo cty Hz (Fr=

λr/2π).

•Ω1: Tần số cắt dưới của cục lọc thông dải tương ứng với −λrcủa

bộ lọc thông thấp.

•Ω3: Tần số cắt trên của cục lọc thông dải tương ứng với λrcủa bộ

lọc thông thấp.

•Ω2: Tần số góc trung bình hình học của dải thông.

•F1,F2,F3(Hz): Tần số của dải thông tương ứng với Ω1,Ω2,Ω3.

Phép biến hóa chuyển bộ lọc thông thấp sang bộ lọc thông dải là

p.=s2+Ω2

s.(5.26)

106

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

Mối liên hệ trong miền tần số là

λ=

Ω2−Ω2

Ω,(5.27)

hay là

2π=F2−F2

F.(5.28)

Biến đổi thông thấp thành thông dải được minh họa như trên hình 5.11.

“./figures/IIRnew_15” — 2012/6/11 — 18:00 — page 90 — #1

Ω

y=a

−λr

λr

Ω1

Ω3

Ω2

Hình 5.11: Biến đổi thông thấp thành thông dải.

Đồ thị này đã cho toàn bộ chúng ta biết, qua biến hóa (5.26), dải thông thấp [−λr,λr]

sẽ thành dải thông dải [Ω1,Ω3]. Như vậy bộ lọc thông thấp trở thành

bộ lọc thông dải thông qua phép biến hóa này và được minh họa ở

hình 5.12.

107

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_16” — 2012/6/11 — 18:00 — page 90 — #1

Ω

A2(Ω)

0λr

−λr

(a) Lọc thông thấp

“./figures/IIRnew_17” — 2012/6/11 — 18:00 — page 90 — #1

Ω

A2(Ω)

Ω3

Ω1Ω2

(b) Lọc thông dải

Hình 5.12: Đáp ứng tần số biên độ của lọc thông thấp và bộ lọc thông

dải tương ứng.

Mối liên hệ những thông số được suy ra như sau

Fr=F2

3−F2

(5.29)

−Fr=F2

1−F2

(5.30)

F2=pF1F3(5.31)

B=F3−F1(5.32)

Thông số Blà dải thông của cục lọc thông dải, là một thông số quan

trọng trong quy trình thiết kế. Như vậy, muốn thiết kế một bộ lọc

thông dải thông qua một bộ lọc thông thấp, phải chọn những thông số

108

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

của cục lọc thông thấp tương ứng với những thông số của cục lọc thông

dải nên phải thiết kế. Các bước thiết kế được mô tả trong phương

pháp (5.1).

Phương pháp 5.1 – Thiết kế bộ lọc thông dải.

1. Các thông số đặc trưng của dải thông là những tần số cắt F1và F3.

Từ đó ta suy ra dải thông B=F3−F2và tần số trung bình hình

học F2=pF1F3.

2. Chọn bộ lọc thông thấp có những đặc tả mong ước và đặc biệt quan trọng

là có tần số cắt Fr=B.

3. Từ hàm truyền Hlp(p.)của cục lọc thông thấp, thế ptheo (5.26),

ta suy ra hàm truyền của cục lọc thông dải tương ứng Hbp(s).

Thông thường, nếu bộ lọc thông thấp có bậc nthì bộ lọc thông dải

tương ứng có bậc là 2ngồm 2nnghiệm cực hữu hạn.

Ví dụ 5.4 Thiết kế một bộ lọc thông dải loại Butterworth có 4

nghiệm cực với tần số trung bình hình học là 1KHz và dải thông

3dB là 200 Hz.

Bởi vì bộ lọc thông dải là bậc 4, bộ lọc thông thấp sẽ có được bậc là 2

và hàm truyền chuẩn hóa (λr=1) là

Hlp(p.)=1

p2+1,4142136p+1.

Biết bộ lọc thông thấp có tần số cắt là 200 Hz, hàm truyền của nó có

thế suy ra từ Hlp(p.)bằng phương pháp thế p.=p./2π×200 để sở hữu

Hlp(p.)=1,5791367 ×106

p2+1,7771532 ×103p+1,5791367 ×106.

Biết rằng Ω2=2π×103, phép biến hóa thông thấp thành thông dải là

p.=s2+3,9478418 ×107

109

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

và hàm truyền của cục lọc thông dải là

Hbp(s)=1,5791367 ×106s2

B(s),

với

B(s)=s4+1,7771532s3+8,535973 ×107s2+7,0159197 ×1010 s

+1,5585455 ×1015.

5.1.3 Phép biến hóa một bộ lọc thông thấp thành bộ

lọc triệt dải

Phép biến hóa mà ta tìm cách xây dựng phải biến phục vụ thông

thấp thành thông dải như được minh họa ở hình 5.13. Dựa theo quan

sát của phép biến hóa từ thông thấp sang thông dải, ta thấy phép

biến hóa từ thông thấp sang triệt dải phải có dạng

p.=

Ω2

s2+Ω2

.(5.33)

Thế s=jΩvà p.=jλtrong phương trình (5.33), ta suy ra

λ=

Ω2

2Ω

Ω2

2−Ω2(5.34)

hoặc

2π=F2

2−Ω2.(5.35)

Hệ thức (5.34) được minh họa trên hình 5.14. Điểm λ=0được

biến hóa thành Ω=0và Ω= ∞ và điểm λ= ±∞ được biến hóa thành

Ω=Ω2,λrvà −λrđược biến hóa thành Ω1và Ω3. Ta hoàn toàn có thể suy ra

F2=pF1F3(5.36)

hoặc

B=F3−F1=F2

Fr=F1F3

.(5.37)

110

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_18” — 2012/6/11 — 18:00 — page 92 — #1

Ω

A2(Ω)

0λr

(a) Lọc thông thấp

“./figures/IIRnew_19” — 2012/6/11 — 18:00 — page 92 — #1

Ω

A2(Ω)

0Ω1Ω2Ω3

(b) Lọc triệt dải tương ứng

Hình 5.13: Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc thông thấp và bộ lọc

triệt dải tương ứng.

Ta thấy, biểu thức (5.36) hoàn toàn in như phép biến hóa từ thông

thấp sang thông dải, nhưng khác ở đoạn dải triệt Blại tỷ suất nghịch với

Fr.

Do vậy, thiết kế bộ lọc triệt dải được tóm tắt như trong phương

pháp 5.2.

111

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_20” — 2012/6/11 — 18:00 — page 93 — #1

Ω

Ω=Ω2

−λr

λr

Ω1

Ω3

Hình 5.14: Biến đổi thông thấp thành triệt dải.

Phương pháp 5.2 – Thiết kế bộ lọc triệt dải.

1. Xác định hàm truyền của cục lọc thông thấp Hlp(p.)trong số đó dải

thông Frlà tỉ lệ nghịch với dải thông Bcủa bộ lọc triệt dải ta

muốn thiết kế (xem phương trình (5.37)). Lúc chọn thông số, ta

phải thận trọng vì hầu hết những từ điển bộ lọc thường tương ứng

với những thông số đã được chuẩn hóa.

2. Xây dựng hàm truyền của cục lọc triệt dải Hbl(s)bằng phương pháp thế

pcủa bộ lọc thông thấp bởi phương trình (5.33). Thông thường,

nếu bộ lọc thông thấp có bậc kthì bộ lọc triệt dải sẽ có được bậc là

2k. Nếu những nghiệm 0của bộ lọc thông thấp đều nằm ở vị trí ∞

thì bộ lọc triệt dải sẽ có được 2knghiệm 0trên trục jΩtương ứng với

kcặp nghiệm thuần ảo phối hợp.

Sau đấy là ví dụ minh họa phương pháp thiết kế bộ lọc thông dải.

112

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

Ví dụ 5.5 Xác định hàm truyền của một bộ lọc triệt dải có những đặc

tả sau này: 4nghiệm cực, dạng Butterworth, tần số TT hình

học của dải triệt là 1KHz và dải triệt 3dB là 200 Hz.

Bộ lọc thông thấp tương ứng là bộ lọc Butterworth bậc 2của ví

dụ 5.4. Phương trình (5.36) và(5.37) cho ta

Fr=F1F3

B=(103)2

200 =5×103.

Như vậy, hàm truyền của cục lọc thông thấp phải được kiểm soát và điều chỉnh

thông số thế nào để tần số cắt 3dB là 5×103Hz. Để thực thi điều

kiện này, ta chỉ việc thế pbởi p./(2π×5×103). Hàm truyền của cục lọc

thông thấp sẽ là

Hlp(p.)=9,8696044 ×108

p2+4,4428829 ×104p+9,8696044 ×108

Với phép biến hóa

p.=3,9478418 ×107s

s2+3,9478418 ×107,

ta suy ra hàm truyền của cục lọc triệt dải là

Hbs(s)=(s2+3,9478418 ×107)2

B(s)

trong số đó

B(s)=s4+1,7771532 ×103s3+8,0535973 ×107s2+

+7,0159196 ×1010s+1,5585455 ×1015.

5.1.4 Phép biến hóa một bộ lọc thông thấp thành bộ

lọc thông cao

Phép biến hóa này đơn thuần và giản dị hơn, nó biến hóa điểm λ=0thành

Ω=∞ và điểm λ=∞ thành Ω=0. Như thế, phép biến hóa sẽ là

p.=λrΩr

s.(5.38)

113

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Trong miền tần số ta có

2π=−

Ωr

Ω.(5.39)

Phép biến hóa này được minh họa ở hình 5.15. Nó biến phục vụ tần

“./figures/IIRnew_21” — 2012/6/11 — 18:00 — page 95 — #1

Ω

−λr

Ωr

Hình 5.15: Biến đổi thông thấp thành thông cao.

số thông thấp thành phục vụ tần số thông cao như được minh họa ở

hình 5.16.

Các bước thiết kế bộ lọc thông cao được mô tả trong phương

pháp 5.3.

Phương pháp 5.3 – Thiết kế bộ lọc thông cao.

1. Xác định hàm truyền của cục lọc thông thấp Hlp(p.)và chỉ định

tần số cắt thông thấp λrtương ứng với tần số cắt thông cao Ωr.

2. Dùng phép biến hóa (5.38) để suy ra hàm truyền Hhp (s)của

bộ lọc thông cao. Thông thường, Hhp(s)có cùng bậc với Hlp(p.)

tương ứng. Nếu toàn bộ nghiệm 0của Hlp(p.)đều nằm ở vị trí ∞thì tất

cả nghiệm 0của Hhp(s)nằm ở vị trí gốc. Như thế, ở vùng tần số thấp,

độ dốc của phục vụ tần số biên độ là vào lúc chừng 6ndB/octave.

114

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_22” — 2012/6/11 — 18:00 — page 95 — #1

Ω

A2(Ω)

0λr

(a) Lọc thông thấp

“./figures/IIRnew_23” — 2012/6/11 — 18:00 — page 95 — #1

Ω

A2(Ω)

0Ω3

(b) Lọc thông cao tương ứng

Hình 5.16: Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc thông thấp và bộ lọc

thông cao tương ứng.

Ví dụ 5.6 Xác định hàm truyền của một bộ lọc thông cao loại But-

terworth có 3nghiệm cực và có tần số cắt 3dB là 100 Hz.

Theo bảng 5.1, bộ lọc thông thấp Butterworth bậc 3có hàm

truyền là

Hlp(p.)=1

p3+2p2+2p+1.(5.40)

Tần số cắt chuẩn hóa của cục lọc thông thấp là λr=1rad/s phải được

biến hóa thành Ωr=2π×100 rad/s. Như thế, phép biến hóa là

p.=200π

s.(5.41)

115

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Thế (5.41) vào (5.40), suy ra hàm truyền của cục lọc thông cao là

Hhp(s)=s3

s3+1.2566371 ×103s2+7.8956835 ×105s+2.4805021 ×108.

5.1.5 Đáp ứng tần số của cục lọc theo bậc

Trong phương pháp thiết kế bộ lọc, trong một số trong những trường hợp độ

suy giảm phải bảo vệ tiềm năng tại một tần số nào đó. Như thế để

thỏa mãn nhu cầu Đk này, nên phải ghi nhận phương pháp chọn bậc của cục lọc thích

ứng để hoàn toàn có thể xác lập nhanh gọn thông số những bộ lọc là màn biểu diễn

phục vụ tần số biên độ trong miền triệt dải của những họ bộ lọc ta quan

tâm. Thông thường ta quan tâm họ bộ lọc Butterworth hoặc họ bộ lọc

Chebyshev với những độ gợn sóng 0.1,0.5,1,1.5,2,2.5và 3dB. Các đáp

ứng tần số này được trình diễn tại những hình 5.17, 5.18, 5.19 và 5.20.

“./figures/IIRnew_24” — 2012/6/11 — 18:00 — page 96 — #1

100101

−60

−40

−20

1002·1003·100

Ωr

|H(Ω)|(dB)

Hình 5.17: Bộ lọc Butterworth với nnghiệm cực.

Những đồ thị này đã cho toàn bộ chúng ta biết độ suy giảm của phục vụ tần số biên

độ trong dải triệt tức là từ tần số cắt chuẩn hóa bằng 1trở đi. Số

116

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_25” — 2012/6/11 — 18:00 — page 97 — #1

100101

−60

−40

−20

1002·1003·100

Ωr

|H(Ω)|(dB)

(a) Gợn sóng 0.1dB

“./figures/IIRnew_26” — 2012/6/11 — 18:00 — page 97 — #1

100101

−60

−40

−20

1002·1003·100

Ωr

|H(Ω)|(dB)

(b) Gợn sóng 0.5dB

Hình 5.18: Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc Chebyshev với độ gợn

sóng 0.1và 0.5dB.

117

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_27” — 2012/6/11 — 18:00 — page 97 — #1

100101

−60

−40

−20

1002·1003·100

Ωr

|H(Ω)|(dB)

(a) gợn sóng 1dB

“./figures/IIRnew_28” — 2012/6/11 — 18:00 — page 97 — #1

100101

−60

−40

−20

1002·1003·100

Ωr

|H(Ω)|(dB)

(b) gợn sóng 1.5dB

Hình 5.19: Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc Chebyshev với độ gợn

sóng 1và 1.5dB.

118

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_29” — 2012/6/11 — 18:00 — page 97 — #1

100101

−60

−40

−20

1002·1003·100

Ωr

|H(Ω)|(dB)

(a) gợn sóng 2.5dB

“./figures/IIRnew_30” — 2012/6/11 — 18:00 — page 97 — #1

100101

−60

−40

−20

1002·1003·100

Ωr

|H(Ω)|(dB)

(b) gợn sóng 3dB

Hình 5.20: Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc Chebyshev với độ gợn

sóng 2.5và 3dB.

119

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

trị cực tương ứng với bậc của cục lọc thông thấp mà ta sử dụng cho

quy trình thiết kế. Như thế những đồ thị tương ứng với Butterworth

và Chebyshev có gợn sóng 3dB sẽ khởi đầu ở 3dB thấp hơn trị cực

đại của phục vụ tần số ở tần số chuẩn hóa 1. Trục hoành của những đồ

thị từ hình 5.17 đến 5.20 mang tên là tần số chuẩn hóa hoàn toàn có thể được cắt

nghĩa theo những phương pháp rất khác nhau tùy từng bộ lọc ta lựa chọn. Xét

hình 5.21, gọi Blà thông số của độ thông dải được định nghĩa cho

từng loại bộ lọc, gọi Bxlà một dải thông nào này mà ta muốn có độ

suy giảm chọn trước. Tần số chuẩn hóa được định nghĩa là

NF =Bx

B(5.42)

cho trường hợp lọc thông thấp và lọc thông dải hoặc

NF =B

(5.43)

với trường hợp lọc thông cao và lọc triệt dải. Chú ý là phục vụ tần số

tính theo dB theo mọi trường hợp là so sánh với giá trị cực lớn của

phục vụ tần số.

Nếu họ Butterworth và Chebyshev có bâc lẻ, ta sẽ không còn gặp

trở ngại vất vả gì vì trị cực lớn xuất hiện ở tần số d.c. Mặt khác họ Cheby-

shev bậc chẵn thì trị cực lớn của phục vụ tần số biên độ không xuất

hiện ở tần số d.c. Và trong trường hợp này thì cty dB là so sánh

với trị ở tần số cực lớn chứ không phải trị ở tần số d.c. Vì vậy ta cần

để ý quan tâm lúc thiết kế nếu ta chọn phục vụ tần số ở d.c. là 0dB thì trong

một số trong những trường hợp ngay trong dải thông phục vụ tần số cao hơn 0dB.

Ví dụ 5.7 Một bộ lọc thông thấp có những đặc trưng sau

a) Đáp ứng tần số biên độ không được biến thiên quá 3dB từ 0đến

5kHz.

b) Độ suy giảm to nhiều hơn 23 dB với những tần số to nhiều hơn 10 kHz.

Chúng ta xác lập số nghiệm cực tối thiểu nếu ta chọn bộ lọc But-

terworth hoặc chọn bộ lọc Chebyshev.

Ta hoàn toàn có thể trực tiếp dùng công thức để tính kết quả nhưng thuận

tiên nhất là sử dụng những hình từ 5.17 đến 5.20. Đối với bộ lọc Butter-

120

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.1. Lọc tương tự

“./figures/IIRnew_31” — 2012/6/11 — 18:00 — page 98 — #1

Ω

|H(Ω)|

(a) Thông thấp

“./figures/IIRnew_32” — 2012/6/11 — 18:00 — page 98 — #1

Ω

|H(Ω)|

(b) Thông cao

“./figures/IIRnew_33” — 2012/6/11 — 18:01 — page 98 — #1

Ω

|H(Ω)|

“./figures/IIRnew_34” — 2012/6/11 — 18:01 — page 98 — #1

Ω

|H(Ω)|

(d) Chặn dải

Hình 5.21: Định nghĩa Bvà Bx.

worth thì tần số cắt là tương ứng với 3dB và tần số chuẩn hóa mà

độ suy giảm phải to nhiều hơn 23 dB sẽ là

NF =10 kHz

5kHz =2.

Từ hình 5.17 ta suy ra bậc tối thiểu là 4. Thật vậy tại tần số chuẩn

hóa 2, độ suy giảm là 24 dB tức là có 1dB tốt hơn yêu cầu tối thiểu.

Đối với bộ lọc Chebyshev, hoàn toàn có thể chọn loại bộ lọc có độ gợn sóng

3dB. Từ đồ thị 5.20 ta thấy tại tần số chuẩn hóa NF =2thì bộ lọc

bậc 3có độ suy giảm to nhiều hơn 28 dB, tức 5dB to nhiều hơn thiết yếu. Đối

với ví dụ này, ta thấy hoàn toàn có thể một bộ lọc Butterworth bậc 4hoặc một

bộ lọc Chebyshev bậc 3có gợn sóng 3dB sẽ thỏa mãn nhu cầu Đk thiết

kế. Trong cả hai trường hợp thì độ suy giảm trong dải triệt đều lớn

hơn thiết yếu nếu tần số cắt 3dB là 10 kHz. Chú ý là độ suy giảm

của cục lọc Chebyshev ở đây vượt qua quá nhiều yêu cầu thiết kế. Có

thể sử dụng Chebyshev bậc 3với độ gợn sóng nhỏ hơn 3dB mà vẫn

hoàn toàn có thể thỏa những đặc tả.

121

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Phần này đã trình diễn về hai loại bộ lọc tương tự truyền thống cuội nguồn

là bộ lọc Butterworth và bộ lọc Chebyshev. Trong những phần tiếp theo

của chương, họ bộ lọc Butterworth và Chebyshev sẽ tiến hành vận dụng để

thiết kế những bộ lọc số IIR.

5.2 Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi

Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi trong miền thời hạn nhờ vào

mối liên hệ giữa biến hóa Laplace của một tín hiệu tương tự và biến

đổi Zcủa tín hiệu rời rạc tương ứng.

Cho tín hiệu tương tự fa(t). Ta rời rạc hóa tín hiệu này với chu

kỳ lấy mẫu Tsđể được tín hiệu rời rạc fd(n)=Tsfa(nTs). Hệ số nhân

Tstrong định nghĩa của fd(n)nhằm mục đích bảo vệ phổ của tín hiệu liên

tục và phổ của tín hiệu rời rạc giống nhau trong dải tần ta quan tâm.

Hình 5.22 mô tả lấy mẫu fa(t)và những động tác minh họa trong hình

này được cô đọng trong biểu thức sau:

Zfd(n)=ZTs©L−1[fa(t)]ª.(5.44)

“./figures/IIRnew_35” — 2012/6/11 — 18:01 — page 100 — #1

fa(t)Fa(p.)=Lfa(t)

Fd(z)=Zfd(n)

fd(n)=Ts·fa(nTs)

Hình 5.22: Mô tả lấy mẫu fa(t).

Giả sử fa(t)là một tín hiệu hàm mũ, được cho bởi

fa(t)=eαtu(t).(5.45)

122

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.2. Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi

Biến đổi Laplace của fa(t)cho ta

Fa(p.)=1

p.−α.(5.46)

Như vậy, Fa(p.)có bậc 1và có một nghiệm cực đơn là α. Ta lấy mẫu

fa(t)để sở hữu tín hiệu rời rạc

fd(n)=TseαnTsu(n),(5.47)

từ đó có biến hóa Zcủa fd(n)là

Fd(z)=Ts

1−eαTsz−1.(5.48)

Thông thường, những tín hiệu fa(t)mà ta quan tâm ở đây đều là tín

hiệu thực. Vì thế trong trường hợp Fa(p.)có một nghiệm cực phức là

αthì nó còn tồn tại thêm một nghiệm cực phức phối hợp là α∗. Hai thành

phần đơn tương ứng với αvà α∗cho ta một thành phần bậc 2với những

thông số thực. Do đó, Fa(p.)sẽ có được dạng

Fa(p.)=a p. +b

p2+c p. +d.(5.49)

Đặt σ=c/2 và Ω0=pd−c2/4, ta suy ra

Fd(z)=Ts

a−e−σTshacos(Ω0Ts)+aσ−b

Ω0sin(Ω0Ts)iz−1

1−2e−σTscos(Ω0Ts)z−1+e−2σTsz−2.(5.50)

Trong thực tiễn, dạng tổng quát nhất của fa(t)là hàm mũ hoặc

hàm xấp xỉ với suy hao mũ, như vậy Fa(p.)hoàn toàn có thể phân tích thành

những thành phần đơn bậc 1hoặc bậc 2như đã thảo luận ở trên. Ta thấy

ngay những công thức (5.46) và (5.49) trong nghành nghề tương tự trở thành

những công thức (5.48) và (5.50) trong nghành nghề rời rạc. Các công thức

này là công cụ chính cho phương pháp thiết kế không bao giờ thay đổi trong miền

thời hạn.

5.2.1 Thiết kế theo phục vụ xung không bao giờ thay đổi

Gọi G(p.)là hàm truyền của cục lọc tương tự đã được lựa chọn

và H(z)là hàm truyền của cục lọc số ta phải thiết kế. Gọi g(t)và h(n)

tương ứng là phục vụ xung của cục lọc tương tự và của cục lọc số.

123

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Xét hàm truyền G(p.)bậc 1

G(p.)=1

p.−a.(5.51)

Đáp ứng xung tương ứng với G(p.)là

g(t)=eαtu(t)=(eαt,với t≥0

0,với t<0(5.52)

Lấy mẫu g(t)với chu kỳ luân hồi Tsthì phục vụ xung của cục lọc số tương ứng

sẽ là:

h(n)=TseαnTs·u(n).(5.53)

Từ đó, hàm truyền H(z)của cục lọc số là

H(z)=Ts

1−eαTsz−1.(5.54)

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết tính nhân quả của G(p.)sẽ dẫn đến tính nhân

quả của H(z). Điều này là hiển nhiên vì phục vụ xung của cục lọc số

đó đó là phục vụ xung của cục lọc tương tự sau khi được lấy mẫu.

Quan trọng hơn thế nữa, tính ổn định của G(p.), nghĩa là ℜp.<0, sẽ

dẫn đến tính ổn định của H(z), nghĩa là ¯¯eaTs¯¯<1.

Trong trường hợp hàm truyền G(p.)có cặp nghiệm cực phức liên

hợp avà a∗thì, theo (5.49), chúng tạo ra một thành phần đơn bậc

2của G(p.)có dạng như sau

G(p.)=a p. +b

p2+c p. +d.(5.55)

Ta sử dụng công thức (5.50) để suy ra H(z)là

H(z)=Ts

a−e−σTshacos(Ω0Ts)+aσ−b

Ω0sin(Ω0Ts)iz−1

1−2e−σTscos(Ω0Ts)z−1+e−2σTsz−2.(5.56)

Từ những phân tích trên, hoàn toàn có thể thấy rằng sau khi đã chọn G(p.)bất

kỳ ta hoàn toàn có thể sử dụng những màn biểu diễn (5.54) và (5.56) để thiết kế H(z).

Như thế, phương pháp thiết kế gồm những bước như trong Phương

pháp 5.4.

Sau đấy là một số trong những ví dụ về thiết kế bộ lọc IIR bằng phương pháp

phục vụ xung không bao giờ thay đổi trong miền thời hạn.

124

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.2. Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi

Phương pháp 5.4 – Thiết kế theo phục vụ xung không bao giờ thay đổi.

1. Chọn hàm truyền tương tự G(p.)và phân tích nó thành tổng những

phần đơn bậc 1(nghiệm thực) và bậc 2(cặp nghiệm phức liên

hợp).

2. Xác định hàm truyền rời rạc H(z)tương ứng:

a) Đối với nghiệm thực, thế 1

p.−abằng vế phải của (5.54);

b) Đối với cặp nghiệm phức phối hợp, thế a p. +b

p2+c p. +dbằng vế

phải của (5.56).

Ví dụ 5.8 (Thiết kế theo phục vụ xung không bao giờ thay đổi với thành phần đơn)

Xác định một hàm truyền nhân quả H(z)có phục vụ xung in như

phục vụ xung của một khối mạng lưới hệ thống tương tự có hàm truyền G(p.)được

cho bởi

G(p.)=1

(p.+5)(p.+12) .

với chu kỳ luân hồi lấy mẫu là Ts=0,05 giây.

Trước tiên, ta thấy rằng G(p.)có hai nghiệm đơn là a1= −5và

a2=−12. Theo Bước 1 của phương pháp thiết kế (Phương pháp 5.4),

ta phân tích hàm truyền G(p.)theo những hàm đơn và đã có được

G(p.)=1/7

p.+5−1/7

p.+12 .

Theo Bước 2 của phương pháp thiết kế, ta vận dụng công thức (5.54)

và suy ra

H(z)=0,05

7·1

1−e(−5)(0,05) z−1−1

1−e(−12)(0,05) z−1¸

=0,0164

1−1,3276z−1+0,4274z−2.

Từ kết quả hàm truyền H(z), ta thấy ngay bộ lọc số này là IIR.

Hình 5.23 màn biểu diễn phục vụ tần số biên độ của cục lọc tương tự G(p.)

và bộ lọc số H(z).

125

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_36” — 2012/7/25 — 18:25 — page 35 — #1

0 2 4 6 8 10

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Ω(rad)

|G(jΩ)|(dB)

“./figures/IIRnew_37” — 2012/7/25 — 18:25 — page 35 — #1

0 2 4 6 8 10

10−4

10−3

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.23: Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví dụ 5.8].

Trong ví dụ tiếp theo, ta sẽ xét đến thiết kế với thành phần liên

hợp phức.

Ví dụ 5.9 (Thiết kế theo phục vụ xung không bao giờ thay đổi với thành phần liên

hợp phức)

Thiết kế một bộ lọc số thông thấp tương ứng với một bộ lọc tương tự

Butterworth bậc 2có tần số cắt 3dB là 50 Hz và vận tốc lấy mẫu là

500 Hz.

Theo bảng 5.1, ta có hàm truyền Butterworth bậc 2có tần số

126

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.2. Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi

cắt được chuẩn hóa (λr=1rad/s) là

G1(p.)=1

1+p2p+p2.(5.57)

Tần số cắt chuẩn hóa λr=1rad/s của G1(p.)đó đó là tần số cắt Fr=

50 Hz của cục lọc tương tự G(p.)cần dùng để quy đổi thành bộ lọc

số. Do đó, ta suy ra hàm truyền của G(p.)như sau:

G(p.)=G1³p

2π×50 ´=9,8696044 ×104

p2+444,28829p+9,8696044 ×104.(5.58)

Lấy biến hóa Laplace ngược của G(p.)cho ta phục vụ xung của cục lọc

tương tự là

g(t)=444,28829e−222,14415tsin(222,14415t).

Lấy mẫu phục vụ xung g(t)với vận tốc lấy mẫu Fs=500 Hz, tức với

chu kỳ luân hồi lấy mẫu

Ts=1

500 =0.002,

ta sẽ có được phục vụ xung của cục lọc số tương ứng

h(n)=Tsg(nTs).

Biến đổi Zcủa h(n)cho ta hàm truyền H(z)như sau:

H(z)=0,2449203z−1

1−1,1580459z−1+0,41124070z−2.(5.59)

Chú ý rằng, ta hoàn toàn có thể có kết quả (5.59) trực tiếp bằng phương pháp sử

dụng Bước 2 của phương pháp thiết kế 5.4 và hàm truyền trong công

thức (5.58). Hình 5.24 màn biểu diễn phục vụ tần số biên độ của cục lọc

tương tự G(p.)và bộ lọc số H(z).

5.2.2 Thiết kế theo phục vụ bậc thang không bao giờ thay đổi

Cũng in như trường hợp phục vụ xung không bao giờ thay đổi, thiết yếu kế

một bộ lọc số nhờ vào bộ lọc tương tự sao cho toàn bộ hai có phục vụ bậc

thang giống nhau. Khái niệm này được minh họa ở hình 5.25.

127

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_38” — 2012/6/11 — 18:01 — page 104 — #1

0 50 100 150 200 250

10−2

10−1

100

Ω(rad)

|G(jΩ)|(dB)

“./figures/IIRnew_39” — 2012/6/11 — 18:01 — page 104 — #1

0 50 100 150 200 250

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.24: Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví dụ 5.9].

Gọi hst(n)và gst(t)tương ứng là phục vụ bậc thang của cục lọc

số và bộ lọc tương tự. Để có hs(n)tương tự như gst(t)ta làm tương tự

như phương pháp phục vụ xung không bao giờ thay đổi, bằng phương pháp lấy mẫu gst(t)

với chu kỳ luân hồi lấy mẫu Tsđể được:

hst(n)=gst(t)|t=nTs.(5.60)

Do đó, mối liên hệ giữa hàm truyền của hst(n)trong miền biến hóa Z

và hàm truyền của gst(t)trong miền Laplace là

Hst(z)=ZTs©L−1[Gst(p)]ª.(5.61)

Gọi H(z)là hàm truyền của cục lọc số, ta có

Hst(z)=1

1−z−1H(z).(5.62)

128

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.2. Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi

“./figures/IIRnew_40” — 2012/6/11 — 18:01 — page 104 — #1

gst(t)

“./figures/IIRnew_41” — 2012/6/11 — 18:01 — page 104 — #1

hst(n)

Hình 5.25: Bộ lọc tương tự và số có phục vụ bậc thang giống nhau.

Do vậy,

H(z)=(1 −z−1)Hst(z).(5.63)

Các biểu thức (5.61), (5.62) và (5.63) có một ý nghĩa vật lý tương

đối quan trọng. Cho một khối mạng lưới hệ thống có phục vụ bậc thang là gst(t).

Hàm truyền G(p.)đó đó là pGst(p.). Mặt khác cho một tín hiệu rời rạc

x(n)kích thích một mạch lưu bậc không*, đầu ra của khối mạng lưới hệ thống là một

tín hiệu nhiều bậc thang có độ cao tương ứng tại từng thời gian

là x(n). Tín hiệu này kích thích khối mạng lưới hệ thống có hàm truyền G(p.)và đầu

ra được lấy mẫu với chu kỳ luân hồi Tsthì tín hiệu rời rạc này đó đó là tín

*Zeroth order holding circuit.

129

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

hiệu đã có được lúc kích thích khối mạng lưới hệ thống có hàm truyền H(z)với tín hiệu

x(n). Vì nguyên do này mà bộ lọc thiết kế bằng phương pháp không bao giờ thay đổi bậc

thang thường còn được gọi là bộ lọc lưu bậc không.

Ví dụ 5.10 (Thiết kế phục vụ bậc thang không bao giờ thay đổi)

Ta sử dụng phương pháp phục vụ bậc thang không bao giờ thay đổi để thiết kế một

bộ lọc số thông thấp tương ứng với đặc tả của Ví dụ 5.9.

Trong ví dụ 5.9, hàm truyền G(p.)được cho bởi công thức (5.58),

nên hàm truyền tương ứng với phục vụ xung gst(t)là

Gst(p.)=G(p.)

p..

Do đó, lấy biến hóa Laplace ngược của Gst(p.)sẽ cho phục vụ bậc

thang gst(t)của cục lọc

gst(t)=1−e222,14415t[sin(222,144415 t)+cos(222,144415t)],t>0.

Lấy mẫu gst(t)với chu kỳ luân hồi Ts=0,002 s để sở hữu hst(n)và lấy biến hóa Z

của nó để được

Hst(z)=1

1−z−1−1−0,30339071z−1

1−1,1580459z−1+0,41124070z−2.

Cuối cùng, hàm truyền của cục lọc số tương ứng là

H(z)=(1 −z−1)Hst(z)=0,14534481z−1+0,10784999z−2

1−1,1580459z−1+0,41124070z−2.

Hình 5.26 màn biểu diễn phục vụ tần số biên độ của G(p.)và H(z).

Ví dụ 5.11 Một khối mạng lưới hệ thống tương tự có hàm truyền

G(p.)=2

(p.+1)(p.+2) .

Hệ thống này được điều khiển và tinh chỉnh bởi một máy tính với vận tốc lấy mẫu

là 10 Hz. Ta dùng phương pháp phục vụ bậc thang không bao giờ thay đổi để xác

định hàm truyền H(z)tương ứng.

130

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.2. Phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi

“./figures/IIRnew_42” — 2012/6/11 — 18:01 — page 106 — #1

0 50 100 150 200 250

10−2

10−1

100

Ω(rad)

|G(jΩ)|(dB)

“./figures/IIRnew_43” — 2012/6/11 — 18:01 — page 106 — #1

0 50 100 150 200 250

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.26: Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ 5.10].

Đáp ứng bậc thang của khối mạng lưới hệ thống đã cho là

gst(t)=1−2e−t+e−2t.

Với chu kì lấy mẫu là 0,1s, rời rạc hóa gst(t)để sở hữu hst(n)và lấy biến

đổi Zcủa hst(n)ta được

Hst(z)=1

1−z−1−1

1−e−0,1 z−1+1

1−e−0,2 z−1.

Suy ra

H(z)=9,055917 ×10−3z−1(1 +0,90483747z−1)

1−1,7325682z−1+0,74081822z−2.

Hình 5.27 màn biểu diễn phục vụ tần số biên độ của G(p.)và H(z).

131

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_44” — 2012/6/11 — 18:01 — page 107 — #1

012345

10−3

10−2

10−1

100

Ω(rad)

|G(jΩ)|(dB)

“./figures/IIRnew_45” — 2012/6/11 — 18:01 — page 107 — #1

012345

10−3

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.27: Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ 5.11].

5.3 Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

Mục 5.2 đã trình diễn phương pháp không bao giờ thay đổi trong miền thời

gian để thiết kế bộ lọc số IIR thông qua khái niệm tương ứng giữa

miền tương tự và miền rời rạc của phục vụ xung hoặc phục vụ bậc

thang. Từ đó, thay khối mạng lưới hệ thống tương tự được màn biểu diễn bởi biến ptrong

biến hóa Laplace bởi một khối mạng lưới hệ thống rời rạc tương ứng màn biểu diễn bởi

biến ztrong biến hóa Z.

Mục này trình diễn một quan điểm khác trong thiết kế bộ lọc IIR

thông qua thiết lập sự tương quan giữa phương trình vi phân mô

132

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.3. Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

hình hóa khối mạng lưới hệ thống liên tục và phương trình sai phân quy mô hóa

khối mạng lưới hệ thống rời rạc. Cụ thể là tìm cách thay thế đạo hàm d/dt (tức là

ptrong miền biến hóa Laplace) trên miền liên tục bởi một biểu thức

tương tự trong miền rời rạc. Phương pháp thiết kế được xây dựng

trên quan điểm này gọi là phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính.

5.3.1 Biến đổi tuy nhiên tuyến tính

Trước hết, xét phương trình vi phân đơn thuần và giản dị sau:

d y(t)

dt =x(t).(5.64)

Lấy tích phân 2 vế của (5.64) cho kết quả

y(t)=y(t0)+Zt

x(u)du.(5.65)

Rời rạc hóa y(t)với chu kỳ luân hồi Tsvà sử dụng phương pháp tính tích phân

hình thang mô tả như trong Hình 5.28 để được

y(n)=y(n−1) +0,5Ts[x(n)+x(n−1)].(5.66)

Lấy biến hóa Zcủa y(n), ta được

Y(z)=Ts

1+z−1

1−z−1X(z).(5.67)

Kết quả (5.67) đã cho toàn bộ chúng ta biết toán tử tích phân trong miền biến hóa Laplace

1/ptương ứng với 0.5Ts(1+z−1)/(1−z−1)trong miền z. Như vậy, từ một

hàm truyền tương tự G(p.), ta xác lập được hàm truyền rời rạc H(z)

bởi

H(z)=G(p.)|p.=2

1−z−1

1+z−1

Chú ý rằng hoàn toàn có thể thế 2/Tsbằng bất kể thông số nào khác thì kết quả

vẫn tương ứng với phương pháp tính tích phân hình thang, tất yếu

với những trọng số khác. Đây là cơ sở của phương pháp biến hóa tuy nhiên

tuyến tính.

Về cơ bản phương pháp thiết kế bộ lọc số bằng phép biến hóa

tuy nhiên tuyến tính in như những phương pháp thiết kế không bao giờ thay đổi trong

133

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_46” — 2012/6/11 — 18:01 — page 108 — #1

x(t)

(n−1)TsnTs

Hình 5.28: Phân tích tích phân Hình thang.

miền thời hạn. Điểm chính yếu là xác lập cho được hàm truyền

G(p.)trong miền tương tự có những tính chất phục vụ những đặc tả của bài

toán thiết kế. Từ đó chỉ việc thế pbằng một biểu thức tương tự

theo zđể suy ra hàm truyền của cục lọc số mà ta muốn thiết kế.

Như đã nói trên, biểu thức toán học tương tự giữa pvà zlà

p.=C1−z−1

1+z−1.(5.68)

Phép biến hóa này nhằm mục đích chuyển hóa những gì xẩy ra trong mặt

phẳng pthành những hoạt động và sinh hoạt giải trí tương tự trong mặt phẳng

z. Đặt

p.=σ+jΩ(5.69)

z=r e jω(5.70)

Thế những biểu thức này vào trong phương trình (5.68), suy ra

σ=r2−1

r2+2rcosω+1(5.71)

Ω=C2rsinω

r2+2rcosω+1.(5.72)

134

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.3. Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

Sự tương ứng giữa mặt phẳng pvà mặt phẳng ztheo mối quan

hệ (5.71) và (5.72) được mô tả trên Hình 5.29, trong số đó những điểm a,b,

c,dvà etrong mặt phẳng ptương ứng với những điểm a0,b0,c0,d0và e0

trong mặt phẳng z. Ta thấy, σ>0tương ứng với r>1,σ=0với r=1

và σ<0với r<1. Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết rằng, nếu hàm truyền G(p.)

là ổn định và nhân quả thì phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính sẽ cho ta

hàm truyền H(z)cũng ổn định và nhân quả.

Ngoài ra, mối liên hệ Một trong những phục vụ tần số của cục lọc tương

tự, G(jΩ), và của cục lọc số, H(ejω), được xác lập bởi mối liên hệ sau

giữa Ωvà ω:

Ω=Csinω

1+cosω=Ctan ω

2.(5.73)

Như vậy, ta có

|G(jΩ)|Ω=Ctan ω

2=|H(ejω)|(5.74)

Mối liên hệ giữa Ωvà ωđược minh họa ở Hình 5.30. Bởi vì

H(ejω)có chu kỳ luân hồi là 2πvà |H(ejω)|đối xứng qua trục tung, nên ta chỉ

xét biến thiên theo ωtrên khoảng chừng [0;π]. Từ Hình 5.30, ta thấy ngay,

trong vùng ωnhỏ, ta có Ω≈C

2ω, tức là có quan hệ gần như thể tuyến tính.

Như vậy, trong dải thông thấp, những đặc tính ở dải thông thấp của

bộ lọc tương tự G(jΩ)cũng là những đặc tính của cục lọc số tương ứng

H(ejω). Tuy nhiên, trong dải thông cao, thì mối liên hệ giữa Ωvà ω

là phi tuyến, nên sẽ tạo ra những độ méo mà ta cần để ý quan tâm lúc thiết

kế. Hình 5.31 mô tả sự rất khác nhau giữa G(jΩ)và H(ejω), tức mối liên

hệ tuyến tính hay phi tuyến giữa G(jΩ)và H(ejω)theo từng dải tần

rất khác nhau. Lưu ý là trong hình này, miền xác lập của Ωlà [0; ∞],

tuy nhiên để tiện so sánh với ω, ta chỉ xem xét trong mức chừng [0; π].

5.3.2 Thiết kế theo biến hóa tuy nhiên tuyến tính

Thiết kế H(z)bằng phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính tức là

chọn những thông số Cvà Tsthế nào để chuyển được những tính chất

của hàm phục vụ tần số tương tự G(jΩ)vào hàm phục vụ tần số số

H(ejω).

Phương pháp thứ nhất là áp đặt giá trị của phục vụ tần số của

bộ lọc số tại một tần số cho trước. Thông thường, riêng với những bộ lọc

135

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_47” — 2012/6/11 — 18:01 — page 109 — #1

Ω

c(∞)

e(−∞)

mặt phẳng p.

“./figures/IIRnew_48” — 2012/6/11 — 18:01 — page 109 — #1

ℜ

ℑ

ejω

mặt phẳng z

Hình 5.29: Mối liên hệ giữa pvà zqua phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính.

thông thấp và thông cao, tần số đặc biệt quan trọng này thường được chọn là tần

số cắt. Giả sử ta muốn có phục vụ tần số tương tự và phục vụ tần số

số . bằng nhau tại Ωrvà ωr. Thông số Csẽ được xác lập bởi:

C=Ωrcothωr

2i=Ωrcot·πFr

Fs¸=Ωrcot·π

FN¸,(5.75)

trong số đó Fr(Hz) là tần số vật lý của cục lọc tương tự (Fr=Ωr/2π) và FN

136

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.3. Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

“./figures/IIRnew_49” — 2012/6/11 — 18:01 — page 110 — #1

Ω

Ω=Ctan ω

Hình 5.30: Mối liên hệ giữa Ωvà ω.

“./figures/IIRnew_50” — 2012/6/11 — 18:01 — page 110 — #1

Ω,ω

|G(jΩ)|

|H(ejω)|

Hình 5.31: Mối liên hệ giữa |G(jΩ)|và |H(ejω)|.

là tần số Nyquist (FN=F2/2). Phương pháp này sẽ không còn yên cầu phải

thay đổi thang tần số để sở hữu tầm khoảng chừng tần số tương ứng chính bới thang tần

số đã được tự thay đổi bởi giá trị của Cvừa được xem xong. Phương

pháp này tương đối thuận tiện vì tránh việc phải kiểm soát và điều chỉnh nhiều.

Phương pháp thứ hai là thế Cbằng Ts/2 trong (5.73), trong lúc vẫn

bảo toàn được những tính chất trong dải thông thấp nhưng không

137

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

thể chọn một ràng buộc như được mô tả trong phương pháp thứ nhất.

Phương pháp này hơi phiền phức về mặt định lượng vì ta không còn mối

liên hệ ngặt nghèo giữa tần số tương tự và tần số số.

Sau đấy là một số trong những ví dụ về phương pháp thiết kế tuy nhiên tuyến tính.

Cần nhớ rằng thiết kế bộ lọc số nhằm mục đích sử dụng vào những vận dụng

rõ ràng, tức là bộ lọc hoạt động và sinh hoạt giải trí trong một môi trường tự nhiên vạn vật thiên nhiên mà phần lớn

những tín hiệu là tương tự. Vì vậy, khái niệm tần số tương tự F=Ω/2π,

khái niệm tần số lấy mẫu Fs=1/Ts, tần số Nyquist FN=Fs/2 (còn gọi

là tần số gập phổ), góc số ω=ΩTsvà tần số số ν=F/FN=ω/π.

Lưu ý rằng, về mặt lý thuyết, tần số số được định nghĩa là F/Fs,

nghĩa là, chỉ quan sát biến thiên tần số số trong mức chừng [0;0,5].

Tuy nhiên, trong thực tiễn tính toán (như khi sử dụng MATLAB),

người ta đổi thang quan sát thành [0;1]. Vì vậy, trong giáo trình này,

tần số số νđược định nghĩa là tần số vật lý được chuẩn hóa theo FN,

tức là ν=F/FN=ω/π.

Ví dụ 5.12 Dùng phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính để thiết kế

một bộ lọc số thông thấp nhờ vào một trong những bộ lọc Butterworth tương tự

bậc 2 có tần số cắt 3 dB là 50 Hz, biết rằng tần số lấy mẫu là 500 Hz.

Bộ lọc tương tự Butterworth bậc 2 chuẩn hóa có hàm truyền là

G(p.)=1

1+p2p+p2.

Tần số chuẩn hóa là Ωr=1rad/s, tương ứng với tần số Fr=50 Hz của

bộ lọc số. Lúc thiết kế ta phải để ý quan tâm tới điểm này. Tần số gập phổ là

FN=500

2=250 Hz.

Công thức (5.75) cho kết quả

C=1×cot·π

250 ¸=3,0776835.

Biến đổi tuy nhiên tuyến tính tương ứng sẽ là

p.=3,0776835 1−z−1

1+z−1.

138

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.3. Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

“./figures/IIRnew_51” — 2012/6/11 — 18:01 — page 112 — #1

0 50 100 150 200 250

10−3

10−2

10−1

100

Ω(rad)

|G(jΩ)|(dB)

“./figures/IIRnew_52” — 2012/6/11 — 18:01 — page 112 — #1

0 50 100 150 200 250

10−3

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.32: Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ 5.12].

Sử dụng kết quả trên để biến hóa hàm G(p.), ta có hàm truyền của cục

lọc số tương ứng như sau.

H(z)=0,0674553(1 +2z−1+z−2)

1−1,14298z−1+0,412802z−2.

Kết quả mô phỏng của ví dụ này được trình diễn trong hình 5.32.

Ví dụ 5.13 Một khối mạng lưới hệ thống xử lý tín hiệu số hoạt động và sinh hoạt giải trí với tần số lấy

mẫu là 2000 Hz. Ta muốn thiết kế một bộ lọc số là một bộ phận của

139

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

khối mạng lưới hệ thống này, có hoạt động và sinh hoạt giải trí in như một bộ lọc thông thấp bậc 1 có

tần số cắt 3 dB nằm chung quanh 400 Hz. Tiêu chí quan trọng nhất

là phục vụ tần số ở giải thông thấp trông in như phục vụ tần số

của cục lọc tương tự tương ứng.

Để xử lý và xử lý bài toán này, ta nên sử dụng phương pháp biến

đổi tuy nhiên tuyến tính mà trong số đó hằng số Cđã được xác lập là 2/Ts.

Hàm truyền của cục lọc bậc 1 thông thấp là

G1(p.)=1

p.+1.

Tần số cắt 3 dB của cục lọc này là 400 Hz, do đó bộ lọc tương ứng có

hàm truyền là

G(p.)=G1³p

800π´=800π

p.+800π.

Với

C=2×2000 =4000,

phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính được xác lập bởi

p.=4000 1−z−1

1+z−1.

Suy ra hàm truyền của cục lọc số là

H(z)=0,385870(1 +z−1)

1−0,228261z−1.

Có thể kiểm chứng là bộ lọc số này còn có tần số cắt 3 dB tương ứng vào

khoảng chừng 357 Hz bằng phương pháp sử dụng mối liên hệ của Ωrvà Frtheo

công thức (5.75). Kết quả mô phỏng của ví dụ này được trình diễn

trong hình 5.33.

Ví dụ 5.14 Hàm truyền của một thiết bị phục vụ một khối mạng lưới hệ thống điều

khiển tương tự có dạng như sau

G(p.)=2

(p.+1)(p.+2) .

Ta sẽ xác lập hàm truyền H(z)của khối mạng lưới hệ thống biết rằng vận tốc lấy

mẫu là 10 Hz.

140

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.3. Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

“./figures/IIRnew_53” — 2012/6/11 — 18:01 — page 113 — #1

0 200 400 600 800 1,000

10−2

10−1

100

Ω(rad)

|G(jΩ)|(dB)

“./figures/IIRnew_54” — 2012/6/11 — 18:01 — page 113 — #1

0 200 400 600 800 1,000

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.33: Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ 5.13].

Ta thấy khối mạng lưới hệ thống này là một khối mạng lưới hệ thống thông thấp, vậy ta hoàn toàn có thể

sử dụng phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính để sở hữu hàm truyền số

tương ứng, với

C=2

Ts=20 Hz.

Phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính là

p.=20 1−z−1

1+z−1.

Suy ra hàm truyền khối mạng lưới hệ thống số là

H(z)=0,0043290043 (1 +z−1)2

1−1,7229437z−1+0,74025974z−2.

141

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

“./figures/IIRnew_55” — 2012/6/11 — 18:01 — page 114 — #1

012345

10−3

10−2

10−1

100

Ω(rad)

|G(jΩ)|(dB)

“./figures/IIRnew_56” — 2012/6/11 — 18:01 — page 114 — #1

012345

10−3

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.34: Đáp ứng tần số của cục lọc tương tự và bộ lọc số [Ví

dụ 5.14].

Kết quả mô phỏng của ví dụ này được trình diễn trong hình 5.34.

Ví dụ 5.15 Thiết kế một bộ lọc thông thấp và có cấu trúc tiếp nối đuôi nhau

với những thành phần có bậc không vượt quá hai, thỏa những thông số đặc

tả sau này:

a) Sử dụng phương pháp thiết kế biến hóa tuy nhiên tuyến tính vận dụng

vào bộ lọc Butterworth.

b) Độ suy giảm nhỏ hơn hoặc bằng 3dB trong mức chừng tần số 0

25 Hz. Độ suy giảm to nhiều hơn 38 dB cho F≥50 Hz.

142

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.3. Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

c) Tần số lấy mẫu là 200 Hz.

Trước tiên phải xác lập bậc của cục lọc Butterworth tương tự

ta cần sử dụng. Tần số Nyquist là

FN=200

2=100 Hz

và tần số số chuẩn hóa là

νr=Fr

FN=25

100 =0,25.

Hằng số Ccủa phép biến hóa tuy nhiên tuyến sẽ tiến hành chọn thế nào để νr

ứng với tần số cắt chuẩn hóa Ωr=1rad/s. Như thế, ta có

C=Ωrcot³π

2νr´=cot³π

8´=2,4142436.

Đặt

νa=50

100 =0,5

là tần số số thấp nhất của dải triệt, tức là tần số mà độ suy giảm bắt

đầu to nhiều hơn 38 dB. Tần số tương tự Ωatương ứng sẽ tiến hành xác lập

bởi

Ωa=Ctan³π

2νa´=2,4142136 ×tan³π

4´=2,4124136.

Kết quả trong phần lọc tương tự đã cho toàn bộ chúng ta biết một bộ lọc Butter-

worth bậc 5sẽ có độ suy giảm 38 dB từ tần số 2,41 rad/s. Hàm truyền

của cục lọc Butterworth tương ứng là

G(p.)=1

1+3,2360680p+5,2360680p2+5,2360680 p3+3,2360680 p4+p5.

Với phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính

p.=2,4142132 1−z−1

1+z−1,

ta suy ra hàm truyền của cục lọc số là

H(z)=1+5z−1+10z−2+10z−3+5z−4+z−5

B(z)

143

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

với

B(z)=1−2,4744163z−1+2,8110065z−2−1,7037724z−3+

+0,5444328z−4−0,07231569z−5.

Tiếp theo, ta xác lập cấu trúc của cục lọc theo yêu cầu sử dụng

những thành phần có bậc không vượt quá hai. Trong phần lọc tương tự

ta thấy hàm G(p.)hoàn toàn có thể phân tích thành ba thành phần đơn như sau

G(p.)=G1(p.)G2(p.)G3(p.),

trong số đó

G1(p.)=1

1+p.,

G2(p.)=1

1+0,6180340p+p2,

G3(p.)=1

1+1,6180340p+p2.

Áp dụng phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính cho từng thành phần ta sẽ có được

H(z)=a0H1(z)H2(z)H3(z),

trong số đó

a0=3,279216 ×10−3,

H1(z)=1+z−1

1−0,4142136z−1,

H2(z)=1+2z−1+z−2

1−1,1606108z−1+0,6413515z−2,

H3(z)=1+2z−1+z−2

1−0,8995918z−1+0,2722149z−2.

Nhận thấy dạng tiếp nối đuôi nhau này đơn thuần và giản dị hơn thật nhiều so với dạng tổng

hợp, cũng gọi là dạng trực tiếp. Như thế, lúc thiết kế dùng dạng nối

tiếp sẽ đơn thuần và giản dị hơn thật nhiều và có chất lượng bảo vệ hơn.

144

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.3. Phương pháp biến hóa tuy nhiên tuyến tính

Ví dụ 5.16 Thiết kế một bộ lọc thông thấp thỏa những Đk sau

đây:

a) độ suy giảm nhỏ hơn 1dB trong giải tần 0≤F≤0,5Hz,

b) độ suy giảm to nhiều hơn 40 dB trong giải tần F>10 Hz,

biết rằng vận tốc lấy mẫu 100 Hz. Xác định loại và bậc của cục lọc đáp

ứng đặc tả này.

Tần số Nyquist là

FN=100

2=50.

Với những đặc tả nêu ra ta hoàn toàn có thể dùng bộ lọc Chebychev có độ gợn

sóng 1dB và sẽ sử dụng biến hóa tuy nhiên tuyến tính để thiết kế. Tần số

số

νr=5

50 =0,1

là tần số tương ứng với Ωr=1rad/s của cục lọc tương tự. Đặt

νa=10

50 =0,2

là tần số tương ứng với độ suy giảm 40 dB và gọi Ωalà tần số tương

ứng của cục lọc tương tự. Hằng số Ccủa phép biến hóa tuy nhiên tuyến

tính là

C=cot³π

2×0,1´=6,3137515.

Sử dụng công thức (5.73) ta có tần số Ωatương ứng với νalà

Ωa=6,3137515 ×tan³π

2×0,2´=2,0514622 Hz.

Theo kết quả của phần lọc tương tự, bậc thấp nhất có độ suy giảm

vượt 40 dB từ tần số 2,05 Hz là 5.

Thật ra độ suy giảm tại tần số này với một bộ lọc Chebyshev

bậc 5vượt 46 dB, và như vậy những yêu cầu của đặc tả là hoàn toàn

được thỏa mãn nhu cầu. Đào sâu hơn một chút ít, ta thấy hoàn toàn có thể cho độ gợn sóng

nhỏ hơn 1dB mà vẫn thỏa mãn nhu cầu những đặc tả với một bộ lọc Chebyshev

bậc 5. Đúng vậy, kết quả trong lọc tương tự đã cho toàn bộ chúng ta biết với độ gợn sóng

0,5dB của một bộ lọc Chebyshev bậc 5có độ suy giảm 43 dB ở tần số

νa=0,2. Ta hoàn toàn có thể chọn một trong hai bộ lọc này tùy từng trường hợp

và những tiêu chuẩn khác.

145

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

5.4 Thiết kế bộ lọc số thông dải

Trong Mục này, sẽ xây dựng dựng một phương pháp thiết kế một bộ

lọc IIR thông dải nhờ vào một trong những bộ lọc thông thấp tương tự với phép

biến hóa tuy nhiên tuyến tính. Cách thiết kế trực tiếp nhất là như sau.

Phương pháp 5.5 – Thiết kế bộ lọc số IIR thông dải.

1. Chọn một bộ lọc thông thấp và dùng một phép biến hóa từ thông

thấp sang thông dải để sở hữu một bộ lọc tương tự thông dải phục vụ

những đặc tả mong ước.

2. Từ hàm truyền của cục lọc tương tự thông dải này ta sử dụng

phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính để suy ra hàm truyền của cục lọc

số tương ứng.

Quá trình thiết kế trên gồm hai bước, vì vậy cần để ý quan tâm sử dụng

những biến và những thông số thiết yếu. Để phân biệt rạch ròi hai phép

biến hóa tương ứng với hai bước thiết kế này, những thông số được định

nghĩa như sau.

•Fs(Hz): tần số lấy mẫu (Fs=Ωs/2π);

•FN(Hz): tần số Nyquist (FN=Fs/2);

•p.: biến Laplace của cục lọc tương tự thông thấp;

•λ(rads/s): tần số góc của cục lọc thông thấp (p.=jλ);

•s: biến Laplace của cục lọc tương tự thông dải;

•Ω(rads/s): tần số góc của cục lọc tương tự thông dải (s=jΩ);

•F=Ω/2π(Hz): tần số vật lý của cục lọc tương tự thông dải;

•λr(Hz): một tần số được chọn trước, nhờ vào đặc tả thiết kế,

của cục lọc tương tự thông thấp (thông thường là tần số cắt);

•Ω3và Ω1(rad/s): hai tần số của cục lọc tương tự thông dải tương

ứng với λrvà −λr(thông thường là những tần số định nghĩa dải

thông);

146

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.4. Thiết kế bộ lọc số thông dải

•Ω2(rad/s): tần số TT hình học (geometrical mean) của

dải thông (Ω2=pΩ1Ω3);

•ωlà tần số góc của cục lọc số (ω=Ω/Fs);

•ν: tần số số của cục lọc số (ν=F/FN);

•¯

f(Hz): tần số vật lý của cục lọc số ( ¯

f=νFN);

•¯

f1,¯

f2và ¯

f3: những tần số tương ứng với Ω1,Ω2và Ω3;

•ν1,ν2và ν3là những tần số tương ứng với ¯

f1,¯

f2và ¯

f3;

•B=¯

f3−¯

f1là dải thông vật lý của cục lọc số;

•b: dải thông số của cục lọc số (b=ν3−ν1=(¯

f3−¯

f1)/FN).

Áp dụng bước 1 trong Phương pháp 5.5, ta thế

p.=s+

Ω2

s.(5.76)

Đối với bước 2, ta sử dụng phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính là

s=C1−z−1

1+z−1(5.77)

và suy ra mối liên hệ giữa pvà znhư sau:

p.=C2+Ω2

C×

1+2µΩ2

2−C2

Ω2

2+C2¶z−1+z−2

1−z−2.(5.78)

Trước khi suy ra một số trong những kết quả thiết yếu, nhắc lại rằng mối liên hệ

của phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính là

Ω=Ctan³ω

2´=Ctan³π

2ν´.(5.79)

Biết rằng Ω2

2=Ω1Ω3, ta suy ra

tan2³π

2ν2´=tan³π

2ν1´×tan³π

2ν3´(5.80)

147

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

và

tan³ν3

2´−tan³ν1

2´=λr

C.(5.81)

Hằng số Cđược chọn sao cho Ω2của bộ lọc tương tự thông dải sẽ

tương ứng với tần số ¯

f2của bộ lọc số thông dải. Như vậy

C=Ω2cot³π

4ν2´.(5.82)

Tổng kết lại toàn bộ những kết quả, khiến cho ta suy từ một bộ lọc thông thấp

tương tự thành một bộ lọc số thông dải, thì phép biến hóa là

p.=D×1−Ez−1+z−2

1−z−2,(5.83)

trong số đó Dvà Eđược cho bởi

D=λrcotµπB

2FN¶=λrcotµπb

2¶,

E=2cosµπF2

FN¶=2cos(πν2),

hay màn biểu diễn theo những tần số định nghĩa dải thông là

D=λrcot³π

2(ν3−ν1)´,(5.84)

E=2cos¡π

2(ν3+ν1)¢

cos¡π

2(ν3−ν1)¢.(5.85)

Kết quả (5.83) nghĩa là từ hàm truyền G(p.)của cục lọc thông thấp

tương tự ta suy ra hàm truyền H(z)của cục lọc thông dải bằng phép

biến hóa sau này:

H(z)=G(p.)|p.=D×1−Ez−1+z−2

1−z−2

.(5.86)

Biểu thức (5.86) đã cho toàn bộ chúng ta biết rằng bậc của khối mạng lưới hệ thống rời rạc gấp hai bậc

của khối mạng lưới hệ thống tương tự. Hơn thế, mối liên hệ giữa thang tần số tương

tự (p.=jλ) và thang tần số số (z=ejΩTs) được xác lập bởi biểu thức

sau này

D=cos(πν2)−cos(πν)

sin(πν).(5.87)

Biểu thức (5.87) là một công cụ được sử dụng thường xuyên trong bài

toán thiết kế bộ lọc số thông dải. Sau đấy là một số trong những ví dụ minh họa

phương pháp này.

148

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.4. Thiết kế bộ lọc số thông dải

Ví dụ 5.17 Sử dụng loại bộ lọc Butterworth, ta muốn thiết kế một

bộ lọc số thông dải có tần số lấy mẫu 2kHz với những đặc tả như

a) Bộ lọc có dải thông từ 300 đến 400 Hz và tại hai tần số đầu và cuối

của dải thông thì độ suy giảm không được to nhiều hơn 3dB.

b) Độ suy giảm tối thiểu phải là 18 dB tại hai tần số 200 Hz và 500 Hz.

Trước hết, ta xác lập tần số Nyquist

FN=Fs

2=1000 Hz.

Tiếp đến ta tính những tần số số ν1,ν2và ν3. Theo đặc tả (a) của yêu

cầu thiết kế, ta chọn được hai tần số vật lý của cục lọc số là ¯

f1và ¯

tương ứng với 300 Hz và 400 Hz. Từ đó, suy ra những tần số số tương

ứng

ν1=

FN=0,3,

ν3=

FN=0,4.

Do đó ta có dải thông số

b=ν3−ν1=0,1.

Dùng phương trình (5.80), ta xác lập được tần số TT hình

học

ν2=0,34797502.

Các thông số Dvà Ecủa phép biến hóa tuy nhiên tuyến tính được xác

định bởi hai phương trình (5.84) và (5.85). Với tần số cắt chuẩn hóa

λr=1rad/s, ta suy ra

D=λr=cot(0,05π)=6,31375152,

E=2cos(0,35π)

cos(0,05π)=0,91929910.

Thông số ở đầu cuối ta phải xác lập là bậc của cục lọc Butter-

worth, tức là số nghiệm cực nên phải có. Dải thông số b=0,1liên hệ với

149

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

hàm truyền Butterworth chuẩn hóa có λr=1. Để xác lập bậc của cục

lọc, trước tiên ta phải xác lập những tần số số tương ứng với dải triệt

νavà νb. Theo đặc tả (b) của yêu cầu thiết kế, ta có những tần số vật lý

của cục lọc số tương ứng với dải triệt là ¯

fa=200 Hz và ¯

fb=500 Hz. Do

đó, ta có

νa=200

1000 =0,2,

νb=500

1000 =0,5.

Như vậy, vận dụng công thức (5.87) với νlấy những giá trị νavà νb

λa

D=cos(0,34797502π)−cos(0,2π)

sin(0,2π),

λb

D=cos(0,34797502π)−cos(0,5π)

sin(0,5π).

Từ đó tính ra được những tần số dải triệt chuẩn hoá của cục lọc tương

tự tương ứng là λa=−3,7527638 và λb=2,9021131. Ta biết rằng, đáp

ứng tần số biên độ của cục lọc tương tự có tính đối xứng qua trục tung.

Cho nên, giá trị biên độ tại λavà -λađều giống nhau, dẫn đến ta có

thể đổi dấu của kết quả của λathành λa=3,7527638. Bây giờ, riêng với

bộ lọc Butterworth, chính bới λb<λanên nếu lọc biên độ tại λbthỏa

Đk thiết kế (b) thì mặc nhiên thỏa Đk tại λa. Như thế

ta phải chọn bâc bộ lọc Butterworth thế nào để tại tần số chuẩn hóa

λbđộ suy thoái và khủng hoảng tối thiểu phải là 18 dB. Kết quả trong lọc tương tự

đã cho toàn bộ chúng ta biết bộ lọc Butterworth thông thấp tương tự bậc 2là thích ứng

với ràng buộc này tại vì phục vụ tần số tại λa=3,7527638 là nhỏ hơn

23 dB.

Cuối cùng, với bộ lọc Chebyshev bậc 2thỏa mãn đặc tả thiết kế,

ta có bậc của cục lọc số tương ứng là 4, và vận dụng phương trình (5.86)

cho ta hàm truyền của cục lọc số thông dải như sau:

H(z)=0,020083366(1 −z−2)2

B(z)

với

B(z)=1−1,63682036z−1+2,2376739z−2−1,3071151z−3

+0,64135154z−4.

150

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.4. Thiết kế bộ lọc số thông dải

Đáp ứng tần số của hàm truyền này được cho trong hình 5.35.

“./figures/IIRnew_57” — 2012/6/11 — 18:01 — page 122 — #1

0 0.511.522.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

ω(rads)

|H(ejω)|

(a)

“./figures/IIRnew_58” — 2012/6/11 — 18:02 — page 122 — #1

0 0.511.522.5 3

10−3

10−2

10−1

100

ω(rads)

|H(ejω)|(dB)

(b)

Hình 5.35: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải bậc 4[Ví dụ 5.17].

Ví dụ 5.18 Xác định loại và bậc của một bộ lọc số thông dải hoạt

động ở tần số 200 Hz với những thông số đặc tả sau này:

a) Độ suy giảm phải nhỏ hơn 1dB trong mức chừng từ 19 Hz tới 21 Hz,

151

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

b) Độ suy giảm phải to nhiều hơn 30 dB với những tần số thấp hơn 18 Hz

và cao hơn 22 Hz.

Ta có, tần số Nyquist là

FN=Fs

2=100.

Taị hai tần số của dải thông F1=19 Hz và F3=21 Hz, những tần số số

tương ứng là

ν1=

FN=0,19,

ν3=

FN=0,21.

Dải thông số là

b=ν3−ν1=0,02.

Tần số TT hình học, được xác lập bởi phương trình (5.80),

là ν2=0,19978361. Với λr=1rad/s, và sử dụng phương trình (5.84),

ta tính được

D=λr=cotµ0,02π

2¶=31,820516.

Tại những tần số cắt 18 Hz và 22 Hz, theo công thức (5.87) ta có

λa

D=cos(0,19978361π)−cos(0,18π)

sin(0,18π),

λb

D=cos(0,19978361π)−cos(0,22π)

sin(0,22π).

và suy ra λa=−2,0732504 và λb=1,9420640.

Cần phải bảo vệ độ suy giảm phải được thỏa tại λb. Chọn hàm

Chebyshev có độ gợn sóng 1dB và ta phải xác lập bậc thấp nhất thế

nào để sở hữu độ suy giảm 30 dB tại tần số 1,9420640. Kết quả trong phần

lọc tương tự đã cho toàn bộ chúng ta biết bộ lọc Chebyshev bậc 4hoàn toàn thỏa điều

kiện suy giảm (còn thừa thêm 2dB nữa). Tại tần số λa=2,0732504,

cũng với lập luận như Ví dụ 5.17 tương ứng với tần số cắt của dải

triệt, phục vụ tần số có độ suy giảm to nhiều hơn 35 dB. Như thế bộ lọc

số thông dải có bậc là 8. Hàm truyền H(z)hoàn toàn có thể suy ra thuận tiện và đơn thuần và giản dị như

trong Ví dụ 5.17.

152

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.5. Thiết kế bộ lọc số triệt dải

5.5 Thiết kế bộ lọc số triệt dải

Phần này sẽ triển khai phép biến hóa nhờ vào những kết quả của

phần trước nhằm mục đích thiết kế một bộ lọc số IIR triệt dải nhờ vào hàm

truyền của cục lọc tương tự thông thấp. Tất cả những thông số được định

nghĩa trong Mục 5.4 sẽ tiến hành sử dụng ở đây ngoại trừ một số trong những điều

chỉnh nhỏ như sau:

•Ω1,Ω2và Ω3(rad/s) tương ứng với dải triệt.

•slà biến Laplace của hàm truyền tương tự triệt dải.

Chi tiết triển khai phép biến hóa là tương tự như phần trước

ngoại trừ phép biến hóa thành hàm truyền triệt dải được phối hợp

trực tiếp với phép biến đôi tuy nhiên tuyến tính. Kết quả đã có được cho ra

dạng tổng quát của phép biến hóa như sau:

p.=D1(1 −z−2)

1−E1z−1+z−2.(5.88)

Các hằng số D1và E1trong (5.88) được xem theo dải triệt bvà tần

số trung bình hình học ν2như sau:

D1=λrtanµπ

FN¶=λrtan³π

2b´,(5.89)

E1=2cosµπF2

FN¶=2cos(πν2).(5.90)

Cũng hoàn toàn có thể màn biểu diễn D1và E1theo những tần số cắt của dải triệt như

D1=λrtan³π

2(ν3−ν1)´,(5.91)

E1=2cos¡π

2(ν3+ν1)¢

cos¡π

2(ν3−ν1)¢.(5.92)

Các tần số số ν1,ν2và ν3được nối kết với nhau thông qua biểu thức

sau này:

tan2³π

2ν2´=tan³π

2ν1´tan³π

2ν3´.(5.93)

153

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Như vậy bậc của cục lọc số triệt dải sẽ gấp hai bậc của cục lọc thông

thấp mà ta sử dụng để biến hóa.

Ví dụ 5.19 (Thiết kế bộ lọc số IIR triệt dải)

Một khối mạng lưới hệ thống xử lý tín hiệu số hoạt động và sinh hoạt giải trí với tần số lấy mẫu 1 kHz.

Hệ thống này cần vô hiệu thành phần xung quanh 100 Hz. Ta muốn

xây dựng một bộ lọc số để thể hiện tiềm năng này với những đặc tả sau:

a) Tại tần số 95 Hz và 105 Hz thì độ suy giảm là 3 dB;

b) Hàm truyền của cục lọc số có bậc là 2.

Bởi vì hàm truyền bộ lọc số là bậc 2 nên hàm truyền bộ lọc tương

tự là bậc 1 và có dạng

G(p.)=1

1+p..

trong số đó tần số cắt 3dB là λr=1rad/s. Tần số Nyquist là FN=

500 Hz. Các tần số cắt của cục lọc số tương ứng với 95 Hz và 105 Hz là

ν1=95

500 =0,19

ν3=105

500 =0,21.

Từ đó tính được D1và E1như sau:

D1=tan³π

2(0.21 +0.19)´=0,031426266,

E1=

2cos³π

2(0.21 +0.19)´

cos³π

2(0.21 −0.19)´=1,61883279.

Thế D1và E1vào (5.88) ta suy ra hàm truyền bộ lọc số triệt dải là

H(z)=0,96953125(1 −1,6188328z−1+z−2)

1−1,5695090z−1+0,9390625z−2,

được màn biểu diễn như trên hình 5.36.

154

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.6. Thiết kế bộ lọc số thông cao

“./figures/IIRnew_59” — 2012/6/11 — 18:02 — page 125 — #1

0 0.511.5 2 2.5 3

10−2

10−1

100

|H(ejω)|(dB)

Hình 5.36: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc triệt dải [Ví dụ 5.19].

5.6 Thiết kế bộ lọc số thông cao

Theo lập luận của thiết lập bộ lọc thông thấp ta thấy ngay phép

biến hóa ngược lại sẽ cho ta bộ lọc thông cao. Như thế phép biến hóa

tuy nhiên tuyến tính biến một bộ lọc tương tự thông thấp Glp(p.)thành

một bộ lọc số thông cao Hhp(z)là

p.=C1+z−1

1−z−1.(5.94)

Nhắc lại rằng, λlà tần số của Glp(p.)và νlà tần số của Hhp(z).

Mối liên hệ giữa hai biến này là

|λ|=Ccotµπ

FN¶=Ccot³π

2ν´.(5.95)

Hằng số biến hóa Cđược xác lập bởi quy tắc là |Glp(jλ)|tại tần số

λ=λrbằng |Hhp(ejω)|tại tần số ν=Fr. Lưu ý rằng, λrlà tần số cắt

của dải thông thấp của Glp(p.)và ngược lại Frlà tần số cắt của dải

thông cao của Hhp(z). Như vậy

C=λrtanµπ

FN¶=λrtan³π

2νr´.(5.96)

155

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Theo những kết quả này, bậc của cục lọc số Hhp(z)bằng bậc của Glp(p.)

được sử dụng trong quy trình thiết kế.

Ví dụ 5.20 (Thiết kế bộ lọc số IIR thông cao)

Thiết kế bộ lọc số thông cao nhờ vào bộ lọc tương tự thông thấp

Butterworth bậc 2có tần số cắt 3dB là 200 Hz. Tần số lấy mẫu của

khối mạng lưới hệ thống là 500 Hz.

Theo Đk thiết kế thì bộ lọc thông thấp Butterworth có

hàm truyền là

G(p.)=1

1+p2p+p2.(5.97)

Tần số cắt tương tự λr=1rad/s. Thông qua biến hóa sẽ trở thành

Fr=200 Hz. Tần số Nyquist là FN=250 Hz, cho nên vì thế

νr=200

250 =0,8.

Hằng số Clà

C=tan³π

20,8´=3,0776835

và phép biến hóa (5.94) trở thành

p.=3,0776835 1+z−1

1−z−1.(5.98)

Thế (5.98) vào (5.97), ta suy ra hàm truyền của cục lọc thông cao

tương ứng là

H(z)=0,0674553(1 −2z−1+z−2)

1+1,14298z−1+0,412802z−2.

Kết quả được mô phỏng như Hình 5.37.

156

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

5.6. Thiết kế bộ lọc số thông cao

“./figures/IIRnew_60” — 2012/6/12 — 10:20 — page 127 — #1

0 0.511.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

ω(rad)

|H(ejω)|

(a)

“./figures/IIRnew_61” — 2012/6/12 — 10:20 — page 127 — #1

0 0.511.5 2 2.5 3

10−3

10−2

10−1

100

ω(rad)

|H(ejω)|(dB)

(b)

Hình 5.37: Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc số thông cao [Ví

dụ 5.20].

157

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

Bài tập chương 5

5.1. Một khối mạng lưới hệ thống rời rạc hoạt động và sinh hoạt giải trí với vận tốc lấy mẫu 100 Hz. Ta

muốn lập một chương trình để mô phỏng khối mạng lưới hệ thống có hàm truyền

G(s)=10

s(s+10) .

Đồng thời, ta muốn khối mạng lưới hệ thống số và khối mạng lưới hệ thống tương tự ứng xử giống

nhau ở miền tần số thông thấp.

a) Hãy tìm đáp án với những phương pháp rất khác nhau sau này: biến

đổi tuy nhiên tuyến tính, không bao giờ thay đổi phục vụ xung và không bao giờ thay đổi phục vụ bậc

thang.

b) So sánh hiệu suất cao của ba đáp án này.

5.2. Xác định hàm truyền khối mạng lưới hệ thống số của bài tập 5.1 thế nào để

phục vụ tần số biên độ của hàm truyền số và hàm truyền tương tự

giống nhau ở 400 Hz.

5.3. Một bộ lọc tương tự có hàm truyền

G(s)=s+2

(s+1)2+16 .

a) Hãy thiết kế bộ lọc số từ bộ lọc tương tự này theo phương pháp bất

biến phục vụ xung. Cho chu kì lấy mẫu T=0,1s.

b) Hãy nhận xét tính ổn định của cục lọc vừa thiết kế. Lý giải nguyên do.

c) Thực thi bộ lọc dạng tuy nhiên tuy nhiên và dạng tiếp nối đuôi nhau.

5.4. Một bộ lọc tương tự có điểm không tại s= −0,1và hai điểm

cực tại -0,1±j3. Tìm hàm truyền của cục lọc số IIR thu được bằng

phương pháp không bao giờ thay đổi phục vụ bậc thang với giả thiết chu kì lấy

mẫu T=0,1s.

5.5. Xác định bậc của cục lọc số thông thấp hoạt động và sinh hoạt giải trí với tần số lấy

mẫu 2kHz có những thông số đặc tả sau này:

158

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Bài tập

a) Thiết kế dùng phương pháp tuy nhiên tuyến tính nhờ vào bộ lọc tương

tự thông thấp Chebyshev.

b) Độ suy giảm nhỏ hơn 2dB cho dải tần từ 0đến 250 Hz.

c) Độ suy giảm to nhiều hơn 70 dB lúc tần số to nhiều hơn 500 Hz.

5.6. Xác định bậc của cục lọc số thông thấp hoạt động và sinh hoạt giải trí với tần số lấy

mẫu 1kHz có những thông số đặc tả sau này:

a) Thiết kế dùng phương pháp phục vụ không bao giờ thay đổi xung nhờ vào bộ

lọc tương tự thông thấp Chebyshev.

b) Độ suy giảm nhỏ hơn 2dB cho dải tần từ 0đến 120 Hz.

c) Độ suy giảm to nhiều hơn 50 dB lúc tần số to nhiều hơn 250 Hz.

5.7. Xác định bậc của cục lọc số thông cao hoạt động và sinh hoạt giải trí với tần số lấy

mẫu 4kHz có những thông số đặc tả sau này:

a) Thiết kế dùng phương pháp không bao giờ thay đổi phục vụ bậc thang nhờ vào

bộ lọc tương tự thông thấp Chebyshev.

b) Độ suy giảm nhỏ hơn 3dB cho dải tần từ là 1,5kHz đến 2kHz.

c) Độ suy giảm to nhiều hơn 70 dB lúc tần số nhỏ hơn 1,2kHz.

5.8. Thiết kế bộ lọc số hoạt động và sinh hoạt giải trí với tần số lấy mẫu 2kHz có những

thông số đặc tả sau này:

a) Thiết kế dùng phương pháp tuy nhiên tuyến tính nhờ vào bộ lọc tương

tự thông thấp Chebyshev.

b) Độ suy giảm nhỏ hơn 3dB cho dải tần từ 790 đến 810 Hz.

c) Độ suy giảm to nhiều hơn 16 dB lúc tần số nhỏ hơn 780 Hz và to nhiều hơn

820 Hz.

5.9. Thiết kế bộ lọc số hoạt động và sinh hoạt giải trí với tần số lấy mẫu 2kHz có những

thông số đặc tả sau này:

a) Thiết kế dùng phương pháp không bao giờ thay đổi phục vụ bậc thang nhờ vào

bộ lọc tương tự thông thấp Chebyshev.

159

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 5. Thiết kế bộ lọc số IIR

b) Độ suy giảm nhỏ hơn 3dB cho dải tần từ 790 đến 810 Hz.

c) Độ suy giảm to nhiều hơn 16 dB lúc tần số nhỏ hơn 780 Hz và to nhiều hơn

820 Hz.

5.10. Xét khối mạng lưới hệ thống được minh họa ở hình 5.38. Đầu vào là một tín

hiệu rời rạc và được chuyển thành một tín hiệu liên tục bởi một bộ

lọc lưu bậc 0. Tín hiệu này được áp vào một trong những khối mạng lưới hệ thống tương tự có

hàm truyền G(p.)và đầu ra được lấy mẫu cho tín hiệu y(n). Chứng

minh rằng hàm truyền H(z)của khối mạng lưới hệ thống này còn có dạng in như kết

quả của tiêu chuẩn không bao giờ thay đổi bậc thang.

“./figures/IIRnew_62” — 2012/6/11 — 18:02 — page 130 — #1

x(n)−RG(p.)y(n)

z−T

Hình 5.38: Hệ thống cần xác lập hàm truyền tương tự.

160

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ FIR

Chương 5 trình diễn một số trong những phương pháp thiết kế những bộ lọc số

thuộc họ IIR nhờ vào những bộ lọc tương tự. Hướng thiết kế này sẽ không còn

những thừa kế nhiều kiến thức và kỹ năng và phương pháp thiết kế những bộ

lọc tương tự đã được nghiên cứu và phân tích nhiều trong nửa thời điểm đầu thế kỷ 20 mà

còn được cho phép thiết kế những bộ lọc số có phục vụ biên độ như mong

muốn.

Tuy nhiên, khi quan tâm thêm đến phục vụ pha ta gặp phải trở

ngại là họ khối mạng lưới hệ thống IIR có độ trễ pha phi tuyến theo tần số. Điều này

gây trở ngại khi thực thi lọc số trong những vận dụng yên cầu đáp

ứng tần số của khối mạng lưới hệ thống có độ méo pha tối thiểu, như thường gặp

trong những khối mạng lưới hệ thống truyền dẫn tài liệu. Không những thế, một số trong những hệ

thống còn yên cầu độ méo pha tuyến tính. Nhu cầu này dẫn đến việc

quan tâm đến những bộ lọc họ FIR.

Như sẽ thấy, thiết kế một bộ lọc FIR có pha tuyến tính là tương

đối thuận tiện và đơn thuần và giản dị. Một hàm truyền FIR thường có dạng

H(z)=b0+b1z−1+b2z−2+···+ bnz−N.(6.1)

Rõ ràng ta không thể dùng những phương pháp nhờ vào những hàm

truyền tương tự để thiết kế bộ lọc có hàm truyền như trong 6.1.

Thay vì vậy, phương pháp thiết kế những bộ lọc FIR được thực thi một

cách trực tiếp trong miền rời rạc, tức là xác lập trực tiếp những thông số

b0,b1, ..., bN, nhờ vào những đặc tả thông số thiết kế.

161

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Chương này trình diễn ba phương pháp cơ bản được sử dụng đại

trà trong thực tiễn, đó là phương pháp hiên chạy cửa số, phương pháp lấy mẫu

trên miền tần số và phương pháp Parks–McClellan. Phương pháp

hiên chạy cửa số áp đặt những hiên chạy cửa số trong miền thời hạn rời rạc để xác lập những

thông số bk. Phương pháp này về mặt cơ bản rất dễ dàng hiểu. Hơn nữa, nó

có những vận dụng quan trọng liên quan đến phân tích phổ của một

tín hiệu. Vì thế, làm rõ phương pháp sử dụng hiên chạy cửa số giúp ta làm rõ

hơn những phương pháp phân tích phổ cổ xưa. Phương pháp lấy mẫu

trên miền tần số thực thi việc lấy mẫu phục vụ tần số của một bộ

lọc lý tưởng ta mong ước. Phương pháp Parks–McClellan hoàn toàn có thể sử

dụng cho những trường hợp mà độ ràng buộc ngặt nghèo hơn phương

pháp hiên chạy cửa số, như độ gợn sóng trong những dải tần rất khác nhau. Phương

pháp này, hầu hết sử dụng phương pháp xấp xỉ Chebyshev để áp đặt

những gợn sóng này.

6.1 Phương pháp hiên chạy cửa số

6.1.1 Bộ lọc lý tưởng

Để làm rõ phương pháp hiên chạy cửa số, xét bộ lọc FIR lý tưởng có đáp

ứng tần số Hid(ejω)tuần hoàn với chu kỳ luân hồi 2πvà được định nghĩa trong

khoảng chừng [−π,π]như sau

Hid(ejω)=(1,|ω| ≤ ωc

0,ωc<|ω|≤ π.(6.2)

Hình 6.1 mô tả Hid(ejω). Do Hid(ejω)là một hàm tuần hoàn có chu kỳ luân hồi

2π, khai triển nó thành chuỗi Fourier

Hid(ejω)=∞

n=−∞

hid(n)e−j nω,(6.3)

trong số đó

hid(n)=1

2πZπ

−π

Hid(ejω)ej nωdω.(6.4)

162

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_0” — 2012/7/5 — 4:45 — page x — #1

Hid(ejω)

ωc

−ωc

−π π

Hình 6.1: Bộ lọc lý tưởng.

Thế Hid(ejω)của cục lọc lý tưởng được định nghĩa trong biểu thức (6.2)

vào biểu thức (6.4) cho ta

hid(n)=1

2πZωc

−ωc

ejnωdω

=2νcsinc(2nνc),(6.5)

trong số đó νc=ωc/2πvà

sinc(x)=sin(πx)

πx.(6.6)

Biểu thức (6.3) đã cho toàn bộ chúng ta biết hid(n)đó đó là phục vụ xung của cục lọc lý

tưởng. Như thế, hàm truyền Hid(z)của cục lọc có dạng

Hid(z)=∞

n=−∞

hid(n)z−n.(6.7)

Rõ ràng, Hid(z)không nhân quả và có phục vụ xung vô hạn, vì vậy

không thể thực thi được bộ lọc này về mặt điện tử.

Theo lý thuyết chuỗi Fourier, hid(n)suy giảm theo nvới biến

thiên hyperbol. Khi nvượt qua một mức Mnào đó, những thông số hid(n)

hoàn toàn có thể xem như không đáng kể về mặt vật lý. Với nhận định này, ta

hoàn toàn có thể xấp xỉ hàm truyền Hid(z)bởi H(z)như sau mà vẫn đồng ý

được:

H(z)=

n=−M

hid(n)z−n≈Hid(z).(6.8)

163

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Gọi h(n)là phục vụ xung của H(z), ta có

h(n)=(hid(n),|n| ≤ M,

0,|n| > M.(6.9)

Tiếp theo, cần tính phục vụ tần số của cục lọc H(z). Từ kết

quả (6.5), ta suy ra hid(n)là hàm chẵn (đối xứng qua trục tung),

do đó h(n)cũng là hàm chẵn, nghĩa là h(n)=h(−n). Do đó, ta có

phục vụ tần số của H(z)có dạng

H(ejω)=

n=−M

h(n)e−jnω

=h0+

n=1

h(n)(e−j nω+ejnω)

=h0+2

n=1

h(n)cos(nω).(6.10)

Có thể kết luận rằng, lúc phục vụ xung của một bộ lọc có tính đối

xứng, phục vụ tần số của cục lọc này là một hàm thực. Như thế, đáp

ứng pha tần số của cục lọc chỉ có hai trị số: bằng 0 lúc phục vụ là

dương hoặc bằng πlúc phục vụ là âm. Đáp ứng tần số H(ejω)cho

bởi (6.10) được mô tả trong hình 6.2.

“./figures/FIR_1” — 2012/7/5 — 4:46 — page xii — #1

H(ejω)

ωc

−ωc

−π π

Hình 6.2: Đáp ứng tần số của khối mạng lưới hệ thống xấp xỉ.

Ta thấy H(ejω)có mức giá trị âm tương đối nhỏ (cho Mlớn). Như

thế, tác động của pha trong dải thông này sẽ ảnh hưởng không đáng

164

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

kể tới chất lượng của khối mạng lưới hệ thống. Vì vậy, trong quy trình thiết kế ta

không cần quan tâm đến dải tần mà hàm truyền có mức giá trị âm nhưng

không đáng kể.

Quay trở lại với hàm truyền xấp xỉ H(z)được cho ở biểu thức (6.8),

thấy rằng nó không nhân quả. Tuy nhiên, vì nó khởi đầu tại thuở nào

điểm hữu hạn n= −Mnên hoàn toàn có thể thuận tiện và đơn thuần và giản dị biến nó thành nhân quả

bằng phương pháp làm trễ Mbước. Nhắc lại rằng khái niệm này đã được

trình diễn trong phần (3.5.3) của chương 3. Chính vì vậy, ta sẽ dùng

trực tiếp dạng đã cho trong biểu thức (6.8) để thiết kế bộ lọc FIR mà

không nhất thiết phải quan tâm đến tính chất không nhân quả của

nó. Để làm rõ hơn điều này, hoàn toàn có thể tính toán toán học như sau.

Hnq(z)=z−MH(z)(6.11)

n=0

hnq(n)z−n(6.12)

Từ những biểu thức (6.8) và (6.11), ta có

hnq(n)=h(n−M).(6.13)

Nếu đặt N=2M, ta có

hnq(n)=hµn−N

2¶.(6.14)

Đáp ứng tần số của Hnq(ejω)và H(ejω)giống nhau và mối liên hệ của

pha của chúng là

Hnq(ejω)=H(ejω)−N

2ω.(6.15)

Nếu không quan tâm đến dải tần mà pha của H(ejω)có mức giá trị âm

thì về mặt thực tiễn hoàn toàn có thể thấy ngay pha của Hnq(ejω)là tuyến tính.

Và đấy là tính chất mong đợi khi thiết kế một bộ lọc nhằm mục đích vận dụng

vào bất kể khối mạng lưới hệ thống xử lý tín hiệu.

6.1.2 Phương pháp thiết kế hiên chạy cửa số

Phương pháp thiết kế bộ lọc FIR ta vừa thấy nhằm mục đích xấp xỉ đáp

ứng xung vô hạn hid(n)của cục lọc lý tưởng Hid(ejω)bằng phương pháp vô hiệu

165

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

những hid(n)lúc |n| > Mđể được một phục vụ xung hữu hạn h(n). Đáp

ứng tần số H(ejω)của cục lọc xấp xỉ h(n)này là một hàm số thực có

thể có trị số âm và có nhiều gợn sóng trong dải thông cũng như dải

triệt (xem hình 6.2). Hiện tượng này xuất hiện chính bới h(M)6= 0lúc

n=Mvà h(n)=0lúc n>M, nghĩa là h(n)bị mất liên tục tại M.

Để giảm thiểu ảnh hưởng của phương pháp xấp xỉ này ta hoàn toàn có thể điều

chỉnh hid(n)bởi những trọng số w(n)để sở hữu

h(n)=w(n)hid(n).(6.16)

Trong miền tần số, phương trình (6.16) tương tự với

H(ejω)=1

2πZπ

−π

Hid(ejθ)W(ej(ω−θ))dθ(6.17)

Chọn w(n)thế nào để phục vụ những tiêu chuẩn thiết kế tối ưu tương

ứng được gọi là phương pháp hiên chạy cửa số, và w(n)được gọi là hiên chạy cửa số thiết

kế. Đúng thế, biến hóa Fourier của h(n)là tích chập của W(ejω)và

Hid(ejω)và tích chập này sẽ làm trơn những gợn sóng của Hid(ejω)mà ta

đã quan sát trong hình 6.2.

Những tiêu chuẩn thường gặp như: dải triệt phải có độ suy giảm

cao nhất; hoặc dải thông có độ gợn sóng thấp nhất; hoặc vận tốc suy

giảm trong dải chuyển tiếp là lớn số 1. Phần tiếp theo sẽ trình diễn

rõ hơn về nhiều chủng loại hiên chạy cửa số và tác động của chúng.

Cửa sổ chữ nhật

Hàm hiên chạy cửa số chữ nhật, ký hiệu là rect(t), được định nghĩa như

rect(t)=(1,|t| ≤ 1

0,|t|> 1

(6.18)

Phương pháp xấp xỉ vừa mới được trình diễn ở trên tương ứng với sử dụng

hiên chạy cửa số chữ nhật wcn(n)trong miền rời rạc sẽ là

wcn(n)=rect ³n

2M´.(6.19)

Các hàm rect(t)và wcn(n)được mô tả trong hình 6.3.

166

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_2” — 2012/7/5 — 4:46 — page xiv — #1

rect(t)

−0,5 0,5

(a) rect(t)

“./figures/FIR_3” — 2012/7/5 — 4:46 — page xiv — #1

wcn(n)

−M M

(b) wcn(n)

Hình 6.3: Hàm chữ nhật rect(t)và hiên chạy cửa số chữ nhật wcn(n).

Đáp ứng tần số của hiên chạy cửa số wcn(n)được xem ra

Wcn(ejω)=sin(Lω/2)

sin(ω/2) ,(6.20)

trong số đó L=2M+1là chiều dài của wcn(n)tương ứng với chiều dài của

bộ lọc xấp xỉ. Hình 6.4 màn biểu diễn Wcn(ejω)trong mức chừng ν=[−0,5;0,5].

Đáp ứng tần số Wcn(ejω)(theo cty dB) có một số trong những tính chất

a) Có Mđiểm cực lớn;

b) Bề rộng búp đó đó là 2/M;

c) Đáp ứng tần số cắt trục hoành tại 2Mđiểm cách nhau 1 khoảng chừng

là một trong/L;

d) Diện tích của Wcn(ejω)là một trong và đạt trị cực lớn Ltại gốc;

e) Tại tần số số ν=±0,5(tức là ω=±π), Wcn(ejω)có trị bằng 1lúc M

167

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_4” — 2012/7/5 — 4:46 — page xiv — #1

−0.4−0.2 0 0.2 0.4

|H(ejω)|

L=7

L=15

L=21

(a)

“./figures/FIR_5” — 2012/7/5 — 4:46 — page xiv — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−60

−40

−20

H(ejω)(dB)

L=7

L=15

L=21

(b)

Hình 6.4: Đáp ứng tần số Wcn(ejω)của hiên chạy cửa số chữ nhật wtg(n).

chẵn và bằng −1lúc Mlẻ;

g) Lúc Mtăng thì trị cực lớn tăng và bề rộng của búp chính giảm. Tỷ

lệ của trị cực lớn của búp chính và búp phụ dịch chuyển giữa 4(lúc M

nhỏ) và 4,71 (tức là 13,5dB lúc Mrất lớn). Lúc Mtiến về vô cực thì

Wcn(ejω)tiến về xung Dirac cty.

168

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

Cửa sổ tam giác

Hàm tam giác, ký hiệu là tri(t), được định nghĩa như sau:

tri(t)=(1−|t|,|t|≤1

0,|t|>1(6.21)

Sử dụng hiên chạy cửa số tam giác wtg(n), còn gọi là hiên chạy cửa số Barlett, trong miền

rời rạc như sau:

wtg(n)=tri ³n

2M+1´.(6.22)

Cửa sổ này cũng hoàn toàn có thể được xem bằng tích chập của hai hiên chạy cửa số chữ

nhật theo công thức

wtg(n)=1

2M+1rect³n

2M´∗rect³n

2M´.(6.23)

Hình 6.5 mô tả tri(t)và wtg(n).

“./figures/FIR_6” — 2012/7/5 — 4:47 — page xv — #1

tri(t)

−1 1

(a) tri(t)

“./figures/FIR_7” — 2012/7/5 — 4:47 — page xv — #1

wtg(n)

−2M−1 2M+1

(b) wtg(n)

Hình 6.5: Hàm tam giác tri(t)và hiên chạy cửa số tam giác wtg(n).

169

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Áp dụng kết quả phục vụ tần số của wcn(n)trong công thức (6.20)

và màn biểu diễn của wtg(n)trong (6.23), ta tính ra phục vụ tần số của

hiên chạy cửa số wtg(n)như sau

Wtg(ejω)=1

Lµsin(Lω/2)

sin(ω/2) ¶2

.(6.24)

Hình 6.6 mô tả phục vụ tần số này.

So sánh hiên chạy cửa số chữ nhật và hiên chạy cửa số tam giác

Đáp ứng tần số của hai hiên chạy cửa số này được minh họa lại theo đơn

vị dB trong hình 6.7. Dùng hai hiên chạy cửa số này để thiết kế một bộ lọc

FIR có chiều dài là 21 (tức là M=10) ta có hai phục vụ tần số tương

ứng được minh họa như hình 6.8. Chú ý hiên chạy cửa số tam giác cho ta kết

quả tốt hơn. Ta thấy hiên chạy cửa số chữ nhật gây ra những gợn sóng có tác

động quan trọng trong phục vụ tần số. Trong khi đó hiên chạy cửa số tam giác

đã làm trơn những gợn sóng này; cho nên vì thế kết quả thiết kế tốt hơn rất

nhiều. Như thế chất lượng của thiết kế tùy từng sự lựa chọn

hiên chạy cửa số.

Thiết kế bộ lọc bằng hiên chạy cửa số

Như đã trình diễn ở trên, để thiết kế một bộ lọc FIR ta sử dụng

một bộ lọc không nhân quả đối xứng qua gốc có phục vụ xung là

hlt(n)và phục vụ tần số là Hlt(ejω). Nếu chỉ vô hiệu những thông số của đáp

ứng xung lúc vượt qua một chỉ số nào đó tức là ta vừa sử dụng cửa

sổ hình chữ nhật và tạo ra những gợn sóng. Để giảm thiểu hoặc loại

bỏ những gợn sóng do hiện tượng kỳ lạ Gibbs tạo ra, cần dùng một hiên chạy cửa số để

kiểm soát và điều chỉnh phục vụ xung của cục lọc ta đang thiết kế.

Những quan sát riêng với hiên chạy cửa số chữ nhật và tam giác như trên

hình 6.9 đã cho toàn bộ chúng ta biết phục vụ biên độ tần số của những hiên chạy cửa số chiều dài

hữu hạn luôn cho xuất hiện một búp chính và những búp phụ suy giảm

theo tần số; bởi tính đối xứng của phục vụ xung nên phục vụ tần số

là một hàm thực lúc có trị dương và lúc có trị âm. Các ký hiệu ν3,ν6,

νsvà νmlà những thông số thường được lựa chọn lúc thiết kế tương

170

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_8” — 2012/7/5 — 4:47 — page xvi — #1

−0.4−0.2 0 0.2 0.4

|H(ejω)|

L=15

L=21

L=31

(a)

“./figures/FIR_9” — 2012/7/5 — 4:47 — page xvi — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−100

−80

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

L=15

L=21

L=31

(b)

Hình 6.6: Đáp ứng tần số Wtg(ejω)của hiên chạy cửa số tam giác wtg(n)với những

chiều dài rất khác nhau.

171

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_10” — 2012/7/5 — 4:47 — page xvi — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

Chữ nhật

Tam giác

Hình 6.7: So sánh phục vụ tần số của hiên chạy cửa số chữ nhật và tam giác.

ứng với dải thông 3dB, 6dB, dải thông búp phụ và nửa dải thông

búp chính. Các búp phụ suy giảm và vận tốc suy giảm thường được

màn biểu diễn theo dB/octave hoặc dB/decade. Các thông số này đóng vai

trò quan trọng trong quy trình thiết kế bộ lọc FIR.

Bảng 6.1 phục vụ những công thức toán học của hiên chạy cửa số đã được

những nhà nghiên cứu và phân tích thiết kế.

Hình 6.10 màn biểu diễn miền tần số của những hiên chạy cửa số này. Thông

thường, thiết kế hiên chạy cửa số nhờ vào một trong những số trong những tiêu chuẩn được xem như tối

ưu. Thật ra, phải lựa chọn Một trong những tiêu chuẩn tối ưu vì thông thường

những tiêu chuẩn này mâu thuẩn nhau. Chẳng hạn, cần búp chính hẹp

(hoặc dải chuyển tiếp nhỏ) và mức suy giảm của búp phụ nhỏ. Có

một số trong những hiên chạy cửa số được xây dựng như tổng hợp của những hiên chạy cửa số đơn thuần và giản dị

hơn. Chẳng hạn hiên chạy cửa số Hanning là tổng của một hiên chạy cửa số chữ nhật và

một hiên chạy cửa số cosine, hay hiên chạy cửa số tam giác là tích chập của hai hiên chạy cửa số

chữ nhật. Một số hiên chạy cửa số khác được thiết kế để sở hữu một số trong những tính chất ta

mong ước. Chẳng hạn hiên chạy cửa số Hanning cho ta độ suy tụt giảm ở

tần số cao nhưng đồng thời có búp sóng chính rộng, trong lúc đó cửa

sổ Hamming nhằm mục đích tối thiểu hóa những búp phụ nhưng lại làm độ suy

giảm ở tần số cao chậm đi, còn hiên chạy cửa số Kaiser chứa thông số βnhằm

trấn áp độ suy giảm của búp phụ.

172

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_11” — 2012/7/5 — 4:48 — page xvi — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

Chữ nhật

Tam giác

Hình 6.8: So sánh phục vụ tần số của cục lọc thiết kế dùng hiên chạy cửa số chữ

nhật và hiên chạy cửa số tam giác, với tần số cắt νc=0,25.

“./figures/FIR_12” — 2012/7/5 — 4:48 — page xvii — #1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−80

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

Hình 6.9: Các tham số tần số góc thiết kế.

173

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Bảng 6.1: Các hàm hiên chạy cửa số thông dụng

Tên hiên chạy cửa số w0(n),−(L−1)/2 ≤n≤(L−1)/2 w(n)=w0µn−L−1

2¶,0≤n≤L−1

Chữ nhật 1 1

Tam giác 1−2|n|

L−1









L−1,với 0≤n≤L−1

2−2n

L−1,với L−1

Cosine cos³πn

L−1´cos³πn

L−1−π

2´

Reimann sincLµ2n

L−1¶sincLµ2n

L−1−1¶

Hanning 0,5+0,5cosµ2πn

L−1¶0,5−0,5cosµ2πn

L−1¶

Hamming 0,54 +0,46cosµ2πn

N−1¶0,54 −0,46cosµ2πn

N−1¶

Blackman 0,42 +0,5cos µ2πn

L−1¶0,42 −0,5cosµ2πn

L−1¶

+0,08cos³4πn

L−1´+0,08cosµ4πn

L−1¶

Kaiser

I0Ãβr1−³2n

L−1´2!

I0(β)

I0Ãβr1−³2n

L−1−1´2!

I0(β)

Đối với một hiên chạy cửa số theo biến thời hạn liên tục có chiều dài hữu

hạn thì tối ưu hóa nguồn tích điện của phổ trên một dải băng tần nào đó

sẽ cho ra một hiên chạy cửa số có cấu trúc liên hệ đến hàm sóng cầu*bậc 1.

Chính hiên chạy cửa số Kaiser là xấp xỉ tốt nhất trong miền thời hạn rời rạc.

Một số vấn đề cần để ý quan tâm trong quy trình thiết kế bằng phương

pháp hiên chạy cửa số

Đáp ứng tần số của cục lọc thông thấp FIR có dạng tổng quát

được minh họa ở hình 6.11. Những thông số rõ ràng xuất hiện trên

hình này gồm độ gợn sóng, là số lượng giới hạn giữa hai trị số 1−δpvà 1+δp,

tần số cắt ωp(hay νp) dùng để định nghĩa dải thông và tần số triệt

ωs(hay νs) để định nghĩa dải triệt. Độ gợn sóng trong dải triệt có

*Prolate spheroidal wave functions.

174

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_13” — 2012/7/5 — 4:48 — page xvii — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−100

−80

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

Chữ nhật

Tam giác

Cosine

Hanning

(a)

“./figures/FIR_14” — 2012/7/5 — 4:48 — page xvii — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−100

−80

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

Chữ nhật

Hamming

Blackman

Kaiser

(b)

Hình 6.10: So sánh phục vụ tần số những hiên chạy cửa số.

175

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_15” — 2012/7/5 — 4:48 — page xviii — #1

|H(jω)|

1+δp

1−δp

ωp

Dải thông

Dải triệt

Dải chuyển tiếp

ωc

δs

ωsπ

Hình 6.11: Minh họa phục vụ tần số của một bộ lọc thông thấp.

trị cực lớn là δs. Ta cũng thấy, khoảng chừng [ωp,ωs]là tương ứng với dải

chuyển tiếp. Theo cty dB ta có độ gợn sóng dải thông Ap(dB) và

độ gợn sóng dải triệt As(dB) được định nghĩa như sau:

Ap=−20logµ1−δp

1+δp¶(6.25)

As=−20logµδs

1+δp¶≈−20logδs,δp¿1(6.26)

Cũng theo cty dB, độ gợn sóng được cho bởi

δp=10Ap/20 −1

10Ap/20 +1(6.27)

δs=(1 +δp)10−As/20 ≈10−As/20,δp¿1.(6.28)

Thiết kế một bộ lọc FIR bằng phương pháp hiên chạy cửa số tức là chọn

loại hiên chạy cửa số và chiều dài của cục lọc thế nào để những đặc tả của cục lọc

được thỏa mãn nhu cầu. Thông thường, loại bộ lọc được chọn theo độ gợn

sóng và chiều dài bộ lọc, tùy từng tần số cắt và bề rộng của

dải chuyển tiếp. Để làm rõ, xét hình 6.12, trong số đó lấy tích chập

176

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

của W(ejω)và Hid(ejω)để sở hữu phục vụ tần số của cục lọc muốn thiết

kế. Hình vẽ này đã cho toàn bộ chúng ta biết tích chập đã biến một hàm không liên tục,

“./figures/FIR_16” — 2012/7/5 — 4:49 — page xix — #1

|H(jω)|

1+δp

1−δp

Hid(ejω)

H(ejω)

ωpωc

δs

−δsωsπ

W(ej(ω−θ))

∆ωm

Hình 6.12: Minh họa chiều dài bộ lọc tùy từng tần số cắt và bề

rộng của dải chuyển tiếp.

là Hid(ejω), thành một hàm mềm mại và mượt mà hơn, là H(ejω). Đồng thời, dải

chuyển tiếp tùy từng bề rộng của búp chính của phục vụ tần

số hiên chạy cửa số, ∆ωm. Bề rộng này tỉ lệ nghịch với chiều dài của hiên chạy cửa số, L.

Những tính chất định tính này tùy từng phục vụ tần số của những

hiên chạy cửa số. Sau đấy là một số trong những tính chất:

a) Đối với toàn bộ những hiên chạy cửa số thì gợn sóng trong dải thông và trong dải

triệt đều bằng nhau (δp=δs).

177

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Bảng 6.2: Bảng tra giá trị của những hiên chạy cửa số thông dụng

Cửa sổ Ap(dB) As(dB) δp=δsC

Chữ nhật 0,742 21 0,0819 0,60

Hanning 0,055 44 0,0063 3,21

Hamming 0,019 53 0,0022 3,47

Blackman 0,0015 75,3 0,00017 5,71

b) Độ gợn sóng cực lớn trong dải triệt thường nhỏ hơn đỉnh của búp

phụ của hiên chạy cửa số. Tức là độ suy giảm trong dải triệt của cục lọc thường

to nhiều hơn độ suy giảm của đỉnh búp phụ của hiên chạy cửa số. Đỉnh búp phụ này

cũng như trị cực lớn của gợn sóng trong dải thông và độ suy giảm

trong dải thông phụ thuộc rất ít vào chiều dài Lcủa bộ lọc.

c) Mặt khác, dải chuyển tiếp, ∆ν=νp−νs, được xem từ tần số có biên

độ 1−δpđến tần số có biên độ δs, hoàn toàn có thể xem như bằng bề rộng của

búp chính của phục vụ tần số hiên chạy cửa số. Thật ra, dải chuyển tiếp này

thông thường nhỏ hơn bề rộng của búp chính này. Như đã đề cập đến

ở trên, dải chuyển tiếp tỉ lệ nghịch với chiều dài của cục lọc, tức là

∆ν=C

L(6.29)

trong số đó hằng số tỉ lệ Cphụ thuộc vào bộ lọc ta chọn, được xác lập

bằng những phương pháp mô phỏng và thực nghiệm, có mức giá trị được

trình diễn ở Bảng 6.2. Riêng bộ lọc Kaiser thì chiều dài và thông số

β, thông qua thực nghiệm, được ước tính với những công thức sau này:

β=









0,1102(A−8,7),A>50,

0,5842(A−21)0,4 +0,07886( A−21),21 ≤A≤50,

0,A<21.

(6.30)

d) Ngoài ra, hoàn toàn có thể chọn một cách thích hợp tần số νc(tần số cắt lý

tưởng) là trị trung bình của νpvà νs. Thông thường, tần số cắt để

thỏa mãn nhu cầu chiều dài Lngắn nhất thường nhỏ hơn trị số trung bình

này. Để bảo vệ độ dài Ltối thiểu ta hoàn toàn có thể tính toán với trị số νc

này rồi kiểm soát và điều chỉnh những thông số tiếp theo đó. Chẳng hạn, giảm νchoặc

178

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

giảm Lmà vẫn thỏa những đặc tả nhất là tại những tần số số lượng giới hạn của

dải thông và dải triệt.

Các bước thiết kế bộ lọc FIR bằng hiên chạy cửa số được tóm tắt trong

phương pháp 6.1 cho sau này.

Phương pháp 6.1 – Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp

hiên chạy cửa số.

1. Chuẩn hóa những đặc tả tần số tương tự bởi tần số lấy mẫu FS.

2. Xác định những tần số νpvà νscủa bộ lọc số thông thấp và chọn

tần số cắt νccủa bộ lọc số thông thấp: νc=(νp+νs)/2.

3. Chọn hiên chạy cửa số để thỏa những đặc tả gợn sóng và suy giảm (Bảng 6.2).

4. Ước lượng chiều dài Lbằng công thức C/(νs−νp)(Bảng 6.2).

5. Tính phục vụ xung của cục lọc thông thấp lý tưởng hid(n)=

2νcsinc(2nνc),|N| ≤ (L−1)/2.

6. Tính phục vụ xung của cục lọc thiết kế h(n)=w(n)hid(n).

Ví dụ 6.1 (Ảnh hưởng của những hiên chạy cửa số trong thiết kế bộ lọc FIR)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc FIR thông thấp có phục vụ tần số sau

đây

Hd(f)=(1,0≤f≤250Hz

0,f>250Hz

biết rằng tần số lấy mẫu FS=1kHz và độ dài bộ lọc thiết yếu kế là

L=21.

Chuẩn hóa những tần số đặc tả tương tự bởi tần số, trong miền tần

số, ta có

νc=250

1000 =0,25

và phục vụ xung tương ứng là

hd(n)=2νcsinc(2nνc)=0,5 sinc(0,5n).

179

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Ảnh hưởng của hiên chạy cửa số chữ nhật chỉ là vô hiệu những hd(n)nằm

ngoài chiều dài thiết yếu. Thực hiện tương tự cho những hiên chạy cửa số tam

giác, Hanning và Kaiser (với β=1), ta có kết quả phục vụ tần số

được mô tả trong hình 6.13. Ta thấy rằng, phục vụ tần số đã có được

khi sử dụng hiên chạy cửa số chữ nhật đã cho toàn bộ chúng ta biết bộ lọc có độ suy giảm hoàn

toàn hoàn toàn có thể đồng ý được. Tuy nhiên, đỉnh của búp phụ tương đối cao,

gần bằng 21 dB.

“./figures/FIR_17” — 2012/7/5 — 4:49 — page xxii — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

Chữ nhật

Tam giác

Hanning

Kaiser

Hình 6.13: Ảnh hưởng của những hiên chạy cửa số, với chiều dài L=21.

Ví dụ 6.2 (Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng hiên chạy cửa số Hanning)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc FIR có những đặc tả sau: Fp=2kHz,

Fs=4kHz, Ap=2dB, As=40 dB, tần số lấy mẫu Fs=20 kHz.

Ta biết rằng đấy là một bộ lọc số thông thấp có những tần số số đặc

trưng sau này:

νp=Fp

FS=2

20 =0,1

νs=Fs

FS=4

20 =0,2.

Với độ suy giảm As=40 dB, so sánh với bảng 6.2 ta thấy hoàn toàn có thể chọn

hiên chạy cửa số Hanning ở tại mức suy giảm thấp hơn, là 44 dB. Với dải chuyển

180

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

tiếp

∆ν=νs−νp=0,2−0,1=0,1

thì chiều dài của cục lọc sẽ vào lúc chừng

L=C

∆ν≈3,21

0,1≈33.

Tần số cắt là

νc=0,5(νp+νs)=0,15.

Do vậy, phục vụ xung của cục lọc lý tưởng là

hid(n)=2νcsinc(2nνc)=0,3sinc(0,3n),

Với kết quả này, ta có phục vụ biên độ như màn biểu diễn ở hình 6.14(a).

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết bộ lọc vừa thiết kế vượt xa đặc tả thiết kế. Điều

này là hiển nhiên vì lúc ta chọn thông số đã vượt mức thiết yếu. Như

vậy, cách làm trong lần thiết kế thứ nhất là chọn thông số thỏa mãn nhu cầu

đặc tả. Nếu với thông số đã chọn mà chất lượng bộ lọc được thiết vượt

quá xa mức thiết yếu thì ta tiến hành kiểm soát và điều chỉnh, mà rõ ràng nhất ở

đấy là giảm thông số chiều dài bộ lọc nhằm mục đích giảm giá tiền sản xuất.

Cách kiểm soát và điều chỉnh sẽ tiến hành trình diễn sau này.

Mục tiêu của thử và kiểm soát và điều chỉnh là thay đổi νcvà Lthế nào để

vẫn đảm bảo những đặc tả là độ gợn sóng trong dải thông nhỏ hơn

2dB và độ suy giảm dải triệt phải to nhiều hơn 40 dB. Với phương tiện đi lại

máy tính tân tiến thì phương pháp thử sai và kiểm soát và điều chỉnh thực sự

không mất thì giờ. Trong trường hợp này ta chỉ việc thử một hai lần

là được. Từ νc=0,15, ta kiểm soát và điều chỉnh L, tiếp theo đó kiểm soát và điều chỉnh νc. Trong ví

dụ này, ta thấy chọn νc=0,1313 và L=23 thì những thông số hoàn toàn

được thỏa mãn nhu cầu. Đáp ứng biên độ được biễu diễn trên hình 6.14(b).

Rõ ràng, ta đã giảm chiều dài bộ lọc đi nhiều, từ 33 xuống còn 23, mà

vẫn thõa mãn đặc tả thiết kế.

Ví dụ 6.3 (Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng hiên chạy cửa số Blackman)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc FIR có những đặc tả sau: Fp=2kHz,

Fs=4kHz, Ap=2dB, As=70 dB, tần số lấy mẫu FS=20 kHz.

181

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_18” — 2012/7/5 — 4:49 — page xxiii — #1

0 0.1 0.15 0.2 0.5

−2

−40

−60

|H(ejω)|(dB)

(a) Thiết kế lần thứ nhất: L=33,νc=0,15.

“./figures/FIR_19” — 2012/7/5 — 4:49 — page xxiii — #1

0 0.1 0.15 0.2 0.5

−2

−40

−60

|H(ejω)|(dB)

(b) Điều chỉnh kết quả: L=23,νc=0,1313

Hình 6.14: Đáp ứng biên độ bộ lọc số FIR dùng hiên chạy cửa số Hanning, có

được thông qua hai bước thiết kế: (1) thiết kế lần thứ nhất và (2) điều

chỉnh thiết kế.

Giống như ví dụ 6.2, ta đã có được những đặc tả thiết kế cho bộ lọc

thông thấp FIR như sau: tần số dải thông νp=0,1, tần số dải triệt

νs=0,2, dải chuyển tiếp ∆ν=0,1, tần số cắt νc=0,15 và phục vụ

182

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

xung của cục lọc lý tưởng hid(n)=0,3 sinc(0,3n).

Đối chiếu bảng 6.2 với độ suy giảm As=70 dB, ta hoàn toàn có thể chọn

hiên chạy cửa số Blackman với độ suy giảm là 75,3dB. Chiều dài của cục lọc là

L=C

∆ν≈5,71

0,1≈58.

Chú ý cho tới giờ ta chỉ quan tâm tới những bộ lọc có chiều dài lẻ,

vì vậy hoàn toàn có thể chọn chiều dài cho hiên chạy cửa số Blackman bằng 57 hoặc 59.

Trong lần thiết kế thứ nhất ta chọn L=57. Trường hợp Lchẵn sẽ

thảo luận sau. Đáp ứng của cục lọc được thiết kế như ở hình 6.15(a)

và rõ ràng là nó vượt xa đặc tả thiết yếu.

Bằng cách thử và kiểm soát và điều chỉnh như ví dụ 6.2, ta thay đổi νcvà L

thế nào để vẫn đảm bảo những đặc tả là gợn sóng trong dải thông

nhỏ hơn 2dB và độ suy giảm dải triệt phải to nhiều hơn 70 dB. Trong ví

dụ này, ta chọn được νc=0,1278 và L=39 mà vẫn thỏa mãn nhu cầu đặc tả

thiết kế, như ở hình 6.15(b).

6.1.3 Thiết kế bộ lọc thông cao

Cho đến giờ đây ta mới chỉ quan tâm đến thiết kế bộ lọc FIR

thông thấp có phục vụ xung là h(n). Để phân biệt những trường hợp

khác, ta ký hiệu phục vụ xung thông thấp là hlp(n)và phục vụ tần

số thông thấp tương ứng là Hlp(ejω). Thấy rằng, nếu ta dịch chuyển

Hlp(ejω)một khoảng chừng πthì sẽ đã có được một phục vụ tần số thông cao,

ký hiệu là Hhp(ejω). Điều này được minh họa ở trong hình 6.16. Như

vậy

Hhp(ejω)=Hlp(ej(ω−π))(6.31)

và phục vụ xung tương ứng của cục lọc thông cao là

hhp(n)=(−1)nhlp (n).(6.32)

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết để thiết kế một bộ lọc thông cao thỏa đặc tả

cho trước, ta hoàn toàn có thể thiết kế một bộ lọc thông thấp tương ứng.

183

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_20” — 2012/7/5 — 4:49 — page xxiv — #1

0 0.1 0.15 0.2 0.5

−2

−40

−70

|H(ejω)|(dB)

(a) Thiết kế lần thứ nhất: L=57,νc=0,15

“./figures/FIR_21” — 2012/7/5 — 4:49 — page xxiv — #1

0 0.1 0.15 0.2 0.5

−2

−40

−70

|H(ejω)|(dB)

(b) Điều chỉnh thiết kế: L=39,νc=0,1278

Hình 6.15: Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng hiên chạy cửa số Blackman.

Ví dụ 6.4 (Thiết kế bộ lọc FIR thông cao)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc FIR có những đặc tả sau: Fp=4kHz,

Fs=2kHz, Ap=2dB, As=40 dB, tần số lấy mẫu FS=20 kHz.

184

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_22” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxv — #1

|Hlp(ejω)|

0,5

νpνs

“./figures/FIR_23” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxv — #1

|Hhp(ejω)|

0,5

νsνp

Hình 6.16: Thiết kế thông cao.

Từ đặc tả, ta thấy bộ lọc thiết yếu kế là bộ lọc thông cao. Do đó,

những thông số đặc tả tần số số là

νp=Fp

FS=4

20 =0,2

νs=Fs

FS=2

20 =0,1

và dải chuyển tiếp là

∆ν=νp−νs=0,2−0,1=0,1.

Với As=40 dB, ta dùng bảng 6.2 để chọn hiên chạy cửa số Hanning hoặc Ham-

ming. Nếu chọn hiên chạy cửa số Hanning, ta có chiều dài của cục lọc là

L=C

∆ν=3,21

0,1≈33.

185

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Còn nếu lọc hiên chạy cửa số Hamming, ta có

L=3,47

0,1≈35.

Có thể thiết kế bộ lọc thông cao bằng một trong hai cách sau này.

Cách 1: Chọn tần số cắt νccủa bộ lọc thông thấp bằng

νc=0,5(νp+νs)=0,15.

Khi đó, phục vụ xung của cục lọc thông thấp tương ứng là

hlp(n)=2νcsinc(2nνc)=0,3sinc(0,3n).

Biết rằng, nếu phục vụ tần số của cục lọc lý tưởng có biên bộ bằng 1ở

gốc thì 1−Hlp(ejω)là phục vụ tần số của cục lọc thông cao. Do đó đáp

ứng xung của cục lọc thông cao bằng

hhp(n)=δ(n)−hlp(n)

=δ(n)−0,3sinc(0,3n).

Kết quả thiết kế cho phục vụ tần số của cục lọc thông cao Hhp (ejω)

như màn biểu diễn trong hình 6.17(a).

Cách 2: Chọn tần số cắt của cục lọc thông thấp bằng

νc=0,5−0,5(νp+νs)=0,35.

Ta có, phục vụ xung của cục lọc thông thấp lý tưởng là

hid(n)=2νcsinc(2nνc)=0,7sinc(0,7n).

và phục vụ xung của cục lọc thông thấp được thiết kế là

hlp(n)=hid(n)w(n).

Như vậy, phục vụ xung của cục lọc thông cao được thiết kế là

hhp(n)=(−1)nhlp (n)

=(−1)n0,7 sinc(0,7n)w(n).

Hình 6.17(b) là kết quả thiết kế bộ lọc thông cao Theo phong cách này.

186

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_24” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1

0 0.1 0.2 0.5

−2

−40

−80

|Hhp(ejω)|(dB)

(a) Cách 1

“./figures/FIR_25” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1

0 0.1 0.2 0.5

−2

−40

−80

|Hhp(ejω)|(dB)

(b) Cách 2

Hình 6.17: Thiết kế bộ lọc thông cao sử dụng hiên chạy cửa số Hanning theo

hai cách, với L=33 và νc=0,15.

Nhận thấy hai cách thiết kế trên đều cho cùng một kết quả.

Thông thường người ta hay sử dụng cách thứ hai vì dễ tính toán và

bảo vệ chất lượng của cục lọc. Cách này thường được sử dụng cho

nghành thiết kế dàn lọc.

187

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

6.1.4 Thiết kế bộ lọc thông dải

Đối với bộ lọc thông dải hay triệt dải, nếu muốn sử dụng lọc

thông thấp nói trên thì nên tính đối xứng của phục vụ tần số, như

được minh họa trên hình 6.18. Từ bộ lọc thông thấp hoàn toàn có thể suy ra bộ

“./figures/FIR_26” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1

|Hlp(ejω)|

0,5

νpνs

“./figures/FIR_27” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxvii — #1

|Hbp(ejω)|

0,5

ν1ν2ν3ν4

Hình 6.18: Thiết kế thông dải.

lọc thông dải bởi phương trình

Hbp(ejω)=Hlp(ej(ω+ω0))+Hlp(ej(ω−ω0)),(6.33)

trong số đó

ν0=ν2+ν3

2=ν1+ν4

2.(6.34)

188

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

Với ν1,ν3,ν3và ν4cho trước, bộ lọc thông thấp sẽ có được những đặc tả tần

số sau:

νc=ν3+ν4

2−ν0;(6.35)

νp=ν3−ν0=ν3−ν2

2;(6.36)

νs=ν4−ν0=ν4−ν1

2.(6.37)

Ví dụ 6.5 (Thiết kế bộ lọc FIR thông dải)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc số FIR thỏa những đặc tả: dải thông trong

khoảng chừng 4đến 8kHz, dải triệt trong mức chừng F<2kHz và F>10 kHz,

Ap=3dB, As=45 dB và FS=25 kHz.

Theo những đặc tả trên thì đấy là một bộ lọc thông dải có những

tần số số được chuẩn hóa là

ν1=2

25 =0,08;

ν2=4

25 =0,16;

ν3=8

25 =0,32;

ν4=10

25 =0,4.

Suy ra

ν0=0,16 +0,32

2=0,24;

νp=ν3−ν0=0,32 −0,24 =0,08;

νs=ν4−ν0=0,4−0,24 =0,16;

νc=ν3+ν4

2−ν0=0,32 +0,4

2=0,12.

Đối chiếu bảng 6.2 với độ suy giảm As=45 dB, ta thấy bộ lọc

thông thấp tương ứng cần chọn thuộc loại Hamming với độ suy giảm

dải triệt là 53 dB và độ dài của cục lọc được ước chừng bởi

L=C

νs−νp=3,47

0,16 −0,08 =43,375 ≈=44.

189

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Cho đến giờ đây, ta chỉ thiết kế những bộ lọc có chiều dài lẻ, nên lựa chọn

L=45. và kết quả thiết kế cho phục vụ biên độ của cục lọc thông cao

như ở hình 6.19(a).

Bộ lọc dùng hiên chạy cửa số Hamming cho độ suy giảm dải triệt là 53 dB

trong lúc ta chỉ việc thỏa mãn nhu cầu 45 dB. Với độ thừa là 8dB, hoàn toàn có thể chọn

chiều dài bộ lọc thấp hơn một ít. Thử nghiệm đã cho toàn bộ chúng ta biết, với L=27 và

νc=0,956 ta có phục vụ tần số thỏa mãn nhu cầu đặc tả thiết kế, như trong

hình 6.19(b).

Hình 6.20 là phục vụ tần số thông dải được thiết kế từ đáp

ứng tần số thông thấp tương ứng (xem hình 6.19(b)), với L=27 và

νc=0,956.

Phương pháp thiết kế sử dụng hiên chạy cửa số như vừa mới được trình diễn

được cho phép ta thiết kế những bộ lọc thông thấp, thông cao và thông dải,

nhờ vào bộ lọc thông thấp mà những thông số được xem toán thế

nào để đặc tả thiết kế được thỏa mãn nhu cầu. Phương pháp luận khai triển

phục vụ tần số có tính đối xứng thành chuỗi Fourier không những

hoàn toàn có thể được sử dụng cho bộ lọc thông thấp mà còn cho toàn bộ những bộ

lọc có phục vụ tần số đối xứng. Tức là, phương pháp này hoàn toàn có thể được

sử dụng trực tiếp để thiết kế những bộ lọc thông thấp, thông cao, thông

dải, triệt dải, v.v. Tuy nhiên, những phương pháp vừa mới được trình diễn

trên đấy là tương đối thích hợp riêng với bài toán thiết kế, và phương

pháp thiết kế cũng thuận tiện và không cầu kỳ.

Có một trường hợp vẫn thường được quan tâm là những bộ lọc nửa

băng*, tức là những bộ lọc có νc=0,25. Loại bộ lọc này tuy nhiên có chiều

dài lớn nhưng thực ra một nửa thông số là triệt tiêu, vì vậy về mặt

điện tử thì có độ phức tạp thấp. Loại bộ lọc này được sử dụng trong

nghành dàn lọc.

*Half-band filter.

190

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.1. Phương pháp hiên chạy cửa số

“./figures/FIR_28” — 2012/7/5 — 4:50 — page xxix — #1

0 0.16 0.5

−3

−45

−60

0.08

|Hlp(ejω)|(dB)

(a) Thiết kế lần thứ nhất: L=45,νc=0,12

“./figures/FIR_29” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxix — #1

0 0.16 0.5

−3

−45

−60

0.08

|Hlp(ejω)|(dB)

L=27,νc=0,956

(b) Điều chỉnh thiết kế: L=27,νc=0,956

Hình 6.19: Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp tương ứng với hiên chạy cửa số Ham-

ming, dùng để thiết kế bộ lọc thông dải theo yêu cầu.

191

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_30” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxix — #1

0 0.16 0.32 0.4 0.5

−3

−45

−60

0.08

|Hbp(ejω)|(dB)

Hình 6.20: Thiết kế bộ lọc FIR thông dải, L=27,νc=0,956.

6.2 Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số

Về mặt cơ bản phương pháp này tương đối đơn thuần và giản dị và dễ hiểu.

Thật vậy, biết rằng phục vụ tần số là một hàm tuần hoàn theo ωcó

chu kì 2π. Như thế, ta chỉ việc lấy Nmẫu của phục vụ tần số Hid(ejω)

của một bộ lọc lý tưởng (thông thấp, thông cao, v.v.) trong chu kì

[0;2π]và vận dụng biến hóa Fourier ngược rời rạc của Nmẫu này

khiến cho một chuỗi trong miền thời hạn: h(n)=h(0),h(1),...,h(N−1).

Theo lý thuyết, biến hóa Fourier rời rạc của chuỗi h(n)là một hàm

theo ωcó chu kì 2πvà có mức giá trị trùng khớp với bộ sưu tập lấy trong

miền tần số. Nếu xem h(n)là phục vụ xung của một khối mạng lưới hệ thống FIR

thì biến hóa Fourier của nó là phục vụ tần số H(ejω)của khối mạng lưới hệ thống.

Rõ ràng là, phục vụ tần số H(ejω)của cục lọc được thiết kế không

giống phục vụ tần số Hid(ejω)của cục lọc lý tưởng. Vì vậy, ta hoàn toàn có thể

kiểm soát và điều chỉnh chuỗi h(n)bằng phương pháp hiên chạy cửa số, hay là yếu tố chỉnh

nó để tối ưu hóa một tiêu chuẩn thiết kế nào đó, ví dụ điển hình trung bình

bình phương tối thiểu. Tuy nhiên, khi việc vận dụng những phương pháp

này trở thành phức tạp thì sẽ cần đến một phương pháp có hiệu suất cao

cao hơn, là phương pháp gợn sóng đều và sẽ trình diễn trong Mục 6.3.

192

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.2. Phương pháp lấy mẫu trên miền tần số

Để minh họa những khía cạnh thực tiễn của phương pháp lấy

mẫu trên miền tần số ta xét hai ví dụ sau.

Ví dụ 6.6 (Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng phương pháp lấy

mẫu tần số)

Thiết kế một bộ lọc thông thấp có tần số cắt νc=0,25 có chiều dài

L=20.

Ta lấy mẫu phục vụ tần số Hid(ejω)của cục lọc lý tưởng thông

thấp tại Lđiểm cách đều nhau trên khoảng chừng [0;1] của tần số số ν,

như trên hình 6.21. Ta thấy

|H(ejω)|=(1,nếu 0<ω≤2πνchoặc 2π(1 −νc)≤ω<2π,

0,nếu 2πνc<ω<2π(1 −νc).(6.38)

Với cách xác lập biên độ như trong (6.38), tại điểm bất liên tục νcta

có ¯¯H(ej2πνc)¯¯=1. Cách chọn này sẽ không còn thích phù thích hợp với giá trị của một

hàm tại điểm bất liên tục và vì vậy kết quả đã có được chắc như đinh sẽ có được

những xấp xỉ khá mạnh. Ngoài ra, lúc thiết kế một khối mạng lưới hệ thống nhân

quả, tức phải đồng ý một độ trễ bằng N=(L−1)/2, thì độ trễ pha

của H(ejω)được xác lập bởi e−jω(L−1)/2 . Vì khoảng chừng lấy mẫu của ωlà

từ 0đến 2πnên khoảng chừng cách Một trong những tần số lấy mẫu là 2π/N. Như

thế, độ trễ pha của bộ sưu tập H(k)trong miền tần số là –k(L−1)/L.

Ngoài ra, với bộ lọc có mức giá trị thực trong miền thời hạn, thì phục vụ

biên độ có tính đối xứng và phục vụ pha có tính phản đối xứng, cho

nên pha của bộ sưu tập trong miền tần số từ L/2 trở đi là bằng pha của

bộ sưu tập trước đó nhưng ngược dấu, tức ta có H(k)=H∗(L−k).

Hình 6.21 là phục vụ tần số của cục lọc vừa mới được thiết kế. Như

vừa mới được trình diễn ở trên, hiện tượng kỳ lạ Gibbs xẩy ra trong phục vụ

biên độ này. Để tránh trường hợp này ta hoàn toàn có thể thay biên độ của đáp

ứng tần số tại điểm bất liên tục bằng 0,5thay vì bằng 1. Lúc đó ta có

|H(ejω)|=









1,nếu 0<ω<2πνchoặc 2π(1 −νc)<ω<2π,

0,5,nếu ω=2πνchoặc ω=2π(1 −νc),

0,nếu 2πνc<ω<2π(1 −νc).

(6.39)

Cách lựa chọn này theo lý thuyết của chuỗi Fourier được cho phép ta giảm

193

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

bớt độ xấp xỉ. Thật vậy, kết quả của phương pháp này (đường nét

đứt trong hình 6.22) đã cho toàn bộ chúng ta biết hoàn toàn tương thích với lý thuyết.

Và với độ xấp xỉ thấp thì đường nét đứt là lựa chọn thích hợp. Tuy

nhiên ta hoàn toàn có thể kiểm soát và điều chỉnh νcvà dải thông νpđể có kết quả thỏa mãn nhu cầu

những đặc tả thiết kế.

“./figures/FIR_31” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxxi — #1

0 0.2 0.4 0.6 0.811.2 1.4 1.6 1.8 2

0.5

1.5

ω/π

|H(ejω)|

Bộ lọc lý tưởng

Lấy mẫu miền tần số

Bộ lọc được thiết kế

Hình 6.21: Minh họa phương pháp thiết kế bằng lấy mẫu tần số.

Ví dụ 6.7 (Thiết kế bộ lọc FIR thông dải bằng phương pháp lấy mẫu

tần số)

Thiết kế một bộ lọc thông dải lý tưởng có tần số cắt ν1=0,25 và

ν2=0,75.

Bộ lọc lý tưởng thông dải được màn biểu diễn trong hình 6.23. Tương

tự ví dụ 6.6, ta lấy Lmẫu cách đều nhau của H(ejω)trong miền tần

số trên khoảng chừng [0;1]. Ta thấy

|H(ejω)|=(1,nếu 2πν1≤ω≤2πν2,

0,nếu ω<2πνchoặc ω>2πν2.

194

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

“./figures/FIR_32” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxxi — #1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1.5

|H(ejω)|

Có điểm bất liên tục

Không có điểm bất liên tục

Hình 6.22: So sánh phục vụ tần số biên độ.

Cũng như trong ví dụ 6.6, cách chọn mẫu này đã cho toàn bộ chúng ta biết biên

độ tại điểm bất liên tục bằng 1nên kết quả sẽ cho những xấp xỉ

tương đối lớn. Để giảm thiểu độ xấp xỉ tại điểm bất liên tục, chọn

biên độ tại điểm bất liên tục là giá trị trung bình, tức là 0,5.

Hai phương pháp tương ứng với hai cách lấy mẫu tại điểm bất

liên tục là biên độ bằng 1và 0,5cho ta kết quả trong hình 6.24. Và

đúng như đã thảo luận, kết quả đạt được có bản chất giống ví dụ 6.6,

nghĩa là cách chọn mẫu theo trị trung bình cho ta độ xấp xỉ

nhỏ hơn nhiều.

6.3 Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

Như đã phân tích trên đây khi thiết kế bộ lọc FIR yếu tố thường

quan tâm là những bộ lọc có pha tuyến tính. Bởi vì đặc tính này tương

đối thích hợp cho những hệ truyền dẫn. Phương pháp thiết kế FIR bằng

hiên chạy cửa số tuy nhiên thuận tiện và đơn thuần và giản dị và tương đối linh hoạt, nhưng nó vẫn vẫn đang còn

những ràng buộc như độ gợn sóng trong dải thông và trong dải triệt

195

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_33” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxxii — #1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

|H(ejω)|

Hình 6.23: Đáp ứng tần số lý tưởng của cục lọc thông dải được lấy

mẫu.

“./figures/FIR_34” — 2012/7/5 — 4:51 — page xxxii — #1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1.5

|H(ejω)|

Có điểm bất liên tục

Không có điểm bất liên tục

Hình 6.24: So sánh phục vụ tần số biên độ khi có điểm bất liên tục

(nét liền) và khi có sự giảm sút bất liên tục (nét đứt).

là bằng nhau. Đầu trong năm 70 của thế kỷ 20, Parks và McClellan

đã đề xuất kiến nghị một phương pháp thiết kế hoàn toàn có thể sử dụng cho những tình

huống mà độ ràng buộc ngặt nghèo hơn nhiều, như độ gợn sóng trong

196

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

những dải tần rất khác nhau. Phương pháp này hầu hết sử dụng phương

pháp xấp xỉ Chebyshev để áp đặt những gợn sóng này. Hơn nữa, với bộ

lọc có pha tuyến tính như đã phân tích với phương pháp hiên chạy cửa số, nếu

phục vụ tần số là một hàm số thực và có biên độ khá nhỏ lúc có mức giá

trị âm (tức là có pha bằng π) thì tác động không đáng kể với đầu ra.

Do đó, phục vụ tần số có biên độ thực đối xứng này được tạm xem

như thể phục vụ tần số của biên độ. Như vậy, pha tuyến tính cuối

cùng chỉ là một độ trễ nào đấy. Lập luận này hàm ý

H(ejω)=A(ejω)e−jωn0,(6.40)

trong số đó A(ejω)là một hàm số thực có tính đối xứng và sẽ tiến hành thảo

luận trong phần tiếp theo.

Một cách tổng quát, bộ lọc có tính chất như trình diễn gọi là bộ

lọc có pha tuyến tính mở rộng và được định nghĩa như sau:

H(ejω)=A(ejω)e−j(n0ω+φ).(6.41)

Trong quy trình thiết kế ta cần chọn thế nào để A(ejω)có mức giá trị âm

không đáng kể. Vì độ trễ là tuyến tính và A(ejω)là một hàm thực

chẵn, phục vụ tần số H(ejω)có pha tuyến tính. Thông số φphải được

chọn thế nào để hữu ích cho quy trình thiết kế đồng thời có kết quả

thích ứng với thực tiễn (tức là phục vụ xung phải là số thực).

Như trong phương pháp thiết kế những bộ lọc FIR bằng hiên chạy cửa số

trong mục 6.1, phục vụ xung là hữu hạn và có tính đối xứng như

mong ước. Tuy nhiên, phương pháp này bắt buộc chiều dài bộ lọc

phải lẻ. Trong phần này, với định nghĩa pha tuyến tính mở rộng,

chiều dài lẻ bắt buộc trong phần trên sẽ không còn hề phải là một ràng

buộc nữa. Mặt khác, để thấy rõ độ trễ (tức là pha tuyến tính), xét

một phục vụ xung h(n)nhân quả và hữu hạn, có mức giá trị từ 0 đến L.

Hàm truyền FIR có bậc là N=L−1. Để hoàn toàn có thể có pha tuyến tính,

h(n)nên phải có một số trong những tính chất đối xứng thế nào để trong phục vụ tần

số xuất hiện hai hàm mũ có pha ngược dấu. Tùy theo chiều dài chẵn

hay lẻ và tính đối xứng hoặc phản đối xứng của h(n)mà ta phân làm

bốn loại bộ lọc như sau:

1. Loại I: h(n)đối xứng, Llẻ;

197

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

2. Loại II: h(n)đối xứng, Lchẵn;

3. Loại III: h(n)phản đối xứng, Llẻ;

4. Loại IV: h(n)phản đối xứng, Lchẵn.

Loại I

Đáp ứng xung h(n)đối xứng được cho bởi

h(n)=h(N−n),n=0,...,N,(6.42)

và có chiều dài Llẻ nên Nlà số chẵn (N=L−1). Đáp ứng tần số của

bộ lọc loại I là

H(ejω)=

n=0

h(n)e−jωn.(6.43)

Với tính đối xứng của h(n),H(ejω)hoàn toàn có thể được rút gọn như sau

H(ejω)=

N/2−1

n=0

h(n)e−jωn+hµN

2¶+

N/2+1

h(n)e−jωn

=e−jωN

2"N/2

n=0

ancos(ωn)#,(6.44)

trong số đó và

a0=hµN

2¶,an=2hµN

2−n¶,n=1,2,..., N

Đặt

A(ejω)=

N/2

n=0

ancos(ωn),

ta thấy ngay A(ejω)là một hàm thực chẵn theo ω. Do đó, H(ejω)được

màn biểu diễn dưới dạng như (6.41) mà ta mong ước

H(ejω)=A(ejω)e−jωN

2.(6.45)

198

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

Loại II

Đáp ứng xung cũng theo biểu thức (6.42), như với Nlẻ. Trong

trường hợp này, phục vụ tần số sẽ tiến hành màn biểu diễn dưới dạng

H(ejω)="(N+1)/2

n=1

bncos½ωµn−1

2¶¾#e−jωN

2(6.46)

trong số đó

bn=2hµN+1

2−n¶,n=1,2,..., N+1

2.(6.47)

Loại III

Đáp ứng xung h(n)phản đối xứng được cho bởi

h(n)=h(N−n),n=0,1,...,N,(6.48)

và với chiều dài Llẻ thì Nlà số chẵn. Đáp ứng tần số H(ejω)hoàn toàn có thể

được rút gọn thành

H(ejω)="N/2

n=0

cnsin(ωn)#e−j(ωN

2−π

2),(6.49)

trong số đó

cn=2hµN

2−n¶,n=1,2,..., N

2.(6.50)

Dạng này cũng thỏa mãn nhu cầu định nghĩa của một bộ lọc có pha tuyến

tính mở rộng.

Loại IV

Đáp ứng xung loại này cũng khá được cho bởi biểu thức (6.48),

tuy nhiên với Nlẻ. Từ đó, phục vụ tần số hoàn toàn có thể rút rọn thành

H(ejω)="(N+1)/2

n=1

dnsinµω½n−1

2¾¶#e−j(ωN

2−π

2),(6.51)

trong số đó

dn=2hµN+1

2−n¶,n=1,2,..., N+1

2.(6.52)

199

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Nhắc lại rằng, thiết kế một bộ lọc FIR thỏa mãn nhu cầu những đặc tả tức

là tìm một bộ lọc có chiều dài và những thông số tương ứng. Để những đặc tả

thỏa mãn nhu cầu như vậy, tùy thuộc ta chọn loại bộ lọc có pha tuyến tính

mở rộng I, II, III hay IV đề cập trên đây mà xác lập những thông số

của A(ejω)và từ đó suy ra h(n)tương ứng. Thông thường, những đặc tả

được mô tả bởi những mặt nạ thiết kế như được minh họa ở hình 6.11.

Hình này đã cho toàn bộ chúng ta biết, những ràng buộc của dải thông, dải triệt và độ suy

giảm trong từng dải, những phương pháp thiết kế được trình diễn cho

đến giờ đây khó hoàn toàn có thể thực thi được những mặt nạ như vậy này và

vì thế phương pháp Park–McCllelan trở nên rất quan trọng. Phương

pháp này được rút gọn thành chọn A(ejω)thế nào để thỏa mãn nhu cầu những

ràng buộc được màn biểu diễn bởi những mặt nạ này. Chú ý rằng, A(ejω)

của bốn loại bộ lọc FIR có pha tuyến tính mở rộng chứa những hàm

lượng giác theo ω, và chính đặc tính này đã được cho phép McClellan sử

dụng phương pháp tối ưu hóa sử dụng tiêu chuẩn minmax nhờ vào

xấp xỉ Chebyshev*. Phương pháp này thường được gọi là thiết kế bộ

lọc FIR có gợn sóng đều, cũng gọi là thiết kế bộ lọc FIR có pha

tuyến tính tối ưu, hoặc phương pháp thiết kế bộ lọc FIR sử dụng xấp

xỉ Chebyshev.

Về mặt cơ bản, vận dụng phương pháp Chebyshev không còn gì

phức tạp. Tuy nhiên, nó rất chi li và khá dài, vì vậy toàn bộ chúng ta chỉ

cần khai triển phương pháp cho một trường hợp đặc biệt quan trọng để làm rõ

phương pháp luận cho trường hợp một bộ lọc FIR không nhân quả có

pha mở rộng triệt tiêu. Đây đó đó là trường hợp mà ta đã phân tích

tương đối kỹ lưỡng cho phương pháp hiên chạy cửa số. Pha tuyến tính đó đó là

độ trễ mà ta cần sử dụng để biến bộ lọc này thành nhân quả. Xem

hình 6.25 ta thấy ngay phục vụ tần số của cục lọc này còn có dạng A(ejω)

trong số đó A(ejω)là một hàm thực chẵn theo ωcó dạng

A(ejω)=h(0) +2

N/2

n=1

h(n)cos(nω).(6.53)

Bộ lọc này thuộc loại I như đã trình diễn trên đây với pha mở rộng

triệt tiêu. Trong trường hợp này, thiết kế bộ lọc đó đó là tìm chiều

*Đầu trong năm 70 của thế kỷ 20, McClellan trong luận án tiến sỹ của tớ đã trình

bày một phương pháp rất quan trọng mang tên là Parks–McCllellan, hiện giờ đang rất được sử

dụng đại trà phổ thông trong công nghệ tiên tiến và phát triển cũng như trong nghành nghề hàn lâm.

200

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

dài cũng như những thông số h(n)để A(ejω)thỏa mãn nhu cầu những đặc tả của mặt

nạ. Nếu mặt nạ áp đặt vào biên độ thì đó đó là |A(ejω)|phải thõa mãn

mặt nạ này, như trên hình 6.25(a). Mặt nạ biên độ hoàn toàn có thể mở rộng dễ

dàng cho những dải thông trong số đó A(ejω)âm, như trên hình 6.25(b).

“./figures/FIR_35” — 2012/7/23 — 20:34 — page 48 — #1

ωpωsπ

δs

1−δp

1+δp

|A(jω)|

(a)

“./figures/FIR_36” — 2012/7/23 — 20:35 — page 48 — #1

ωpωsπ

δs

−δs

1−δp

1+δp

A(jω)

(b)

Hình 6.25: Mặt nạ biên độ của A(ejω).

201

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

6.3.1 Tiêu chí sai số minmax

Trước khi vận dụng phương pháp tối ưu hóa với tiêu chuẩn minmax,

ta nhớ rằng

Tk(cosθ)=cos(kθ),k>0,(6.54)

trong số đó Tk(x)là đa thức bậc kChebyshev, theo công thức (??) trong

chương 5. Các đa thức Chebyshev hoàn toàn có thể được xem từ những biểu thức

đệ qui sau này

T0(x)=1(6.55)

Tk(x)=2xTk−1(x)−Tk−2(x),k≥2.(6.56)

Đa thức Chebyshev là một họ những đa thức trực giao trên khoảng chừng [0;1].

Đặt

g(n)=(h(n),n=0

2h(n),n=1,...,N/2.(6.57)

Ta hoàn toàn có thể viết lại A(ejω)từ (6.53) như sau:

A(ejω)=

N/2

n=0

g(n)cos(nω)(6.58)

N/2

n=0

g(n)Tn(x)|x=cos(ω).(6.59)

Như thế A(ejω)hoàn toàn có thể được xem như một đa thức lượng giác, tức là

một đa thức có biến x=cos(nω).

Như đã được đề cập, phương pháp xấp xỉ Chebyshev (hoặc tối

ưu Chebyshev) được vận dụng với hiệu suất cao cực tốt lúc tiêu chuẩn tối ưu

là sai số tuyệt đối. Gọi Ad(ejω)là phục vụ tần số lý tưởng ta mong

muốn. Gọi W(ejω)là hàm trọng số được sử dụng để định nghĩa sai số

trong miền tần số như sau:

E(ejω)=W(ejω)hAd(ejω)−A(ejω)i.(6.60)

Cách chọn hợp lý nhất cho hàm trọng số này là

W(ejω)=





δp,ω∈Sp,

δs,ω∈Ss,

(6.61)

202

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

trong số đó Spvà Sslà dải thông và dải triệt, δplà độ gợn sóng tuyến

tính trong dải thông và δslà độ triệt tuyến tính trong dải triệt. Ta

cũng hoàn toàn có thể chọn hàm trọng số bằng phương pháp chuẩn hóa như sau

W(ejω)=





δs

δp,ω∈Sp,

1,ω∈Ss.

(6.62)

Thông thường những đặc tả nhằm mục đích mô tả những ràng buộc trên

phục vụ biên độ của dải thông và dải triệt, nhưng không còn ràng

buộc gì trong dải chuyển tiếp. Gọi Sνlà tập hợp những dải tần số có đặc

tả. Như thế, Sνlà một tập compact trong mức chừng [0;0,5], được xác

định bởi

Sν=Sp∩Ss,(6.63)

và được rõ ràng hóa riêng với nhiều chủng loại bộ lọc rất khác nhau như trong

bảng 6.3.

Bảng 6.3: Tập hợp những dải tần có đặc tả

Loại bộ lọc Sν

Thông thấp [0,νp]∪[νs,1/2]

Thông cao [0,νs]∪[νp,1/2]

Thông dải [0,νs1]∪[νp1,νp2]∪[νs2,1/2]

Triệt dải [0,νp1]∪[νs1,νs2]∪[νp2,1/2]

Tiêu chí minmax trong quy trình thiết kế là tìm đáp án g(n)của

bài toán tối sau này

g∗(n)=arg·min

g(n)½max

ω∈Sν

E(ejω)¾¸ (6.64)

Sử dụng phương trình 6.64, ta thấy với biến x=cos(ω)bài toán trở

thành minmax theo đa thức Chebyshev theo xnhư sau:

g∗(n)=arg"min

g(n)(max

x∈FW(ejω)ÃAd(ejω)−

N/2

n=0

g(n)Tn(x)|x=cos(ω)!)#

(6.65)

203

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

trong số đó Flà ảnh của Sνbởi ánh xạ x=cos(ω). Bài toán tối ưu hóa này

đã được Chebyshev xử lý và xử lý. Phương pháp tính số thực tiễn được

McClellan xây dựng nhờ vào định lý xen kẽ*sau này: g(n)đạt giá

tối ưu g∗(n)khi và chỉ khi hiện hữu M+2tần số số tối ưu cục bộ

ν0,ν1,...,νM+1trong tập Sνthế nào để E(νk+1)=−E(νk)và |E(νk)|=δ,

với k=0, .. . , M+1.

Chính kết quả của định lý này đã cho toàn bộ chúng ta biết tại sao nó được gọi là

định lý xen kẽ và là lí do tại sao bộ lọc được thiết kế dùng phương này

gọi là bộ lọc có gợn sóng đều. Với bộ lọc có gợn sóng đều được minh

họa ở hình 6.26, có độ gợn sóng dải thông là δp=0,06, độ suy giảm

của dải triệt δs=0,04 và bậc của cục lọc là L−1=12 (tức là M=6), ta

thấy có bốn tần số tối ưu cục bộ trong dải thông và bốn tần số tối ưu

cục bộ trong dải triệt. Như thế số tần số tối ưu cục bộ là M+2=8.

Định lý xen kẽ đã cho toàn bộ chúng ta biết phục vụ tần số biên độ mở rộng này đó đó là

tần số tối ưu.

6.3.2 Phương pháp thiết kế

Phương pháp Parks–McCllelan được tóm lược trong phương pháp

thiết kế 6.2. Về cơ bản nó là một phương pháp lặp được xây dựng dựa

trên định lý xen kẽ.

Phương pháp 6.2 – Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp

Parks–McClellan.

1. Khởi động bởi M+2giá trị νk;

2. Dựa trên những giá trị của E(ej2πνk), kiểm soát và điều chỉnh những tần số νkcho

đến lúc những E(ej2πνk)thỏa mãn nhu cầu Đk xen kẽ của định lý, và

cho ra kết quả tối ưu g∗(n)theo (6.65);

3. Dùng quan hệ (6.57) để suy ra phục vụ xung h(n).

Lập trình cho thuật toán này tương đối phức tạp tuy nhiên có rất

nhiều chương trình được viết theo ngôn từ Fortran, C, C++, và đặc

*Alternation theorem.

204

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

“./figures/FIR_37” — 2012/7/23 — 20:35 — page 50 — #1

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.5

Hình 6.26: Đáp ứng tần số có gợn sóng đều, với νp=0,2,νs=0,3. Có

bốn tần số tối ưu trong dải thông và bốn trong dải triệt.

biệt là MATLAB trong số đó MATLAB là thuận tiện nhất mà ta hoàn toàn có thể

sử dụng thuận tiện và đơn thuần và giản dị cho việc làm hằng ngày. Chỉ nên phải ghi nhận những

khái niệm cơ bản vừa mới được trình diễn trên đây thì ta hoàn toàn có thể sử dụng

một cách có hiệu suất cao chương trình thiết kế dùng MATLAB*.

Thông thường, độ gợn sóng, độ suy giảm và dải chuyển tiếp là

những thông số hoàn toàn có thể được thỏa mãn nhu cầu bằng phương pháp chọn chiều dài bộ

lọc thích hợp. Chiều dài của cục lọc thông thấp thường được ước lượng

bởi biểu thức do Kaiser đề xuất kiến nghị như sau:

L=1+−10log10(δpδs)–13

2,324∆ω,(6.66)

trong số đó ∆ω=2π(νs−νp). Hermann đề xuất kiến nghị một công thức khác, có

ước lượng sát với thực tiễn hơn và MATLAB sử dụng, như sau:

L≈1+1

∆νK(δ1,δ2,∆ν),(6.67)

trong số đó

K(δ1,δ2,∆ν)=C1(δ1)log(δ2)+C2(δ1)+C3(δ1,δ2)(∆ν)2,(6.68)

*Để hiểu thật rõ những cụ ông cụ bà thể giải tích cũng như lập trình, fan hâm mộ hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm

giáo trình của Oppenheim, được liệt kê trong phần tài liệu tìm hiểu thêm.

205

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

với

C1(δ1)=(0,0729logδ1)2+0,07114logδ1−0,4761,(6.69)

C2(δ2)=(0,0518logδ2)2+0,59410logδ2−0,4278,(6.70)

C3(δ3)=11,01217 +0,541244(logδ1−logδ2).(6.71)

Công thức Herman cho bởi (6.67) đưa ra một ước lượng thông thường

nhỏ hơn thiết yếu, nên phải kiểm soát và điều chỉnh thêm một số trong những cty. Lúc thiết

kế ta sẽ khởi đầu với Lnhỏ nhất xem có thỏa mãn nhu cầu đặc tả không. Nếu

không thỏa mãn nhu cầu, ta sẽ tăng dẫn chiều dài lên. MATLAB có lệnh

dùng để ước lượng bậc bộ lọc – firpmord– đã tiếp tục tăng hai cty so với

công thức Kaiser nên hoàn toàn có thể thỏa mãn nhu cầu ngay lần chạy thứ nhất. Công

thức này đã và đang cho toàn bộ chúng ta biết chiều dài bộ lọc tỷ suất nghịch với dải chuyển

tiếp. Như vậy, để thỏa mãn nhu cầu những bộ lọc có dải chuyển tiếp hẹp, ta cần

sử dụng bậc bộ lọc lớn.

Ví dụ 6.8 (Thiết kế bộ lọc FIR thông thấp bằng phương pháp Park-

s–McClellan)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc thông thấp có (i) tần số cắt thông dải là

νp=0,2, (ii) tần số cắt triệt dải là νs=0,3, (iii) độ uốn lượn đều thông

dải là δp=0,01, (iv) độ suy giảm dải triệt là δs=0,001.

Áp dụng công thức Herman, ta tính được chiều dài bộ lọc là

L=27. Kết quả được minh họa ở hình 6.27 và được làm rõ hơn ở

hình 6.28 đã cho toàn bộ chúng ta biết độ gợn sóng và độ suy giảm không thỏa mãn nhu cầu đặc

tả thiết kế. Vì thế, cần tăng chiều dài cho tới lúc kết quả thiết kế

thỏa mãn nhu cầu Đk đặc tả. Giả sử ta tăng chiều dài bộ lọc là một trong, kết

quả tương ứng được minh họa ở hình 6.29 và thõa mãn những đặc tả.

Ví dụ 6.9 (Thiết kế bộ lọc FIR thông dải bằng phương pháp Park-

s–McClellan)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc thông dải có tần số lấy mẫu là 200 H z,

và có những tần số đặc tả: (i) Fs1=36H z, (ii) Fp1=40Hz, (iii) Fp2=60H z,

(iv) Fs2=64H z. Độ gợn sóng δp=0,02 và độ suy giảm dải triệt

δs=0,02.

206

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

“./figures/FIR_38” — 2012/7/23 — 23:48 — page 40 — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.5

A(ejω)

Hình 6.27: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông thấp [Ví dụ 6.8].

“./figures/FIR_39” — 2012/7/24 — 0:05 — page 40 — #1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.99

1.01

(a) Dải thông

“./figures/FIR_40” — 2012/7/24 — 0:05 — page 40 — #1

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−1

·10−3

(b) Dải triệt

Hình 6.28: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông thấp trong dải thông

và dải triệt [Ví dụ 6.8].

Chuẩn hóa trong miền tần số số ta có νs1=0,18,νp1=0,2,νp2=

0,3,νs2=0,32. Ta thấy ngay bộ lọc này còn có dải chuyển tiếp khá hẹp:

δnu =0,02. Theo công thức Herman, chiều dài bộ lọc sẽ là

L=74.

Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc này được thiết kế lần đầu như

trên hình 6.30, với độ gợn sóng dải thông và dải triệt chưa thõa mãn

207

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_41” — 2012/7/24 — 0:05 — page 40 — #1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.99

1.01

(a) Dải thông

“./figures/FIR_42” — 2012/7/24 — 0:05 — page 40 — #1

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−1

·10−3

(b) Dải triệt

Hình 6.29: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông thấp và dải thông

trong dải triệt sau khi nâng bậc bộ lọc [Ví dụ 6.8].

những đặc tả được thể hiện rõ trên hình 6.31. Sau khi tăng chiều dài bộ

lọc, phục vụ đã thõa mãn như trên hình 6.32.

“./figures/FIR_43” — 2012/7/24 — 0:20 — page 40 — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.5

A(ejω)

Hình 6.30: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải [Ví dụ 6.9].

208

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

“./figures/FIR_44” — 2012/7/24 — 0:06 — page 40 — #1

0 0.05 0.1 0.15

−0.02

0.02

(a) Dải thông

“./figures/FIR_45” — 2012/7/24 — 0:06 — page 40 — #1

0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3

0.98

1.02

(b) Dải triệt

Hình 6.31: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải trong dải thông

và dải triệt [Ví dụ 6.9].

“./figures/FIR_46” — 2012/7/24 — 0:06 — page 40 — #1

0 0.05 0.1 0.15

−0.02

0.02

(a) Dải thông

“./figures/FIR_47” — 2012/7/24 — 0:06 — page 40 — #1

0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3

0.98

1.02

(b) Dải triệt

Hình 6.32: Đáp ứng tần số biên độ bộ lọc thông dải trong dải thông

và dải triệt sau khi nâng bậc bộ lọc [Ví dụ 6.9].

Thiết kế một bộ lọc vi phân và bộ lọc Hilbert

Bộ lọc vi phân*và bộ lọc Hilbert†là những thiết bị ta gặp

khá thường xuyên trong cấu trúc của khối mạng lưới hệ thống truyền tin. Đáp ứng

tần số của hai bộ lọc này được minh họa ở hình 6.33 và hình 6.34.

*Differentiator.

†Hilbert transformer.

209

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Chú ý rằng tác động của đạo hàm hay trễ pha của cục lọc Hilbert chỉ

cần thỏa mãn nhu cầu trên dải thông ta quan tâm. Và như vậy phương pháp

hiên chạy cửa số là hoàn toàn thích hợp cho thiết kế nhiều chủng loại bộ lọc này tức là

triển khai phục vụ tần số thành một chuỗi Fourier và xử lý với cửa

số thế nào để phục vụ tần số thỏa mãn nhu cầu những đặc tả. Do Những phương

pháp này đã được đưa vào MATLAB với những lệnh đặc biệt quan trọng.

“./figures/FIR_48” — 2012/7/24 — 0:21 — page 41 — #1

−0.4−0.2 0 0.2 0.4

−0.2

0.2

|H(ejω)|

(a) Đáp ứng biên độ

“./figures/FIR_49” — 2012/7/24 — 0:22 — page 41 — #1

−0.4−0.2 0 0.2 0.4

−2

−1

∠H(ejω)

(b) Đáp ứng pha

Hình 6.33: Đáp ứng tần số biên độ và pha của cục lọc vi phân.

210

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

6.3. Phương pháp thiết kế Parks-McClellan

“./figures/FIR_50” — 2012/7/24 — 0:25 — page 41 — #1

−0.4−0.2 0 0.2 0.4

−1

|H(ejω)|

(a) Đáp ứng biên độ

“./figures/FIR_51” — 2012/7/24 — 0:26 — page 41 — #1

−0.4−0.2 0 0.2 0.4

−2

−1

∠H(ejω)

(b) Đáp ứng pha

Hình 6.34: Đáp ứng tần số biên độ và pha của cục lọc Hilbert.

211

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

Bài tập chương 6

6.1. Sử dụng phương pháp hiên chạy cửa số để thiết kế một bộ lọc FIR thông

thấp có pha tuyến tính, có phục vụ tần số biên độ xấp xỉ lý tưởng

như sau:

Hd(ω)=(1,|ω|≤π/5,

0,π/5 <|ω|≤ π

a) Xác định những thông số của cục lọc 30 trọng số sử dụng phương pháp

hiên chạy cửa số, vận dụng hiên chạy cửa số hình chữ nhật.

b) Xác định phục vụ tần số biên độ của cục lọc vừa thiết kế.

6.2. Lặp lại bài tập 6.1 sử dụng hiên chạy cửa số tam giác và Hanning.

6.3. Sử dụng phương pháp hiên chạy cửa số để thiết kế một bộ lọc FIR thông

cao có pha tuyến tính, có phục vụ tần số biên độ xấp xỉ lý tưởng như

Hd(ω)=(0,|ω|<π/4,

1,π/4 ≤|ω|≤ π

a) Xác định những thông số của cục lọc 30 trọng số sử dụng phương pháp

hiên chạy cửa số, vận dụng hiên chạy cửa số hình chữ nhật.

b) Xác định phục vụ tần số biên độ của cục lọc vừa thiết kế.

6.4. Thiết kế một bộ lọc FIR thông dải có pha tuyến tính, có đáp

ứng tần số biên độ xấp xỉ lý tưởng như sau:

Hd(ω)=









0,|ω|≤π/5,

1,π/5 <|ω|< π/3

0,π/3 <|ω|≤ π

a) Xác định những thông số của cục lọc 40 trọng số sử dụng phương pháp

hiên chạy cửa số, vận dụng hiên chạy cửa số Hanning.

b) Xác định phục vụ tần số biên độ của cục lọc vừa thiết kế.

212

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Bài tập

6.5. Thiết kế một bộ lọc FIR chặn dải có pha tuyến tính, có phục vụ

tần số biên độ xấp xỉ lý tưởng như sau:

Hd(ω)=









1,|ω|≤π/5,

0,π/5 <|ω|< π/3

1,π/3 ≤|ω|≤ π

a) Xác định những thông số của cục lọc 40 trọng số sử dụng phương pháp

hiên chạy cửa số, vận dụng hiên chạy cửa số Hanning.

b) Xác định phục vụ tần số biên độ của cục lọc vừa thiết kế.

6.6. Xác định phục vụ xung cty của một bộ lọc FIR có pha tuyến

tính, chiều dài M=4, có phục vụ tần số tại những tần số góc ω=0và

ω=π/2 như sau:

Hr(0) =1,

Hd(ω)=









0,|ω|≤π/6,

1,π/6 <|ω|< π/3

0,π/3 <|ω|≤ π

6.7. Xác định phục vụ xung cty của một bộ lọc FIR có pha tuyến

tính, phục vụ xung đối xứng, chiều dài M=13, có phục vụ tần số

như sau:

Hrµ2πk

13 ¶=(1,k=0,1,2

0,k=3,4,5,6

6.8. Sử dụng phương pháp hiên chạy cửa số và dùng hiên chạy cửa số Barlett để thiết

kế một bộ lọc vi phân 25 thông số, có phục vụ lý tưởng như ở hình 6.35.

6.9. Sử dụng phương pháp lấy mẫu trên miền tần số để thiết kế

một bộ lọc FIR thông thấp có pha tuyến tính, có phục vụ tần số biên

độ xấp xỉ lý tưởng như sau:

Hd(ω)=(1,|ω|≤π/4,

0,π/4 <|ω|≤ π

213

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 6. Thiết kế bộ lọc số FIR

“./figures/FIR_52” — 2012/7/24 — 0:26 — page 44 — #1

−1−0.5 0 0.5 1

0.5

1.5

|H(ejω)|

Hình 6.35: Đáp ứng tần số biên độ của cục lọc vi phân [Bài tập 6.8].

a) Xác định phục vụ xung cty của cục lọc 10 trọng số.

b) Xác định phục vụ tần số biên độ và pha của cục lọc vừa thiết kế.

c) Thực thi cấu trúc bộ lọc nêu trên.

6.10. Lặp lại bài số 6.8 sử dụng phương pháp Parks–McClellan.

6.11. Sử dụng phương pháp lấy mẫu trên miền tần số để thiết kế

một bộ lọc FIR thông cao có pha tuyến tính, có phục vụ tần số biên

độ xấp xỉ lý tưởng như sau:

Hd(ω)=(0,|ω|<π/5,

1,π/5 ≤|ω|≤ π

a) Xác định phục vụ xung cty của cục lọc 10 trọng số.

b) Xác định phục vụ tần số biên độ và pha của cục lọc vừa thiết kế.

c) Thực thi cấu trúc bộ lọc nêu trên.

6.12. Sử dụng phương pháp Parks–McClellan để thiết kế một bộ

lọc FIR vi phân có pha tuyến tính, chiều dài M=50, tần số dải thông

là 0,12 và tần số dải triệt là 0,2.

214

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7

THIẾT KẾ BỘ LỌC SỐ ĐA VẬN TỐC

Trong một khối mạng lưới hệ thống xử lý tín hiệu hay điều khiển và tinh chỉnh số, hoàn toàn có thể có

một số trong những thiết bị có vận tốc xử lý rất khác nhau. Như vậy, để hoàn toàn có thể link

những thiết bị, nên phải có phương pháp thay đổi vận tốc xử lý nhằm mục đích đồng

bộ hóa khối mạng lưới hệ thống. Tình huống này đã cho toàn bộ chúng ta biết cần xây dựng một phương

pháp được cho phép kiểm soát và điều chỉnh vận tốc lấy mẫu.

Về mặt nguyên tắc, từ bộ sưu tập x(n)của một tín hiệu tương

tự gốc xa(t)đã được lấy mẫu với vận tốc FS, ta hoàn toàn có thể tái tạo xa(t)và

lấy mẫu nó với một vận tốc F0

Snào khác. Tuy nhiên, trong thực tiễn xử

lý tín hiệu số, ta mong ước thay đổi vận tốc lấy mẫu của tín hiệu

số x(n)mà không thông qua quy trình tái tạo tín hiệu tương tự xa(t).

Chương này trình diễn những khái niệm và những phương pháp nhằm mục đích thực

hiện việc quy đổi vận tốc lấy mẫu trực tiếp trên tín hiệu số.

7.1 Hạ tốc

7.1.1 Những kết quả cơ bản

Cho xa(t)là một tín hiệu tương tự được lấy mẫu với chu kỳ luân hồi T

khiến cho tín hiệu số x(n). Giả sử vận tốc lấy mẫu đã thỏa Đk lấy

mẫu Nyquist, thì từ tín hiệu x(n)hoàn toàn có thể tái tạo lại tín hiệu xa(t)một

cách hoàn hảo nhất. Để xử lý và xử lý yếu tố đổi vận tốc một cách tổng quát,

trước tiên ta xét trường hợp hạ tốc bởi một số trong những nguyên M, tức tăng

215

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

chu kỳ luân hồi vận tốc lấy mẫu Tthành T0=MT, để sở hữu tín hiệu số x↓M(n).

Điều đáng để ý quan tâm là lúc hạ tốc, rất hoàn toàn có thể có hiện tượng kỳ lạ gập phổ xuất

hiện, nếu vận tốc lấy mẫu F0

Skhông thỏa Đk lấy mẫu Nyquist.

Nhận thấy, tín hiệu x↓M(n)hoàn toàn có thể suy ra thuận tiện và đơn thuần và giản dị từ x(n)bằng

cách cứ mỗi Mmẫu của x(n)ta chỉ lấy một mẫu. Cách hạ tốc này

được ký hiệu bằng một toán tử DM, và được định nghĩa như sau:

x↓M(n)=DMx(n)=x(Mn).(7.1)

Toán tử hạ tốc này bảo toàn vị trí gốc, tức là x↓M(0) =x(0). Với định

nghĩa này, ta thấy toán tử DMlà tuyến tính nhưng không không bao giờ thay đổi

theo thời hạn. Sơ đồ khối như trên hình 7.1 được sử dụng để mô tả toán

tử hạ tốc này.

“./figures/Multirate_0” — 2012/6/11 — 14:01 — page 6 — #1

↓M

x(n)x↓M(n)

Hình 7.1: Sơ đồ khối của phép hạ tốc.

Giả sử với chu kỳ luân hồi lấy mẫu T, Đk lấy mẫu Nyquist được

thỏa mãn nhu cầu. Tức là tín hiệu xa(t)có dải thông BHz hữu hạn và phổ

của tín hiệu số sẽ có được dải thông νp=B/FS≤0,5. Nếu lúc hạ tốc từ FS

xuống FS/Mmà vẫn bảo vệ được Đk lấy mẫu Nyquist thì dải

thông νpM của tín hiệu số hạ tốc x↓M(n)theo định nghĩa là

νpM =B

FS/M=Mνp.(7.2)

Phổ trên chu kỳ luân hồi cơ bản [-0,5;0,5] của x(n)và x↓M(n)được mô tả trong

hình 7.2.

Không cần tính toán nhiều, hoàn toàn có thể thấy ngay trong trường hợp

Mνp>0.5thì vận tốc lấy mẫu này thấp hơn vận tốc lấy mẫu thiết yếu

theo định lý Nyquist, và như vậy sẽ xuất hiện hiện tượng kỳ lạ gập phổ.

Như thế, để số lượng giới hạn ảnh hưởng của hiện tượng kỳ lạ gập phổ, thì ngay

trong miền tín hiệu số, hoàn toàn có thể cho tín hiệu gốc x(n)trải qua một bộ

lọc thông thấp để dải thông của đầu ra phải nhỏ hơn 0.5/M. Tóm lại,

trước lúc hạ tốc, ta cần lọc tín hiệu gốc x(n)với bộ lọc thông thấp lý

tưởng có dải thông νid =0.5/M, như được mô tả ở hình 7.3.

216

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.1. Hạ tốc

“./figures/Multirate_1” — 2012/6/11 — 14:01 — page 6 — #1

X(ejω)

−0,5 0,5

−νpνp

(a)

“./figures/Multirate_2” — 2012/6/11 — 14:01 — page 6 — #1

X↓M(ejω)

−0,5 0,5

−MνpMνp

(b)

Hình 7.2: Phổ tín hiệu trước và sau khi hạ tốc Mlần.

Hệ thống này mang tên là bộ lọc hạ tốc*. Trong thực tiễn, bộ lọc

lý tưởng được thiết kế theo những phương pháp đã được trình diễn trong

chương 6. Thông thường, ta sử dụng phương pháp FIR có pha tuyến

tính, để sở hữu phục vụ xung là h(n), với n=0, . . ., L−1, trong số đó Llà chiều

dài bộ lọc FIR tương ứng. Như thế, ta thấy

v(n)=

L−1

k=0

h(k)x(n−k),(7.3)

và suy ra

x↓M(n)=v(Mn)=

L−1

k=0

h(k)x(M n −k).(7.4)

Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết, để bảo vệ hiện tượng kỳ lạ gập phổ không

ảnh hưởng đến đầu ra lúc hạ tốc, nên phải lọc tín hiệu với một bộ lọc

*Decimator.

217

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_3” — 2012/6/11 — 14:01 — page 6 — #1

x(n)Hlp(ejω)↓Mx↓M(n)

v(n)

(a) Bộ hạ tốc có lọc thông thấp

“./figures/Multirate_4” — 2012/7/24 — 11:55 — page 8 — #1

|Hlp(ejω)|

−0,5 0,5

−0,5

0,5

(b) Tần số cắt của cục lọc thông thấp

Hình 7.3: Áp dụng lọc thông thấp để tránh gập phổ.

số có tần số cắt là νpM =0,5/M. Nếu tín hiệu số gốc x(n)có dải thông

nhỏ hơn tần số cắt 0,5/Mthì bộ lọc không tác động đến tín hiệu. Tuy

nhiên, nếu x(n)có dải thông to nhiều hơn tần số cắt thì bộ lọc loại phần

phổ nằm ngoài tần số cắt. Như thế, vai trò của cục lọc nhằm mục đích vô hiệu

phần phổ này để tránh hiện tượng kỳ lạ gập phổ. Kết quả này đã cho toàn bộ chúng ta biết,

lúc hạ tốc ta đồng ý mất một ít thông tin và kết quả này là yếu tố

hiển nhiên riêng với thao tác hạ tốc.

Ví dụ 7.1 (Thiết kế bộ lọc hạ tốc)

Ta muốn thiết kế một bộ lọc hạ tốc với những đặc tả như sau:

a) hạ tốc M=4lần.

b) Bộ lọc thông thấp có độ gợn sóng trong dải thông là 0,01 và độ suy

giảm là 0,001 trong dải triệt bắt nguồn từ νs.

Để không xẩy ra hiện tượng kỳ lạ gập phổ trong bộ lọc hạ tốc, tần số

cắt của một bộ lọc thông thấp thiết yếu kế là

νp=0,5

4=0,125.

Với cách đặt yếu tố như đặc tả (b), chiều dài của cục lọc sẽ phụ thuộc

vào chiều dài của dải chuyển tiếp ∆ν=νs−νp. Trong quy trình thiết

218

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.1. Hạ tốc

kế, ta hoàn toàn có thể kiểm soát và điều chỉnh độ gợn sóng và độ suy giảm nếu thấy cần

thiết.

Giả sử ta chọn νs=0,15. Theo công thức Hermann 6.67 được cho

trong chương 6, chiều dài bộ lọc là L=103, được xem bởi MATLAB.

Về mặt thực tiễn, chiều dài này là hoàn toàn có thể đồng ý được. Hình 7.4 biểu

diễn phục vụ tần số của cục lọc thông thấp được thiết kế. Hệ số của

bộ lọc được cho trong Bảng 7.1.

“./figures/Multirate_5” — 2012/7/20 — 0:06 — page 10 — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−100

−80

−60

−40

−20

|H(ejω)|

Hình 7.4: Đáp ứng tần số của cục lọc thông thấp [Ví dụ 7.1].

Nếu ta chọn νs=0,13, chiều dài được xem toán tăng thêm L=509

mới hoàn toàn có thể phục vụ tiêu chuẩn thiết kế này, to nhiều hơn nhiều so với trường

hợp νs=0,13. Như vậy, ν=0,15 trên đấy là phù phù thích hợp với thiết kế thực

tiễn.

MATLAB có một lệnh làm hạ tốc Mlần một tín hiệu xđể cho

tín hiệu ynhư sau:

y = decimate(x,M)

Lệnh này cho đầu ra yngắn hơn Mlần nguồn vào x. Theo mặc định, bộ

lọc được thiết kế trong chương trình MATLAB của lệnh này sử dụng

họ Chebyshev thông thấp có bậc là 8 và có tần số cắt là 0,8FS/2. Tuy

nhiên, hoàn toàn có thể thay đổi bậc của cục lọc bằng lệnh

219

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

Bảng 7.1: Hệ số của cục lọc thông thấp [Ví dụ 7.1].

-0.0008 -0.0027 -0.0095 -0.0478 0.0331 0.0093 0.0029

-0.0003 -0.0041 -0.0121 -0.0565 0.0235 0.0056 0.0015

0.0004 -0.0027 -0.0062 -0.0209 0.0013 -0.0012 -0.0007

0.0015 0.0009 0.0053 0.0582 -0.0175 -0.0063 -0.0020

0.0024 0.0045 0.0148 0.1573 -0.0220 -0.0067 -0.0018

0.0025 0.0053 0.0149 0.2395 -0.0120 -0.0028 -0.0003

0.0015 0.0023 0.0040 0.2714 0.0040 0.0023 0.0015

-0.0003 -0.0028 -0.0120 0.2395 0.0149 0.0053 0.0025

-0.0018 -0.0067 -0.0220 0.1573 0.0148 0.0045 0.0024

-0.0020 -0.0063 -0.0175 0.0582 0.0053 0.0009 0.0015

-0.0007 -0.0012 0.0013 -0.0209 -0.0062 -0.0027 0.0004

0.0015 0.0056 0.0235 -0.0565 -0.0121 -0.0041 -0.0003

0.0029 0.0093 0.0331 -0.0478 -0.0095 -0.0027 -0.0008

0.0025 0.0067 0.0196 -0.0137 -0.0012 0.0002 0

0.0002 -0.0012 -0.0137 0.0196 0.0067 0.0025 0

y = decimate(x,M,N)

trong số đó Nlà bậc của cục lọc Chebyshev ta muốn sử dụng. Ta cũng luôn có thể có

thể sử dụng bộ lọc FIR để thiết kế bộ lọc hạ tốc, bằng lệnh

y = decimate(x,M,’fir’)

Lệnh này dùng một bộ lọc FIR có bậc là 30 và tần số số cắt là M.

7.1.2 Phổ của tín hiệu hạ tốc

Các kết quả vừa mới được phân tích hoàn toàn có thể nhờ vào phổ của tín hiệu

hạ tốc. Phổ của tín hiệu hạ tốc hoàn toàn có thể được xem toán một cách tương

đối đơn thuần và giản dị như sau. Gọi X(ejω)là phổ của tín hiệu gốc x(n). Đặt

xe(n)như sau:

xe(n)=(x(n),nếu n=kM ,

0,nếu n6= kM .(7.5)

Để màn biểu diễn xe(n)theo x(n), ta sử tổng cấp số nhân

1+x+x2+···+ xM−1=









M,nếu x=1,

1−xM

1−x,nếu x6=1

(7.6)

220

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.1. Hạ tốc

với x=ejk2πn/Mđể được

xe(n)=x(n)1

M−1

k=0

ejk 2π

Mn.(7.7)

Mối liên hệ giữa x(n),xe(n)và x↓M(n)được mô tả như trong hình 7.5.

Phổ của xe(n)được xem như sau:

Xe(ejω)=∞

n=−∞

xe(n)e−jnω

M−1

k=0

∞

n=−∞

x(n)e−jn(ω−k2π

M−1

k=0

X(e−j(ω−k2π

M))(7.8)

Mặt khác, biết rằng x↓M(n)=xe(nM ), ta hoàn toàn có thể màn biểu diễn phổ X↓M(ejω)

theo Xe(ejω)như sau:

X↓M(ejω)=∞

n=−∞

xe(nM)e−jnω

=∞

n=−∞

xe(n)e−jn ω

=Xe(ejω

M)(7.9)

Biểu thức (7.8) và (7.9) cho ta phổ của x↓M(n)là

X↓M(ejω)=1

M−1

k=0

X³ejω−k2π

M´.(7.10)

Từ công thức này, cũng hoàn toàn có thể suy ra biến hóa Zcủa x↓M(n)bằng phương pháp

thế ejωtrong công thức (7.10) bởi zvà đặt WM=e−j2π

M. Như thế ta có

X↓M(z)=1

k=0

X³WMz1

M´.(7.11)

Phổ của tín hiệu hạ tốc được minh họa ở hình 7.6 cho M=2và

hình 7.7 cho M=3. Hiện tượng gập phổ xẩy ra trong hình 7.7. Vì vậy,

vai trò của cục lọc thông thấp để số lượng giới hạn ảnh hưởng của hiện tượng kỳ lạ

gập phổ là rất là thiết yếu.

221

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_6” — 2012/7/25 — 18:54 — page 14 — #1

x(n)

(a) x(n)

“./figures/Multirate_7” — 2012/7/25 — 18:54 — page 14 — #1

xe(n)

(b) xe(n)

“./figures/Multirate_8” — 2012/7/25 — 18:54 — page 14 — #1

x↓M(n)

Hình 7.5: Mối liên hệ giữa x(n),xe(n)và x↓M(n), với M=2.

222

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.1. Hạ tốc

“./figures/Multirate_9” — 2012/7/24 — 12:11 — page 13 — #1

X(ejω)

−2 2−1 1−0,25 0,25

(a)

“./figures/Multirate_10” — 2012/7/24 — 12:11 — page 13 — #1

X(ejω

−2 2−1 1−0,5 0,5

1/2

(b)

“./figures/Multirate_11” — 2012/7/24 — 12:11 — page 13 — #1

X(ejω−2π

−2 2−1 1−0,5 0,5

(c)

“./figures/Multirate_12” — 2012/7/24 — 12:11 — page 13 — #1

X(ejω−2π

−2 2−1 1−0,5 0,5

(d)

Hình 7.6: Minh họa phổ tín hiệu hạ tốc M=2lần.

223

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_13” — 2012/7/24 — 12:19 — page 13 — #1

X(ejω)

−2 2−1 1−0,25 0,25

(a)

“./figures/Multirate_14” — 2012/7/24 — 12:19 — page 13 — #1

X(ejω

−2 2−1 1−0,5 0,5

1/3

(b)

Hình 7.7: Minh họa phổ tín hiệu hạ tốc M=3lần.

Có một kết quả rất hữu ích tương ứng với trường hợp hạ tốc

lúc thiết kế một khối mạng lưới hệ thống đa vận tốc, đó là đẳng thức Noble*, được

minh họa như hình 7.8. Khai triển trực tiếp về mặt tín hiệu thì đẳng

thức Noble này là hiển nhiên. Đẳng thức Noble này hoàn toàn có thể được mở

rộng thuận tiện và đơn thuần và giản dị cho một bộ lọc có hàm truyền là H(z)như được minh

họa ở hình 7.9.

*Noble equality.

224

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.2. Tăng tốc

“./figures/Multirate_15” — 2012/7/24 — 12:12 — page 13 — #1

x(n)z−M↓My(n)

(a)

“./figures/Multirate_16” — 2012/7/24 — 12:12 — page 13 — #1

x(n)↓Mz−1y(n)

(b)

Hình 7.8: Đẳng thức Noble trong trường hợp hạ tốc: (a) và (b) là

tương tự.

“./figures/Multirate_17” — 2012/7/24 — 12:15 — page 13 — #1

x(n)H(zM)↓My(n)

(a)

“./figures/Multirate_18” — 2012/7/24 — 12:15 — page 13 — #1

x(n)↓MH(z)y(n)

(b)

Hình 7.9: Mở rộng đẳng thức Noble trong trường hợp hạ tốc: (a) và

(b) là tương tự.

7.2 Tăng tốc

Cho x(n)là tín hiệu số đã có được lúc lấy mẫu của tín hiệu tương tự

xa(t)với chu kỳ luân hồi lấy mẫu Tthỏa Đk lấy mẫu Nyquist. Như thế,

lúc tăng tốc Nlần, rõ ràng hiện tượng kỳ lạ gập phổ không xẩy ra. Mặt

khác, nếu tăng tốc từ tín hiệu số x(n)thì thấy ngay có một số trong bộ sưu tập

ta không biết được. Đồng thời, để sở hữu trị số của bộ sưu tập này, chắc

chắn ta phải dùng một thuật toán nội suy. Thuật toán nội suy này

là tương ứng với một bộ lọc số. Như thế, vai trò của cục lọc số trong

trường hợp tăng tốc không nhằm mục đích để số lượng giới hạn ảnh hưởng của hiện

tượng gập phổ mà chỉ đóng vai trò nội suy khiến cho ta bộ sưu tập mà

ta không còn. Gọi x↑N(n)là tín hiệu tăng tốc suy ra từ x(n), ta có định

nghĩa sau:

x↑N(n)=(0,nếu n6= kN ,

x¡n

N¢nếu n=kN .(7.12)

225

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_19” — 2012/7/24 — 12:30 — page 14 — #1

x(n)

(a) x(n)

“./figures/Multirate_20” — 2012/7/24 — 12:30 — page 14 — #1

x↑N(n)

(b) x↑N(n)

Hình 7.10: Mối liên hệ giữa x(n)và x↑N(n)với N=3.

Hình 7.10 đã cho toàn bộ chúng ta biết, bước thứ nhất tăng tốc tức là chèn thêm N−1

mẫu có trị 0vào giữa hai mẫu của tín hiệu gốc. Sơ đồ khối của bước

tăng tốc được mô tả ở hình 7.11.

“./figures/Multirate_21” — 2012/7/24 — 12:30 — page 14 — #1

x(n)↑Nx↑N(n)

Hình 7.11: Sơ đồ màn biểu diễn phép tăng tốc.

Từ tín hiệu tăng tốc bước đầu v(n), ta dùng một bộ lọc để nội

suy bộ sưu tập không hiện hữu trong tín hiệu gốc. Hệ thống minh họa

trong hình 7.12 được gọi là bộ lọc tăng tốc*.

Cấu trúc của cục lọc này sẽ tiến hành xác lập một cách rõ ràng sau

*Interpolator.

226

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.2. Tăng tốc

“./figures/Multirate_22” — 2012/7/24 — 12:30 — page 14 — #1

x(n)↑NH(ejω)y(n)

x↑N(n)

Hình 7.12: Bộ lọc tăng tốc.

khi ta tính phổ của tín hiệu tăng tốc x↑N(n). Theo định nghĩa của

x↑N(n)thì phổ của nó phải là

X↑N(ejω)=∞

n=−∞

x↑N(n)e−jnω

=∞

m=−∞

x(m)e−jm Nω

=X³ejN ω´.(7.13)

Biến đổi Zcủa x↑N(n)hoàn toàn có thể suy ra từ (7.13) bằng phương pháp thế ejωbằng

zđể có

X↑N(z)=X³zN´.(7.14)

Phổ của x↑N(n)được minh họa ở hình 7.13.

“./figures/Multirate_23” — 2012/7/24 — 12:31 — page 15 — #1

X(ejω)

−1 1−0,5 0,5−0,25 0, 25

(a)

“./figures/Multirate_24” — 2012/7/24 — 12:31 — page 15 — #1

X↑N(ejω)

−1 1−0,5 0,5−0,25 0, 25

(b)

Hình 7.13: Minh họa phổ tín hiệu tăng tốc.

227

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

Ta thấy ngay, ngoài phần phổ cơ bản tiềm ẩn thông tin thì có

một số trong những phần phổ khác xuất hiện trong mức chừng tần số số [−0,5; 0,5],

được gọi là ảnh phổ*. Điều quan trọng quan sát được là những phần

ảnh phổ này sẽ không còn tác động đến phần phổ cơ bản ta quan tâm. Bộ

lọc thông thấp được sử dụng để vô hiệu những thành phần ảnh phổ này

đó đó là bộ lọc nội suy được đề cập ở trên (xem hình 7.14).

“./figures/Multirate_25” — 2012/7/24 — 12:32 — page 15 — #1

X(ejω)

−0,5 0,5

−0,5

0,5

(a) Hiện tưởng ảnh phổ

“./figures/Multirate_26” — 2012/7/24 — 12:32 — page 15 — #1

Hlp(ejω)

−0,5 0,5

−0,5

0,5

(b) Lọc thông thấp nội suy

Hình 7.14: Lọc thông thấp để loại ảnh phổ trong bộ tăng tốc.

Ví dụ 7.2 (Thiết kế bộ lọc tăng tốc)

Trong ví dụ này, ta thiết kế một bộ lọc tăng tốc N=4lần. Điểm quan

trọng của giải pháp là sau khi tăng tốc ta thiết yếu kế một bộ lọc

thông thấp có tần số số cắt tại νc=0,5/4 =0,125, được thiết kế như

trên hình 7.15. Ngoài việc thiết kế bộ lọc nội suy Theo phong cách thông

*Frequency image.

228

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.3. Thay đổi vận tốc theo một thông số hữu tỷ

thường, trong MATLAB có lệnh sau này để lọc nội suy tín hiệu là

đầu ra của cục tăng tốc:

y = interp(x,N)

trong số đó xlà tín hiệu gốc, Nlà vận tốc cần tăng và ylà tín hiệu tăng

tốc. Lệnh này sử dụng một bộ lọc thông thấp FIR đối xứng sao cho

tài liệu gốc không biến thành tác động, đồng thời nội suy những tài liệu của

tín hiệu tăng tốc thế nào để sai số trung bình bình phương tối thiểu.

“./figures/Multirate_27” — 2012/7/24 — 12:32 — page 16 — #1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

Hình 7.15: Bộ lọc nội suy có tần số cắt 0,125.

7.3 Thay đổi vận tốc theo một thông số hữu tỷ

Tín hiệu x(n)là tín hiệu số đã có được từ quy trình lấy mẫu của tín

hiệu tương tự xa(t)với chu kỳ luân hồi T. Từ x(n), ta phải xây dựng tín hiệu

số xNM (n)là tín hiệu số đã có được từ thao tác lấy mẫu của xa(t)với chu

kỳ MT /N. Với vận tốc lấy mẫu này ta thấy ngay, ta cần tăng tốc N

lần và hạ tốc Mlần thì đạt được kết quả. Như thế, sử dụng khối mạng lưới hệ thống

bộ lọc tăng tốc tiếp nối đuôi nhau với bộ lọc hạ tốc ta sẽ đã có được kết quả mong

muốn (xem hình 7.16). Trong khối mạng lưới hệ thống này, có hai bộ lọc thông thấp

229

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_28” — 2012/7/24 — 12:33 — page 16 — #1

x(n)↑NHint(ejω)Hdec(ejω)↓My(n)

Hình 7.16: Thay đổi vận tốc theo thông số hữu tỷ M/N.

“./figures/Multirate_29” — 2012/7/24 — 12:33 — page 16 — #1

x(n)y(n)

H1(ejω)

−0,5

0,5

H2(ejω)

−0,5

0,5

(a)

“./figures/Multirate_30” — 2012/7/24 — 12:33 — page 16 — #1

x(n)y(n)

H(ejω)

−νcνc

(b)

Hình 7.17: Kết hợp hai bộ lọc. Tần số cắt của cục lọc phối hợp là

giá trị nhỏ nhất của những tần số cắt của những bộ lọc thành phần:

νc=minn0,5

N,0.5

Mo.

lý tưởng H1(ejω)và H2(ejω)mắc tiếp nối đuôi nhau nhau, được mô tả như trên

hình 7.17(a). Như vậy, ta hoàn toàn có thể phối hợp để thành một bộ lọc thông

thấp độc nhất H(ejω), như trên hình 7.17(b).

Có thể thiết kế bộ lọc đổi vận tốc này bằng những phương pháp đã

được trình diễn trong chương 6. Cũng như riêng với khối mạng lưới hệ thống hạ tốc, có

một kết quả rất hữu ích tương ứng với trường hợp tăng tốc lúc thiết

kế một khối mạng lưới hệ thống đa vận tốc, đó chính đẳng thức Noble trong trường

hợp tăng tốc, được minh họa ở hình 7.18. Như riêng với trường hợp hạ

tốc, đẳng thức Noble cho tăng tốc cũng hoàn toàn có thể được mở rộng thuận tiện và đơn thuần và giản dị

cho một bộ lọc có hàm truyền là H(z), như trên hình 7.19.

230

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.3. Thay đổi vận tốc theo một thông số hữu tỷ

“./figures/Multirate_31” — 2012/7/24 — 12:34 — page 17 — #1

x(n)↑Nz−Ny(n)

(a)

“./figures/Multirate_32” — 2012/7/24 — 12:34 — page 17 — #1

x(n)z−1↑Ny(n)

(b)

Hình 7.18: Đẳng thức Noble trong trường hợp tăng tốc: (a) và (b) là

tương tự.

“./figures/Multirate_33” — 2012/7/24 — 12:35 — page 17 — #1

x(n)↑NH(zN)y(n)

(a)

“./figures/Multirate_34” — 2012/7/24 — 12:35 — page 17 — #1

x(n)H(z)↑Ny(n)

(b)

Hình 7.19: Mở rộng đẳng thức Noble trong trường hợp tăng tốc: (a)

và (b) là tương tự.

Ví dụ 7.3 (Thiết kế bộ lọc đa vận tốc hữu tỷ)

Vào trong năm 90 của thế kỷ 20, ta có hai thiết bị âm nhạc số phổ

biến là CD (Compact Disk) và DAT (Digital Audio Tape). CD hoạt

động với vận tốc lấy mẫu 44,1KHz, trong lúc đó DAT lại hoạt động và sinh hoạt giải trí ở

48 KHz. Các công ty đã chọn những số lượng này để làm cho những khối mạng lưới hệ thống

này sẽ không còn thể tương thích. Yêu cầu nêu lên là thiết kế một bộ lọc đa

vận tốc để link hai thiết bị này.

Với phương pháp xử lý đa vận tốc, ta thấy hoàn toàn có thể thay đổi vận

tốc lấy mẫu từ 48 KHz thành 44,1KHz thuận tiện và đơn thuần và giản dị. Như thế, để sở hữu hệ

số quy đổi vận tốc 44,1/48, tức tương tự với 147/160, ta cần hạ

tốc 160 lần và tăng tốc 147 lần. Sơ đồ khối tương ứng với khối mạng lưới hệ thống

này được minh họa ở hình 7.20.

Nhận thấy, thông số tăng tốc 147, hạ tốc 160 và tần số cắt 0,5/160 =

0,0031 là những thông số khó đạt được trong thực tiễn. Đúng như vậy,

ta sử dụng lệnh sau này của MATLAB:

231

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_35” — 2012/7/24 — 12:37 — page 17 — #1

xCD(n)↑147 ↓160 xDAT(n)

H(ejω)

−0,5

160

0,5

160

147

Hình 7.20: Hệ thống quy đổi tín hiệu từ CD sang DAT [Ví dụ 7.3].

[N,f0,m0,w]=firpmord([0.0031,0.0033],[1 0],[0.01,.001],1)

Lệnh này được cho phép tính bậc của cục lọc có độ dài N, những tần số số νp

và νs, biên độ lý tưởng của dải thông là cty, biên độ của dải triệt

là 0, độ gợn sóng là 0,01 và độ suy giảm là 0,001. Số 1cuối cùng là

tần số Nyquist.

Các thông số thiết kế cho ví dụ này vượt quá mức cần thiết độ ngặt nghèo cần

thiết. Thật vậy, dải chuyển tiếp có chiều dài bằng 0,0031 −0,0033 =

0,0002, độ gợn sóng của dải thông là 0,01 là độ suy giảm của dải triệt

là 0,001. Với những thông số này, chiều dài của cục lọc rất rộng, được xem

ra là L=N+1=12707. Đáp ứng tần số của cục lọc trong khối mạng lưới hệ thống thay

đổi vận tốc này còn có hiệu suất cao lý thuyết rất cao, như trên hình 7.21(a).

Tuy nhiên, với chiều dài L=12707 thì độ phức tạp để thực thi

bộ lọc FIR này cũng rất cao. Chẳng hạn ta hoàn toàn có thể thực thi bộ lọc

này với màn biểu diễn đa pha bằng phương pháp sử dụng 127 bộ lọc tuy nhiên tuy nhiên,

mỗi bộ lọc có chiều dài là 100.

Ta hoàn toàn có thể giảm độ phức tạp bằng phương pháp thay đổi những thông số để sở hữu

những ràng buộc nhẹ nhàng hơn. Chẳng hạn, dải thông đi từ 0,0031

đến 0,004. Độ gợn sóng của dải chuyển tiếp là 0,01 và độ suy giảm

của dải triệt là 0,001. Với dải chuyển tiếp không chặt như đề xuất kiến nghị,

ta thấy kết quả đạt được là một bộ lọc có chiều dài sẽ là 2825

và phục vụ tần số được minh họa ở hình 7.21(b).

Độ phức tạp của cục lọc thứ hai nhỏ hơn so với độ phức tạp của

bộ lọc thứ nhất. Tuy nhiên, dải chuyển tiếp của cục lọc thứ hai này

lại to nhiều hơn thật nhiều so với bộ lọc thứ nhất. Sự thỏa hiệp giữa độ

phức tạp và chất lượng trong thiết kế luôn là yếu tố ta phải đương đầu

232

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.3. Thay đổi vận tốc theo một thông số hữu tỷ

“./figures/Multirate_36” — 2012/7/24 — 13:39 — page 18 — #1

02·10−34·10−36·10−38·10−31·10−2

−100

−80

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

(a) Dải chuyển tiếp từ 0,0031 đến 0,0033

“./figures/Multirate_37” — 2012/7/24 — 13:40 — page 18 — #1

02·10−34·10−36·10−38·10−31·10−2

−100

−80

−60

−40

−20

|H(ejω)|(dB)

(b) Dải chuyển tiếp từ 0,0031 đến 0,004

Hình 7.21: Đáp ứng bộ lọc đa vận tốc link CD với DAT [Ví dụ 7.3].

233

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

để xem xét. Đối với thiết kế này, bộ lọc được thiết kế tuy có chiều

dài nhỏ hơn nhiều so với bộ lọc thứ nhất, nhưng cái giá phải trả vẫn

là có chất lượng thấp hơn. Trong thực tiễn, hai bộ lọc này vẫn phải

được thực thi bằng cấu trúc đa pha. Vì thế, chúng được thực thi

bằng cấu trúc nhiều tầng như hình 7.22.

“./figures/Multirate_38” — 2012/7/24 — 12:37 — page 19 — #1

LPF ↑3LPF ↓4

LPF ↑7LPF ↓4

LPF ↑7LPF ↓10 xDAT(n)

xCD(n)

Hình 7.22: Hệ thống quy đổi tín hiệu từ CD sang DAT trong thực

tiễn. Các vận tốc hữu tỷ là 3/4,7/4 và 7/10.

Trong MATLAB, lệnh sau này được cho phép ta thay đổi vận tốc lấy

mẫu:

y = resample(x,N,M)

trong số đó xlà tín hiệu gốc, N/Mlà tỷ suất thay đổi vận tốc. Lệnh này

sử dụng một bộ lọc thông thấp được thiết kế theo phương pháp sai

số trung bình bình phương tối thiểu đồng thời nó cũng vô hiệu độ trễ

trong tín hiệu đầu ra do bộ lọc tạo ra. MATLAB cũng luôn có thể có một lệnh

khác là:

y = upfirdn(x, h, L, M)

trong số đó xlà tín hiệu gốc, hlà phục vụ xung của cục lọc thông thấp,

L/Mlà tỷ số thay đổi vận tốc.

234

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.4. Biểu diễn đa pha

7.4 Biểu diễn đa pha

Khi một khối mạng lưới hệ thống cần xử lý ở vận tốc không nhỏ thì độ phức tạp

cũng như giá tiền của phần cứng sẽ tăng nhanh. Trong trường hợp

này, ta phải tìm cách hạ vận tốc xử lý, hàm ý phải hạ tốc tín hiệu cần

xử lý. Cách tổ chức triển khai thích hợp nhất là phân tích một tín hiệu thành

những thành phần có vận tốc lấy mẫu nhỏ hơn và mỗi thành phần như

thế này được xem như thể một pha của tín hiệu.

Một tín hiệu x(n)hoàn toàn có thể được màn biểu diễn hai pha x1(n)và x2(n)

như sau:

x1(n)=. .. , x(−4),x(−2),x(0),x(2),x(4), . . .

x2(n)=. .. , x(−3),x(−1),x(1),x(3),x(5), . . .

hay được biễu diễn ba pha x1(n),x2(n)và x3(n)với

x1(n)=. .. , x(−3),x(0),x(3),x(6), . . .

x2(n)=. .. , x(−2),x(1),x(4),x(7), . . .

x3(n)=. .. , x(−1),x(2),x(5),x(8), . . .

Một cách tổng quát, x(n)hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bởi Mpha xk(n)được

định nghĩa như sau:

xk(n)=x(nM +k),k=0,1,2,...,M−1.(7.15)

Nhận thấy, xử lý tín hiệu x(n)là hoàn toàn tương tự với xử

lý tuy nhiên tuy nhiên Mpha xk(n). Cách màn biểu diễn trực tiếp nhất những thành

phần pha là thông qua sử dụng biến hóa Zcủa tín hiệu, như

Xk(z)=Xx(nM +k)z−n.(7.16)

Tín hiệu xk(n)=x(n M +k)đã có được bằng phương pháp dịch sớm tín hiệu x(n)

đi kbước, tiếp theo đó hạ tốc Mlần, như được minh họa ở hình 7.23. Như

thế, khối mạng lưới hệ thống ở hình 7.24 hoàn toàn có thể được sử dụng để phân tích x(n)thành

Mthành phần pha.

Tương tự, hoàn toàn có thể màn biểu diễn phục vụ xung h(n)của một khối mạng lưới hệ thống

tuyến tính bất trở thành Mthành phần pha như sau:

hk(n)=h(nM +k),k=0,1,2, . .. , M−1.(7.17)

235

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_39” — 2012/7/24 — 12:37 — page 20 — #1

x(n)zk↓Mxk(n)

Hình 7.23: Ghép nối bộ sớm pha và bộ hạ tốc.

“./figures/Multirate_40” — 2012/7/24 — 12:37 — page 20 — #1

x(n)↓Mx0(n)

z−1

↓Mx1(n)

z−1

↓MxM−1(n)

Hình 7.24: Phân tích thành Mthành phần pha.

Gọi Hk(z)là hàm truyền của khối mạng lưới hệ thống có phục vụ xung là hk(n). Ta

có

Hk(z)=∞

n=−∞

h(nM +k)z−n,(7.18)

và

Hk(zM)=∞

n=−∞

h(nM +k)z−n M .(7.19)

Biết rằng hàm truyền H(z)của phục vụ xung h(n)là

H(z)=∞

n=−∞

h(n)z−n,(7.20)

ta hoàn toàn có thể suy ra ngay

H(z)=

M−1

k=0

z−kHk(zM).(7.21)

Cấu trúc này được mô tả bởi sơ đồ khối ở hình 7.25(a). Hệ thống này

236

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.4. Biểu diễn đa pha

“./figures/Multirate_41” — 2012/7/24 — 14:24 — page 21 — #1

x(n)H0(zM)y(n)

z−1

H1(zM)

z−1

HM−1(zM)

(a)

“./figures/Multirate_42” — 2012/7/24 — 14:26 — page 21 — #1

x(n)H0(zM)y(n)

z−1

H1(zM)

z−1

HM−1(zM)

(b)

Hình 7.25: Sơ đồ khối bộ lọc đa pha: (a) và (b) là tương tự.

được gọi là bộ lọc đa pha*và hoàn toàn tương tự với sơ đồ khối

ở hình 7.25(b). Có thể thấy ngay những sơ đồ khối này sẽ rất hữu ích

khi thiết yếu kế một bộ lọc của khối mạng lưới hệ thống biến hóa vận tốc lấy mẫu

có chiều dài rất rộng. Tính hữu ích của cấu trúc này đã có được nhờ những

đẳng thức Noble đã được trình diễn ở trên.

*Polyphase filter.

237

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

“./figures/Multirate_43” — 2012/7/24 — 12:37 — page 21 — #1

x(n)H(z)↓My(n)

(a)

“./figures/Multirate_44” — 2012/7/24 — 14:38 — page 21 — #1

x(n)H0(zM)↓My(n)

z−1

H1(zM)

z−1

HM−1(zM)

(b)

“./figures/Multirate_45” — 2012/7/24 — 14:38 — page 21 — #1

x(n)↓MH0(z)y(n)

z−1

↓MH1(z)

z−1

↓MHM−1(z)

(c)

Hình 7.26: Áp dụng màn biểu diễn đa pha vào một trong những khối mạng lưới hệ thống có chiều dài

lớn. Hệ thống (a) được phân tích đa pha thành hai khối mạng lưới hệ thống tương

đương (b) và (c).

Thật vậy, xét khối mạng lưới hệ thống H(z)có chiều dài rất rộng ở hình 7.26(a)

được phân tích thành khối mạng lưới hệ thống đa pha như ở hình 7.26(b). Hệ thống

này trong thực tiễn là một phần của khối mạng lưới hệ thống thay đổi vận tốc theo

238

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

7.5. Kết luận

một tỷ suất hữu tỉ (tham chiếu). Có thật nhiều trường hợp, ví dụ điển hình

như trong ví dụ 7.3, để phục vụ những đặc tả của khối mạng lưới hệ thống H(z)có

chiều dài Lrất lớn và như vậy không thể thực thi được trực tiếp

H(z). Trong trường hợp này, ta dùng bộ lọc đa pha để một mặt hạ

vận tốc xử lý, mặt khác làm giảm chiều dài của những bộ lọc được thiết

kế. Chiều dài của mỗi bộ lọc đa pha thành phần nhỏ hơn thật nhiều

so với chiều dài của cục lọc gốc H(z). Kết quả ở đầu cuối được minh họa

ở hình 7.26(c).

Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống này hoàn toàn có thể thực thi về mặt điện tử bằng mô

hình như được minh họa ở hình 7.27.

“./figures/Multirate_46” — 2012/7/24 — 12:37 — page 21 — #1

x(n)

H0(z)y(n)

H1(z)

HM−1(z)

Hình 7.27: Áp dụng màn biểu diễn đa pha vào một trong những khối mạng lưới hệ thống có chiều dài

lớn: thực thi về mặt điện tử.

7.5 Kết luận

Trong chương này, ta đã nghiên cứu và phân tích phương pháp thiết kế một

bộ lọc tương đối phức tạp nhằm mục đích giúp những khối mạng lưới hệ thống hoạt động và sinh hoạt giải trí với vận

tốc rất khác nhau hoàn toàn có thể link với nhau. Tuy nhiên, vì ràng buộc chặt

chẽ của thiết kế mà ta nên phải có bộ lọc có chiều dài khá lớn. Thực hiện

bằng điện tử những bộ lọc có chiều dài khá lớn là một yếu tố rất khó

239

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

xử lý và xử lý. Tuy nhiên, với biễu diễn đa pha, ta hoàn toàn có thể thay thế bộ lọc

này bằng một cấu trúc gồm nhiều bộ lọc ngắn lại hoạt động và sinh hoạt giải trí tuy nhiên

tuy nhiên. Cấu trúc tuy nhiên tuy nhiên này đã cho toàn bộ chúng ta biết không những ta xử lý và xử lý

được yếu tố thực thi điện tử mà hơn thế nữa với cấu trúc này ta đã

giảm quá nhiều vận tốc xử lý cho từng bộ phận của cấu trúc. Như

thế, thao tác thay đổi vận tốc xử lý và cấu trúc đa pha là một thể

thống nhất, tuy nhiên điểm xuất phát của hai khái niệm này còn có vẻ như độc

lập nhau.

240

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Bài tập

7.1. Cho một tín hiệu có chiều dài hữu hạn được màn biểu diễn như sau:

x(n)=(1−0.1n,nếu 0≤x≤10,

0,nếu khác

Cho tín hiệu x(n)trên trải qua bộ hạ tốc với thông số M=2.

7.2. Cho một tín hiệu x(n), có biến hóa Zlà

X(z)=3z−1+4z−2+7z−3+4z−4+3z−5,

trải qua một bộ hạ tốc có thông số M=2. Hãy xác lập biến hóa Zcủa tín

hiệu đầu ra.

7.3. Cho tín hiệu có phổ biên độ được mô tả như hình 7.28. Cho tín

“./figures/Multirate_47” — 2012/7/24 — 12:37 — page 24 — #1

X(ejω−2π

−3π

3π

−π π

−π

2π

Hình 7.28: Phổ tín hiệu trước lúc hạ tốc [Bài tập 7.3].

hiệu này trải qua bộ hạ tốc có thông số M=3. Hãy xác lập phổ biên độ

tín hiệu đầu ra.

7.4. Cho một tín hiệu có chiều dài hữu hạn được màn biểu diễn như sau:

x(n)=(1−0.1n,nếu 0≤x≤10,

0,nếu khác

Cho tín hiệu x(n)trên trải qua bộ tăng tốc với thông số N=2.

241

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chương 7. Thiết kế bộ lọc số đa vận tốc

7.5. Cho tín hiệu x(n), có biến hóa Zlà

X(z)=1+3z−1+4z−2+7z−3+4z−4,

trải qua một bộ tăng tốc có thông số N=3, xác lập tín hiệu đầu ra y(n).

7.6. Cho tín hiệu có phổ biên độ được mô tả như ở hình 7.28 qua bộ

tăng tốc có thông số N=3. Hãy xác lập phổ biên độ tín hiệu đầu ra.

7.7. Cho tín hiệu x(n), có biến hóa Zlà

X(z)=5+4z−1+3z−2+2z−3+z−4,

trải qua một bộ tăng tốc có thông số N=3, rồi qua một bộ hạ tốc có thông số

M=2. Hãy xác lập tín hiệu đầu ra y(n).

7.8. Cho tín hiệu x(n), có biến hóa Zlà

X(z)=5+4z−1+3z−2+2z−3+z−4

trải qua một bộ hạ tốc có thông số M=2, rồi qua một bộ tăng tốc có thông số

N=3. Hãy xác lập tín hiệu đầu ra y(n).

242

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Tài liệu tìm hiểu thêm

[1] M. Bellanger, Traitement numérique du signal : Théorie et pra-

tique, Dunod, 2002.

[2] I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, 1992.

[3] F. Harris, Multirate Signal Processing for Communication Sys-

tems, Prentice Hall, 2004.

[4] V. K. Ingle and J. G. Proakis, Digital Signal Processing Using

MATLAB, 2nd ed., CL Engineering, 2006.

[5] T. Kailath, Linear Systems, Prentice Hall, 1980.

[6] S. M. Kuo, Digital Signal Processors - Architectures, Implemen-

tations, and Applications, Prentice Hall, 2005.

[7] S. K. Mitra, Digital Signal Processing: A Computer-Based Ap-

proach, 2nd ed., McGraw-Hill, 2001.

[8] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and J. R. Buck, Discrete-Time

Signal Processing, 2nd ed., Prentice-Hall, 1999.

[9] A. Papoulis, Signal Analysis, McGraw-Hill, 1977.

[10] P. Prandoni and M. Vetterli, Signal Processing for Communica-

tions, CRC Press, 2008.

243

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Tài liệu tìm hiểu thêm

[11] J. G. Proakis and D. K. Manolakis, Digital Signal Process-

ing: Principles, Algorithms, and Applications, 4th ed., Prentice

Hall, 2006.

[12] R. J. Schilling and S. L. Harris, Fundamentals of Digital Signal

Processing Using MATLAB, 2nd ed., Cengage Learning, 2010.

[13] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu số và lọc số, Tập 1, NXB

Khoa học Kỹ thuật, 1999.

[14] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu số và lọc số, Tập 2, NXB

Khoa học Kỹ thuật, 2003.

[15] P. P. Vaidyanathan, Multirate Systems And Filter Banks, Pren-

tice Hall, 1992.

244

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chỉ mục

AR, 72

ARMA, 71, 75

Ảnh phổ, 228

Bộ biến hóa số – tương tự, 23

Bộ biến hóa tương tự – số, 11

lấy mẫu, 11

lượng tử hóa, 11

mã hóa, 11

Bộ cộng, 73

Bộ dịch trễ cty, 73

Bộ khuếch đại, 73

Bộ vi xử lý tín hiệu, DSµP, 9

Biến đổi Z, 29, 54

ngược, 59

vùng quy tụ, 54

Biến đổi Fourier, 14

phục vụ tần số của khối mạng lưới hệ thống,

phổ tín hiệu, 67

thời hạn liên tục, 66

thời hạn rời rạc, 66

Biến đổi Laplace, 28, 90

Biến đổi tuy nhiên tuyến tính, 133

Butterworth, 89, 98

Cấu trúc thực thi, 71

dạng tiếp nối đuôi nhau, 77

dạng tuy nhiên tuy nhiên, 78

dạng thang chéo, 81

dạng trực tiếp I, 76

dạng trực tiếp II, 76

Cửa sổ

Blackman, 172

chữ nhật, 166

Cosine, 172

Hamming, 172

Hanning, 172

Kaiser, 172

tam giác (Barlett), 169

Chebyshev, 89, 101, 197

Dịch gốc thời hạn, 37

Dải chuyển tiếp, 93

Dải thông, 93

độ gợn sóng, 102

Dải triệt, 93, 116

độ gợn sóng dải triệt, 174

Định lý xen kẽ, 204

Đẳng thức Noble, 224, 230

Đáp ứng tần số, 68

245

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chỉ mục

Đáp ứng xung, 47

chiều dài hữu hạn, FIR, 47,

chiều dài vô hạn, IIR, 47, 72

Đồ thị dòng chảy, 74

Đổi chiều thời hạn, 37

Đổi thang thời hạn, 39

Độ gợn sóng, 116

Độ trễ

bao, 93

nhóm, 93

pha, 93

FIR, 47

Gập phổ, 17, 216

Hàm truyền, 64

nghiệm cực, 65

nghiệm không, 65

Hệ thống, 4

AR, 72

ARMA, 71

không bao giờ thay đổi, 43

bậc hữu hạn, 41

có pha tuyến tính, 93

đệ quy, 73

động, có nhớ, 43

FIR, 47

IIR, 47

không nhân quả, 65

khởi động từ gốc, 63

MA, 72

tiếp nối đuôi nhau, 45, 76

nhân quả, 44

ổn định, 45

pha tối thiểu, 96

rời rạc, 27, 40

tuy nhiên tuy nhiên, 45

tự hồi quy, 72

tĩnh, không nhớ, 43

toàn cực, 72

toàn không, 72

tuyến tính, 44

tuyến tính không bao giờ thay đổi, 46

Hiện tượng Gibbs, 164

IIR, 47, 89

Khuếch đại tín hiệu, 40

Lấy mẫu, 11

đều, 13

chu kỳ luân hồi lấy mẫu, 13

đều, 13

tần số, 192

Lấy và giữ mẫu, 20

Lọc, 1, 4

đa pha, 237

hạ tốc, 217

Hilbert, 209

lý tưởng, 93

lưu bậc không, 130

phẳng tối đa, 98

số, 5

tăng tốc, 226

tương tự, 5, 89

vi phân, 209

Lượng tử hóa, 20, 84

bộ lượng tử, 21

mức lượng tử, 13

sai số lượng tử, 84

246

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chỉ mục

sai số tích lũy, 85

Méo, 92

biên độ, 92

pha, 92

MA, 72, 81

Nghiệm

cực, 96

không, 96

riêng, 62

thuần nhất, 63

Nyquist, 21

định lý lấy mẫu, 17

tần số, 18

Parks–McClellan, 195

Phương trình đặc trưng, 63

Phương trình sai phân tuyến tính,

thông số hằng số, 41, 64

nghiệm riêng, 62

nghiệm thuần nhất, 63

Pha tuyến tính, 93, 195

mở rộng, 197

Sơ đồ khối mạng lưới hệ thống, 41, 73

Tích chập, 18, 48

Tín hiệu, 2

hiệu suất, 34

chẵn, đối xứng, 35

phục vụ, đầu ra, 41

điều hòa, 91

kích thích, nguồn vào, 41

không nhân quả, 57

lẻ, phản đối xứng, 35

nguồn tích điện, 3, 34

ngẫu nhiên, 3

nhân quả, 55

rời rạc, 13

thời hạn liên tục, 2

thời hạn rời rạc, 2

tuần hoàn, 3, 34

Tín hiệu cơ sở

dốc cty, 32

mũ rời rạc, 32

thang cty, 31

xung Dirac, 14

xung Kronecker, 31

Tần số, 18

cắt, 136

cắt chuẩn hóa, 98

chuẩn hóa, 120

Nyquist, 18

số, 66, 136

tương tự, 136

vật lý, 138

Thiết kế

thông cao, 113, 155, 183

thông dải, 106, 146, 188

thông thấp, 179

triệt dải, 110, 153

Tiêu chí minmax, 200

Vòng tròn cty, 65

Vận tốc lấy mẫu, 21

247

Giáo trình

Xử lý tín hiệu số

Nguyễn Linh Trung, Trần Đức Tân, Huỳnh Hữu Tuệ

Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Tp Hà Nội Thủ Đô

2012

Chỉ mục

248

Chia Sẻ Link Download Hàm hiên chạy cửa số là gì miễn phí

Bạn vừa Read nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Clip Hàm hiên chạy cửa số là gì tiên tiến và phát triển nhất và Chia SẻLink Tải Hàm hiên chạy cửa số là gì Free.

Thảo Luận vướng mắc về Hàm hiên chạy cửa số là gì

Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Hàm hiên chạy cửa số là gì vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha #Hàm #cửa #sổ #là #gì

Hàm cửa sổ là gì Chi tiết

Thủ Thuật Hướng dẫn Hàm hiên chạy cửa số là gì Chi Tiết

Chia Sẻ Link Download Hàm hiên chạy cửa số là gì miễn phí

Thảo Luận vướng mắc về Hàm hiên chạy cửa số là gì

Responsive Ad

Billboard Ad

Biểu mẫu liên hệ