Cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Link tải 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải

Với 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải Toán lớp 12 tổng hợp 40 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= - x3 + 3x2 - 4

Lời giải:

* Tập xác định : D= R.

* Chiều biến thiên :

Ta có : y= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y= 0 - 3x (x 2) = 0 x= 0 hoặc x= 2.

* Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = - 4

Giới hạn của hàm số tại vô cực :

* Đồ thị :

Cho x= 1 y =0

x= 3 y= -4

* Điểm uốn:

y= - 6x+ 6 =0 x= 1

y(1) = - 2.

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; -2) làm điểm uốn.

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =- x3 + 3x2

Lời giải:

* Tập xác định : D= R.

* Chiều biến thiên:

Ta có : y= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y= - 3x(x -2) = 0 x= 0 hoặc x= 2.

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

* Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0;2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 0 .

* Đồ thị :

Cho x= 1 y(1) = 4

x= 3 y=0

* Điểm uốn:

Ta có: y= - 6x+ 6 = 0

x= 1 y (1) = 4

Vậy đồ thị nhận điểm I (1; 4) làm điểm uốn.

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Lời giải:

* Tập xác định: D = R.

* Chiều biến thiên:

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Hàm số đồng biến trên R và hàm số không có cực trị .

* Bảng biến thiên:

* Đồ thị : Cho x= 0 y(0)= 0

* Điểm uốn:

y= 2x+ 4 = 0 x=- 2

Vậy điểm uốn của đồ thị là

Bài 4. Cho hàm số y= - x3 + 3x2+ 1 có đồ thị (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3; 1)

Lời giải:

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

* Tập xác định: D= R

* Chiều biến thiên :

Ta có : y= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y= - 3x(x- 2) = 0 x=0 hoặc x= 2.

o Giới hạn của hàm số tại vô cực :

o Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng , đồng biến trên khoảng (0; 2) .

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2) = 5.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= 1

o Đồ thị :

Cho x = -1 y = 5;

x = 3 y = 1.

+ Điểm uốn :

y= -6x+ 6= 0

x= 1 y= 3. Do đó,điểm uốn I(1; 3).

b.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(3; 1)

Ta có; y(3) = - 9 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = y(3). (x 3) + 1 hay y= - 9(x- 3) + 1 y = - 9x + 28

Bài 5. Cho hàm số y= x3 + 3x2 mx 4, trong đó m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=0.

b. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng

Lời giải:

a. Khi m= 0 thì hàm số là y= x3 + 3x2 4 .

* Tập xác định: D= R.

* Chiều biến thiên:

o Giới hạn của hàm số tại vô cực:

o Bảng biến thiên:

+ Ta có: y= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2)

Xét phương trình y= 0 3x(x+ 2) = 0 x= 0 hoặc x= - 2.

o Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên khoảng (-2;0).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -2; giá trị cực đại của hàm số là y(-2)=0 .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= - 4

* Đồ thị :

Cho x = -3 y= - 4

x= 1 y=0

* Điểm uốn

y = 6x+ 6 =0

x= - 1 y(-1)= - 2 nên điểm uốn I(-1; -2)

b. Hàm số y= x3 + 3x2 mx 4 đồng biến trên khoảng

Bảng biến thiên :

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:

Vậy khi m -3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn .

Bài 6. Cho hàm số y= 2x3 9x2 + 12x -4 có đồ thị (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;

b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

Lời giải:

+ Tập xác định D= R.

+ Đạo hàm y= 6x2 18 x+ 12 = 0

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x= 1 và yCĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và yCT = 0

+ Đồ thị :

Điểm uốn:

b. Ta có:

Gọi (C): y= 2x3 9x2 + 12x - 4 và

Ta thấy khi x 0 thì: (C): y= 2x3 9x2 + 12x - 4

Mặt khác hàm số của đồ thị (C) là hàm số chẵn nên (C) nhận Oy là trục đối xứng . Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C) như sau:

o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được

o Lấy đối xứng qua trục Oy phần

o

Số nghiệm của phương trình:

là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d): y= m 4

Từ đồ thị (C), ta thấy yêu cầu bài toán

0 < m- 4 < 1 4 < m < 5

Bài 7. Cho hàm số : có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

* Hàm số đã cho xác định trên R.

* Xét sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên khoảng (-1;3)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -1 ; yCĐ = 0

Hàm số có điểm cực tiểu tại x= 3 ; yCT = - 4.

* Đồ thị

Suy ra I(1; -2) là điểm uốn của đồ thị .

Giao điểm của đồ thị với trục Oy tại điểm

Giao điểm của đồ thị với trục Ox tại hai điểm B(-1; 0); C(5; 0).

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U(1; -2) làm tâm đối xứng.

b. Ta có

Đẳng thức xảy ra khi x= 1 y = - 2.

Vậy tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất là:

Bài 8. Cho hàm số y= - x3 x+ 2, có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên (C).

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (1)

Lời giải:

a. Khảo sát và vẽ (C).

+ Hàm số có tập xác định là: D= R.

+ Xét sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên

Ta có hàm số nghịch biến trên R.

Hàm số không có cực trị .

Điểm uốn: Ta có:

Vì y đổi dấu khi x đi qua điểm x= 0 nên U(0;2) là điểm uốn của đồ thị

Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ.

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; 2) .

Phương trình y= 0 x= 1

Nên đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1; 0).

Nhận xét: Đồ thị nhận U(0;1) làm tâm đối xứng.

b. Xét đồ thị . Khi đó số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng

Cách vẽ y= g(x)

B1 : Giữ nguyên đồ thị (C) ứng với phần (Phần đồ thị nằm trên Ox).

B2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị (3) phần f(x) < 0 (Phần nằm phía dưới trục Ox).

Ta có đồ thị (C)

Dựa vào đồ thị (C) ta có :

Nếu m < 0 Δ và (C) không cắt nhau thì (1) vô nghiệm

Nếu m = 0 Δ cắt (C) tại một điểm thì (1) có một nghiệm

Nếu m > 0 Δ cắt (C) tại hai điểm thì (1) có hai nghiệm.

Bài 9. Cho hàm số y= x3 3x2 + 2 có đồ thị là (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Tìm m để phương trình x3 3x2 = m (1) có ba nghiệm phân biệt.

c. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C):

d. Biện luận số nghiệm của phương trình :

Lời giải:

a. Khảo sát và vẽ (C).

* Hàm số có tập xác định là D = R.

* Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực :

Bảng biến thiên

Ta có: y= 3x2 6x = 0 x = 0 hoặc x= 2.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên khoảng (0;2) .

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0; yCĐ = 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 2; yCT = - 2.

* Đồ thị

Điểm uốn: Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

Ta thấy y đổi dấu khi x qua điểm x= 1. Vậy U(1; 0) là điểm uốn của đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 2)

Do đó, đồ thị cắt Ox tại ba điểm (1; 0),

* Chọn x= 3 y = 2; x= -1 y= -2.

Nhận xét: Đồ thị nhận U(1;0) làm tâm đối xứng.

b. Ta có phương trình:

x3 3x2 = m x3 3x2 + 2= m+ 2.

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt đường thẳng y= m+ 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi -2 < m+ 2 < 2 hay 4 < m < 0.

Vậy 4 < m < 0 là những giá trị cần tìm.

c. Ta có hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị (C) nhận trục Oy là trục đối xứng để vẽ đồ thị (C) ta chỉ cần vẽ (C) nằm phía bên trái hoặc bên phải của trục Oy rồi lấy đối xứng qua Oy ta được phần còn lại.

Vậy dựa vào đồ thị (C), ta vẽ đồ thị (C) như sau:

* Giữ nguyên phần bên phải trục Oy của đồ thị (C).

* Lấy đối xứng qua trục Oy phần vừa vẽ ở trên ta có được đồ thị của (C).

d. Ta có phương trình (2)

số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của hai đồ thị . Dựa vào đồ thị (C), ta có:

không cắt đồ thị (C) nên phương trình (2) vô nghiệm.

cắt (C) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

cắt (C) tại ba điểm phân biệt nên phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.

cắt (C) tại bốn điểm phân biệt nên phương trình (2) có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 10. Cho hàm số y= 2x3 3x2 + 1 có đồ thị là (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 36 x+ 1

b. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :

c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

Lời giải:

a. Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.

Ta có :

x0= - 2 thì y0= - 27 nên phương trình tiếp tuyến y= 36x+ 45

x0 = 3 thì y0 = 28 nên phương trình tiếp tuyến y = 36x+ 80.

b. Phương trình ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị :

Dựa vào đồ thị (C) ta có là những giá trị cần tìm.

c. Điều kiện :

Phương trình ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị

Dựa vào đồ thị (C1) suy ra :

m < 0 thì phương trình vô nghiệm

m = 0 thì phương trình có một nghiệm (loại nghiệm x= 1)

0 < m < 1 thì phương trình có đúng bốn nghiệm

m = 1 thì phương trình có đúng ba nghiệm

m > 1 thì phương trình có đúng hai nghiệm.

Bài 11. Cho hàm số y= x3 3mx2 (C), với tham số thực m. Lấy 2 điểm A và B thuộc đồ thị.Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.

a. Chứng minh rằng trung điểm I của AB nằm trên (C).

b. Tìm giá trị của m để phương trình đường thẳng AB là y= -x- 1. Khi đó viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại .

Lời giải:

a.Ta có: y= 3x2 - 6mx.

Lấy A(a; a3 3ma2); B(b; b3- 3mb2) (a b)

Tiếp tuyến tại A và B là song song nên:

3a2 6ma = 3b2 6mb 3(a2 b2) - 6m(a- b)= 0

3(a-b).[ a+ b 2m] = 0

a+ b= 2m (vì a b)

Do I là trung điểm AB nên:

Vậy I thuộc (C).

b. Ta có

Bài 12. Cho hàm số y= x3 3x2 + 4 có đồ thị là (C)

a.Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.

b. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

a. Ta có y= 3x2 6x.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hoành độ x = 3:

y = y(3). (x- 3)+ y(3)

Mà y(3) = 3. 32 6.3= 9 và y(3) = 4.

Suy ra phương trình d: y = 9(x 3) + 4 = 9x 23 .

b. Hệ số góc của tiếp tuyến của (C):

k= y(x)= 3x2 6x = 3(x- 1)2 3 -3

Do đó, hệ số góc nhỏ nhất là là kmin = - 3.

Dấu = xảy ra khi x- 1= 0 hay x= 1.

Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = y(1). (x- 1) + y(1) hay y= -3(x- 1)+ 2 = - 3x+ 5.

Bài 13. Cho hàm số (m là tham số).

a. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên R.

b. Tìm các giá trị của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) tồn tại một cặp điểm M , N (M khác N) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.

Lời giải:

a. Đạo hàm y= - x2 + 4(m+1) x - 3(m+ 1) .

Hàm số (1) nghịch biến trên R

b. Ta có M và N đối xứng qua gốc tọa độ O

M và N thuộc đồ thị của hàm số (1) khi và chỉ khi

Cộng hai phương trình (2) và (3) ,vế với vế ta được : (4)

M , N tồn tại khi và chỉ khi (4) có nghiệm 4(m+1) < 0 hay m < - 1.

Bài 14. Cho hàm số y= - x3 3x2 + mx+ 4, trong đó m là tham số .

a. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

b. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

a. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi

Hàm số f(x) = 3x2 + 6x liên tục trên

Ta có f(x)= 6x+ 6 > 0 với mọi x > 0 và f(0) = 0. Từ đó ta được : m 0

b. Giả sử đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm có hoành độ x1; x2; x3 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng,

suy ra x1 + x3 = 2x2 và x1; x2; x3 là nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 mx 4 =0 (*)

Nên ta có: x3 + 3x2 mx - 4= (x- x1). (x- x2). (x- x3)

thay vào (*) ta có được: - 2+ m=0 m= 2.

* Với m= 2 thì (*) trở thành:

x3 + 3x2 2x 4= 0

Ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng.

Vậy m= 2 là giá trị cần tìm.

Bài 15. Cho hàm số y= 2x3 + (m- 1)x2 + (m+ 2) x+ 1 (1).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 9x 3.

b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn hơn

Lời giải:

a. Gọi là tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d): y = 9x 3 thì hệ số góc của là k= 9

(x0 là hoành độ tiếp điểm của với (C))

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = k(x - x0) + y0

* Khi x0= 1 thì phương trình của là y = 9(x- 1)+ 6 = 9x 3 phương trình này bị loại vì khi đó d

* Khi x0= - 1 thì phương trình d là y = 9(x+ 1) 4= 9x + 5.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x+ 5

b. Đạo hàm y= 6x2 + 2(m -1)x + m+ 2

Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn hơn

Phương trình y =0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 lớn hơn

* Phương trình y= 0 có hai nghiệm phân biệt

Khi đó hai nghiệm của phương trình y= 0 là

Vì x1 < x2 do đó x1; x2 đều lớn hơn khi và chỉ khi

Bài 16. Cho hàm số y= -x3 + 3x2 + 9x - 1 có đồ thị là (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

b. Tìm m để đường thẳng d : y = (2m- 1)x- 1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0 ; -1); B; C sao cho

c. Tìm những điểm nằm trên (C) mà qua đó vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C).

Lời giải:

a. Ta có y= - 3x2 + 6x + 9 = -3(x- 1)2 + 12 12

Do đó,tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là kmin = 12.

Đẳng thức xảy ra khi x= 1.

Ta có : y(1)= 10 và y(1) = 12 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm :

y = 12 (x- 1) + 10 hay y= 12x - 2

b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C).

- x3 +3x2 + 9x 1= (2m- 1)x- 1

x. (x2 3x + 2m- 10) = 0

Đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 0 .

Khi đó : B(x1 ; (2m- 1)x1 1) ; C(x2 ;(2m 1)x2 1)

Phương trình tiếp tuyến tại M(x0 ; y0) có phương trình :

Để từ A vẽ đến (C) đúng một tiếp tuyến khi và chỉ khi : x0 = 3- 2x0 x0 =1

Suy ra, A (1; 10) là điểm cần tìm.

Bài 17. Cho hàm số y = x4 2x2 1 có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;

b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4 2x2 1= m (*)

Lời giải:

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

* Tập xác định: D= R.

* Chiều biến thiên :

Ta có : y= 4x3 4x = 4x (x2 -1)

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

o Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trên các khoảng và (0; 1), đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) = - 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ; giá trị cực tiểu của hàm số là

o Đồ thị : Cho

b . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: x4 2x2 1= m

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= m.

Dựa vào đồ thị, ta thấy :

+ Khi m < -2 thì (*) vô nghiệm.

+ Khi thì (*) có 2 nghiệm.

+ Khi -2 < m < -1 thì (*) có 4 nghiệm.

+ Khi m = -1 thì (*) có 3 nghiệm.